【备战2025年中考】一轮复习 初中数学 真题分项汇编 专题训练33 新定义型（含高中知识衔接）问题（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. （2024四川眉山）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川宜宾）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A. 8B. 18C. 28D. 32
3. （2024山东威海）定义新运算：
①在平面直角坐标系中，表示动点从原点出发，沿着轴正方向（）或负方向（）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（）或负方向（）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作．
②加法运算法则：，其中，，，为实数．
若，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. （2024湖南省）在平面直角坐标系中，对于点，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当（其中）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A. B. 若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C. 若点P为“超整点”，则点P的个数为1个D. 若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
5. （2024四川遂宁）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
二、填空题
1. （2024甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则________．
2. （2024上海市）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________．
3. （2024山东枣庄）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点________．
4. （2024四川广元）若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标______．
5. （2024重庆市A）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为______．
6. （2024四川泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______．
7. （2024重庆市B）一个各数位均不为0的四位自然数，若满足，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且，则这个数为________；若是一个“友谊数”，设，且是整数，则满足条件的的最大值是________．
8. （2024四川乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
三、解答题
1. （2024北京市）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
（1）如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
（2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
2. （2024深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．
（1）如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”，，，则________；________；
（2）如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且，猜想与的关系，并说明理由；
（3）①如图3所示，在中，，，交于点，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若关于直线对称得到，连接，作射线交①中所画平行四边形的边于点，连接，请直接写出的值．
3. （2024内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．
（1）已知点，在，，中，是点等和点的有_____；
（2）若点的等和点在直线上，求的值；
（3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．
4. （2024山东威海）定义
我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于．当时，表示数a的点与原点的距离等于．
应用
如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
（1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
（2）求点A，B到原点距离之和的最小值．
5. （2024四川乐山）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段（含端点）上“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．