初中北师大版（2024）4 多边形的内角与外角和同步练习题

这是一份初中北师大版（2024）4 多边形的内角与外角和同步练习题，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图，点A、B、C在上，连接，，，，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，某休闲广场是用边长相等的正四边形和正八边形的地砖组合，在每个顶点处无缝隙、无重叠的铺设，而且地砖完整．除此之外，还可以选择无缝隙、无重叠铺设的正多边形组合是（ ）
A．正三边形、正四边形B．正四边形、正五边形
C．正五边形、正六边形D．正六边形、正八边形
3．设四边形的内角和等于α，八边形的外角和等于β，则α与β的关系是（ ）
A．α＝βB．α＞βC．a＜βD．2α＝β
4．小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28°B．30°C．33°D．36°
5．如果多边形的内角和等于1980度，则这个多边形是（ ）
A．九边形B．十三边形C．十二边形D．十五边形
6．一个七边形的内角和是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②锐角三角形的三条高的交点一定在三角形的内部；③在中，若，则是直角三角形；④一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和增加，外角和不变.
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．六边形的外角和为（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
9．七边形的七个内角与它的一个外角的度数和可能是（ ）
A．B．C．D．
10．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多，则该多边形对角线条是（ ）
A．11B．12C．13D．14
11．十边形的外角和为（ ）
A．B．C．D．
12．多边形的每个外角都等于30°，则从此多边形的一个顶点出发可分为（ ）个三角形．
A．8B．9C．10D．11
二、填空题
13．在一个凸多边形中，除去一个内角外，其余所有内角的和等于，则该凸多边形的边数为 ．
14．从n边形一个顶点出发，可以引 条对角线，它们将此n边形分为 个三角形，所以n边形内角和为 ．
15．如图，在四边形中，的平分线与的平分线交于点P，，则 ．
16．如图，在正六边形中，对角线、交于点 ，则 的度数为 ．
17．在研究多边形的几何性质中，我们常常把它分割成三角形进行研究，已知：一个正多边形的每个外角均为，则从该正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
三、解答题
18．一个多边形，它的内角和比外角和的5倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数．
19．如图，在五边形中，，，，，，请根据要求作答．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，连接，，小明发现该图形是轴对称图形．
①除已知条件外再找出1组相等的线段和2组相等的角（不再添加辅助线）．
②请你用无刻度尺画出它的对称轴．
(3)如图3，连接，已知，请说明．
20．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形．
(1)求小明一共走了多少米；
(2)求这个正多边形的内角和．
21．已知一个多边形的内角和与外角和相加为1080°，求这个多边形的对角线的条数．
22．阅读小东与小芳的对话，解决下列问题．
(1)小东计算多边形的内角和为 ，小芳为什么说不可能？请通过计算进行说明．
(2)小东计算的这个多边形的边数应该是多少？
23．如图1，图2，图3，在中，分别以AB、AC为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，BE、CD相交于点O．（正多边形的各边相等，各个内角也相等）
①如图1，求证：；
②探究：如图1，∠BOC=______°；
如图2，∠BOC=______°；
如图3，∠BOC=______°．
如图4，已知：AB、AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC、AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE、CD的延长相交于点O．
猜想：如图4，∠BOC=_________°（用含的式子表示）
24．（1）如图①，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图②，把纸片沿折叠，当点A落在四边形外部点的位置时，、、之间有怎样的数量关系？并说明理由．
（3）如图③，把四边形沿折叠，当点A、D分别落在四边形内部点、的位置时，请直接写出、、与之间的数量关系．
《6.4多边形的内角和与外角和》参考答案
1．B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，连接构造等腰三角形是解题的关键．
连接，得，，再利用四边形内角和为求解即可．
【详解】解：连接，如图，
∵
∴，
∵四边形内角和为
∴
故选：B．
2．A
【分析】两个或几个正多边形的组合能否平面镶嵌，可以从所给的选项中看其内角和是否能等于360°，并以此为依据进行求解．
【详解】解：A．因为正三角形的每个内角是60°，正四边形的每个内角是90°，3×60°+2×90°＝360°，所以能铺满，符合题意；
B．正四边形每个内角90°，正五边形每个内角108°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意；
C．正五边形每个内角108°，正六边形每个内角120°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意；
D．正六边形每个内角120°，正八边形每个内角135°，显然不能组合成360°，所以不能铺满，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平面镶嵌问题．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组合．
3．A
【分析】根据多边形的内角和与多边形外角的关系即可解答．
【详解】解：四边形的内角和为α，
．
八边形的外角和等于β，
β=360°，
．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的内角和外角，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
4．B
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，
根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．
5．B
【分析】此题主要考查了多边形的内角和，首先设多边形的边数为n，再根据多边形内角和公式可得方程，再解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，由题意得：
，
解得：，
∴这个多边形是十三边形，
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，对于n边形，其内角和为，代入n值即可求得答案．
【详解】解：.
故选：C．
7．D
【分析】本题考查命题与定理、解题的关键是熟练掌握三角形的高的性质，多边形内角和公式、外角和，三角形的外角的性质、三角形的内角和定理等知识，属于中考常考题型．
根据三角形的高的性质，多边形内角和公式、外角和，三角形的外角的性质、三角形的内角和定理一一判断即可．
【详解】解：①是真命题，
②是真命题，
③是真命题，
∵，
∴设，则，
由三角形内角和定理得：，解得，
∴，即是直角三角形，故③是真命题，
④是真命题，
∵n边形内角和为，
∴边形内角和为，
∴边数每增加一条，这个多边形的内角和增加，
而多边形外角和为，故外角和不变，故④是真命题，
因此①②③④都是真命题，
故选：D．
8．A
【分析】根据多边形的外角和为360°直接得出答案．
【详解】解：由多边形的外角和为360°可知，六边形的外角和为360°，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是正确判断的前提．
9．C
【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，由七边形的内角和为，知七边形的七个内角与它的一个外角的度数和大于，且小于，据此可得．
【详解】解：∵七边形的内角和为，
∴七边形的七个内角与它的一个外角的度数和大于，且小于，
只有C选项符合．
故选：C．
10．D
【分析】根据内角和比其外角和的2倍多，求出多边形的边数，再求出对角线条数即可．
【详解】解：根据题意，得：，
解得：．
则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和、对角线的条数等知识，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键．
11．B
【分析】根据多边的外角和定理求解即可．
【详解】解：∵任意多边形的外角和都等于，
∴十边形的外角和为，
故选：B
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和为是解本题的关键．
12．C
【分析】根据多边形外角和定理可求出多边形的边数，经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形即可得答案．
【详解】∵多边形的每个外角都等于30°，多边形外角和为360°，
∴此多边形的边数n=360°÷30°=12，
∴从此多边形的一个顶点出发可分的三角形的个数为12-2=10，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角与对角线的性质，多边形的外角和等于360°；经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形；根据外角和定理求出边数是解题的关键，
13．15
【分析】本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数．边形的内角和为，即多边形的内角和为的整数倍，用除以，所得余数和去掉的一个内角互补．
【详解】解：，
去掉的内角为，
设这个多边形为边形，
则，
解得．
故答案为：15．
14．
【分析】根据n边形对角线的定义，可得n边形的对角线，根据对角线的条数，可得对角线分成三角形的个数．根据多边形内角和定理，可得n边形内角和．
【详解】解：从n边形的一个顶点出发可以引（n−3）条对角线，它们将n边形分成（n−2）个三角形，这些三角形的内角和等于多边形内角和即n边形内角和为．
故答案为：①，②，③．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n−3）条对角线，一共有 条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n−2）个三角形．这些规律需要学生牢记．同时考查了多边形内角和定理．
15．；
【分析】
本题考查多边形的内角和定理，有关角平分线的计算，三角形内角和定理，根据的平分线与的平分线交于点P，，得到，从而得到，结合四边形内角和即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
∵的平分线与的平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．/度
【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，利用多边形内角和及正多边形的性质求得与的度数，然后利用等腰三角形的性质求得，的度数，最后利用三角形内角和定理求得的度数，从而得出答案．
【详解】解：六边形是正六边形，
，，
，，
，
故答案为：．
17．3
【分析】根据正多边形一个外角为，外角之和为，即可求出正多边形的边数，再根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线可得答案．
【详解】解：∵正多边形的每个外角为，
∴该正多边形的边数为，
∴这个正多边形的一个顶点出发，可以作对角线为（条）．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点以及对角线条数公式，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为，此题难度不大．
18．11边形；1620°．
【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，掌握多边形内角和为与外角和为是解题的关键．
根据多边形的内角和和外角和定理建立方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n°， 根据题意得：
解得：
则
所以，这个多边形的边数为11，内角和度数为1620°．
19．(1)∠A=120°
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据五边形内角和定理即可解决问题；
（2）①证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质即可解决问题；②连接BD，连接CE交BD于点T，作直线AT，即可解决问题；
（3）根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB=30°，然后根据平行线的判定即可解决问题．
【详解】（1）∵AB⊥BC，AE⊥ED，
∴∠B=∠E=90°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（5-2）×180°=540°，∠C=∠D=120°，
∴∠A+90°+120°+120°+90°=540°，
∴∠A=120°；
（2）①如图2，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC=AD，∠BAC=∠EAD，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC；
②如图2，连接BD，连接CE交BD于点T，作直线AT，
则直线AT即为所求；
（3）如图3，
∵AB=AE，
由（1）得∠A=120°，∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠AEB=（180°-120°）=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=90°-30°=60°，
∵C=120°，
∴∠CBE+∠C=60°+120°=180°，
∴BE∥CD．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
20．(1)小明一共走了120米
(2)这个多边形的内角和是．
【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和．
（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．
【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，
∴，（米）；
答：小明一共走了120米；
（2）解：根据题意得：
，
答：这个多边形的内角和是．
21．9
【分析】此题考查了多边形内角和与外角和的应用，多边形对角线条数，设这个多边形的边数为n，根据题意列得一元一次方程求出n，再根据对角线计算公式求出对角线条数，正确理解题意列得一元一次方程是解题的关键
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则
解得
∴这个多边形的对角线条数为
22．(1)见解析
(2)小东求的是九边形的内角和
【分析】本题考查了多边形的内角和，不等式组的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）由题意知，边形的内角和为，由多边形的内角和为的整数倍，进行作答即可；
（2）由题意知，，解不等式组，然后根据为正整数，求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，边形的内角和为，
∴多边形的内角和为的整数倍，
∵，
∴多边形内角和为不可能；
（2）解：由题意知，，
解得，，
∵为正整数，
∴，
∴小东求的是九边形的内角和．
23．①见解析；②；；；
【分析】①根据等边三角形的性质和等式的性质可以得出∠BAE=∠DAC，然后根据“SAS”可证；
②在图1中，根据三角形的外角与内角的关系就可以求出∠BOC的值，在图2中，连接BD，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值，在图3中，连接BD，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值，在图4中，延长BA交CD于F，然后用同样的方法证明，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值．
【详解】①证明：∵和都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，，
∴∠BAE=∠DAC，
在和中，
，
∴（SAS）
②解：如图1，
∵，
∴∠ABE=∠ADC，
又∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ODB+∠OBA+∠ABD，
∴∠BOC=∠ODB+∠ADC+∠ABD=∠ADB+∠ABD=；
如图2，连接BD，
∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，，，
∴∠BAE=∠DAC，
∴（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
又∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ODA +∠DBO，
∴∠BOC=∠ADB+∠OBA +∠DBO =∠ADB+∠ABD=；
如图3，连接BD，
∵五边形ABHFD和五形ACIGE都是正方形，
∴AB=AD，AC=AE，，，
∴∠BAE=∠DAC，
∴（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
又∠BOC=∠ODB+∠OBD=∠ADB+∠ODA +∠DBO，
∴∠BOC=∠ADB+∠OBA +∠DBO =∠ADB+∠ABD=；
如图4，延长BA交CD于F，
根据题意，得∠BAD=∠CAE，AB=AD，AC=AE，，
∴∠BAE=∠DAC，
∴（SAS），
∴∠ABE=∠ADC，
∵∠BFC=BOC+∠ABE=∠FAD+∠ADC，
∴∠BOC=．
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，正五边形的性质的运用及正n边形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时根据正多边形的性质证明三角形全等是解题的关键．
24．（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3），证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，多边形的内角与外角，翻折的性质．
（1）根据翻折的性质表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）先根据翻折的性质表示出，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）
证明：如图，根据翻折的性质得：
，，
∵，
∴，
∴．
（2）
证明：如图，根据翻折的性质得：
，
∵，
∴，
∴．
（3）
理由如下：
，，
∵，
∴，
∴．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
B
B
C
D
A
C
D
题号
11
12








答案
B
C