专题04 方程（组）与不等式（组）【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

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1．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1B．C．D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
2．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴符合题意的是A
故选A．
3．（2021·河北·中考真题）已知，则一定有，“”中应填的符号是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接运用不等式的性质3进行解答即可．
【详解】解：将不等式两边同乘以-4，不等号的方向改变得，
∴“”中应填的符号是“”，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质3：不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键．
4．（2022·河北·中考真题）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ）
A．依题意B．依题意
C．该象的重量是5040斤D．每块条形石的重量是260斤
【答案】B
【分析】利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论．
【详解】解：根据题意可得方程；
则A错误，B正确；
解上面的方程得：x=240,
故D错误；
∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤）
故C错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意真确列出方程是解题的关键．
5．（2023·河北·中考真题）根据下表中的数据，写出a的值为 ．b的值为 ．
【答案】
【分析】把代入得，可求得a的值；把分别代入和，据此求解即可．
【详解】解：当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了求代数式的值，解分式方程，准确计算是解题的关键．
6．（2022·河北·中考真题）整式的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
【详解】（1）解：∵
当时，
；
（2），由数轴可知，
即，
，
解得，
的负整数值为．
【点睛】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
7．（2021·河北·中考真题）已知训练场球筐中有、两种品牌的乒乓球共101个，设品牌乒乓球有个．
（1）淇淇说：“筐里品牌球是品牌球的两倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程：．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否正确；
（2）据工作人员透露：品牌球比品牌球至少多28个，试通过列不等式的方法说明品牌球最多有几个．
【答案】（1）不正确；（2）36
【分析】（1）解方程，得到方程的解不是整数，不符合题意，因此判定淇淇说法不正确；
（2）根据题意列出不等式，解不等式即可得到A品牌球的数量最大值．
【详解】解：（1），解得：，不是整数，因此不符合题意；
所以淇淇的说法不正确．
（2）∵A 品牌球有个，B 品牌球比A品牌球至少多28个，
∴，
解得：，
∵x是整数，
∴x的最大值为36，
∴A 品牌球最多有36个．
【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解决本题的关键是能根据题意列出方程或不等式，并结合实际情况，对它们的解或解集进行判断，得出结论；本题数量关系较明显，因此考查了学生的基本功．
8．（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：
在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分为6分；(2)．
【分析】（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）根据题意列一元一次方程即可求解.
【详解】（1）解：由题意得(分)，
答：珍珍第一局的得分为6分；
（2）解：由题意得，
解得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
9．（2020·河北·中考真题）已知两个有理数：－9和5．
（1）计算：；
（2）若再添一个负整数，且－9，5与这三个数的平均数仍小于，求的值．
【答案】（1）－2；（2）．
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可求解；
（2）根据平均数的定义列出不等式即可求出m的取值，故可求解．
【详解】（1）=；
（2）依题意得＜m
解得m＞-2
∴负整数=-1．
【点睛】此题主要考查有理数、不等式及平均数，解题的关键是熟知有理数、不等式的运算法则．
10．（2024·河北·中考真题）如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．
(1)计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；
(2)当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；
（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，
∴，
∴，
解得：；
11．（2024·河北·中考真题）某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：
当时，；
当时，．
（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）
公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．
(1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩；
(2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：
(3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：
①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；
②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．
【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分
(2)125
(3)①130；②
【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；
（2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得；
（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：．
【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分，
乙的报告成绩为：分；
（2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，
①时，，，
由①②得，
∴，
∴，故不成立，舍；
②时，，，
由③④得：，
∴，
∴，
∴，
∴，故不成立，舍；
③时，，
，
联立⑤⑥解得：
，且符合题意，
综上所述；
（3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，
∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，
由表格得第50，51名员工成绩都是130分，
∴中位数为130；
②当时，则，解得，故不成立，舍；
当时，则，解得，符合题意，
∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，
∴合格率为：．
【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键．
12．（2024·河北邯郸·模拟预测）我国古代的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两……”意思是：“今有生丝30斤，干燥后损耗3斤12两（我国古代1斤等于16两）……”据此，若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，则正确的是（ ）
A．依题意，得 B．依题意，得
C．需使用生丝 斤D．得到14斤干丝，需损耗生丝 斤
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的应用，考查学生的应用意识、运算能力、模型观念．若得到14斤干丝，需使用生丝x斤，再利用数量之间的比例关系列方程，解方程即可．
【详解】解：依题意，
得，
解得，
∴（斤），
∴若得到14斤干丝，则需使用生丝16斤，损耗生丝2斤．
故选:B．
13．（2024·河北邯郸·三模）在三个盘子中，分别装有n个苹果（），先从左边的盘子中拿出两个苹果放入中间的盘子中，之后又从右边的盘子中拿出一个苹果放入中间的盘子中，最后从中间盘子中拿出一些苹果放入右边的盘子中，使中间盘子的苹果个数恰好是右边盘子的苹果个数，这时中间盘子中苹果的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中，表示出第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个，即可得，解得，进而有则最后中间盘子苹果的个数为：，结合，即可作答
【详解】本题主要考查了整式的计算，设最后从中间盘子中拿出个苹果放入右边的盘子中，
第一次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个，
第二次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果个，
第三次：左边盘子苹果个，中边盘子苹果个，右边盘子苹果．个，
根据题意有：，
解得：，
则最后中间盘子苹果的个数为：，
∵，
∴，
故选：D．
14．（2024·河北邯郸·三模）已知实数a，b，c满足，甲、乙、丙、丁四名同学有如下结论
甲：若，则；乙：若，则；
丙：若，则；丁：若，则．
这四位同学的结论正确的是（ ）
A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．丙丁
【答案】B
【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，熟练掌握等式的性质和不等式的性质是解题的关键．等式的性质和不等式的性质进行推理，即可判断答案．
【详解】若，则，
解得，
所以甲的结论正确；
若，则，
，
解得，
所以乙的结论错误；
若，则，
则，
，
解得，
即，
所以丙的结论正确；
若时，
则，
，
解得，
所以丁的结论错误．
故选B．
15．（2024·河北唐山·二模）如图，两个天平都平衡，则与1个“●”质量相等的“□”的个数为（ ）

A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据图中物体的质量和天平的平衡情况，设出未知数，列出方程组解答．
【详解】解：设1个“”， “”，“”的质量分别为，
∴，
∴，
∴，
即：与1个“”质量相等的“”的个数为2；
故选C．
16．（2024·河北邯郸·三模）天平两边托盘中相同形状的物体质量相同，且两架天平均保持平衡，如图，则关于“□”“◯”“△”质量的大小关系，下列说法正确的是 （ ）
A．△最重B．◯最重C．□最重D．无法比较
【答案】C
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据两个托盘的质量相等列出方程组是解题的关键．设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z，通过理解题意，可知本题的等量关系为．即，根据等量关系求解即可．
【详解】解：设“□”“◯”“△”质量的大小分别为x，y，z，
根据题意可得，
解得，
∴
即“□”最重，
故选：C．
17．（2024·河北张家口·三模）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则（ ）
A．
B．
C．杯子中仅放入个小铁块，水一定会溢出
D．杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出
【答案】D
【分析】本题考查的是一元一次方程及一元一次不等式的应用，解此类题目的关键是读懂图意，找出相等关系和不等关系列方程及不等式．由体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，得，故项错误；由装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，得从而，故项错误；取时，，判断项错误；由可判断项正确
【详解】解：∵体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，
∴，故项错误；
∴，
∵装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，
∴，
∴
∴，故项错误；
∵，
∴取时，，
∴杯子中仅放入个小铁块，水不一定会溢出，故项错误；
∵
∴
∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定不会溢出故项正确；
故选：．
18．（2024·河北保定·二模）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得：；绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：；组成方程组即可．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．
【详解】解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺
∴；
∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺，
∴
即．
故选：C．
19．（2024·河北石家庄·二模）已知一元二次方程的两根分别为，，则这个方程不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定义进行判断即可得到答案.
【详解】解：A、，解得：，，符合题意；
B、，解得：，，不符合题意；
C、，解得：，，不符合题意；
D、，解得：，，不符合题意；
故选：D.
20．（2024·河北邢台·三模）关于x的方程（k为实数）的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．实数根的个数与k的值有关
【答案】A
【分析】根据根的判别式，求出的值即可判定根的情况．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根是解答此题的关键．
【详解】因为，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
21．（2024·河北衡水·二模）“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，利用小刚共用时10秒通过，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，
∴，
故选A
22．（2024·河北邯郸·模拟预测）若m是关于x 的不等式的一个解，则对于m的值下列判断可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】考查解一元一次不等式，考查学生的运算能力．
先解出不等式，再按题意取值即可.
【详解】解：的解集为，只有可能正确，
故选：D．
23．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下：
①量出；
②在点右侧取一点，使点满足；
③将向右翻折，向左翻折．
若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案．
【详解】解：设，
，
，
将向右翻折，向左翻折，
，
符合三角形三边关系，
，
即，
解得，
解得，
故选D．
24．（2024·河北保定·一模）关于x的不等式组的最大整数解是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其最大整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为，
故选；A．
25．（2024·河北邢台·一模）如图，若x是整数，且满足，则x落在（ ）
A．段④B．段③C．段②D．段①
【答案】B
【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后求出整数x的值，进而得到在数轴上的位置即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：
∵x是整数
∴
∴x落在段③．
故选：B．
26．（2024·河北邯郸·模拟预测）若代数式与的值相等，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据题意得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【详解】解：∵代数式与的值相同，
∴．，
移项得，
合并同类项得，
系数化成1得：
故答案为：1．
27．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数，
∴，且为正整数，
解得，且为正整数，
∴可以为
故答案为：（答案不唯一）．
28．（2024·河北邯郸·三模）若，表示非零常数，整式的值随的取值而发生变化．如下表：
则关于的一元一次方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．将关于的一元一次方程化为，然后根据表格得出当时，，即可求出关于的一元一次方程的解．
【详解】解：关于的一元一次方程可化为，
由表格可知，当时，，
关于的一元一次方程的解为．
故答案为：．
29．（2024·河北保定·二模）如图，某段高速公路全长250千米，交警部门在某段高速公路距离入口3千米处设立了限速标志牌，并在以后每隔5千米处设置一块限速标志牌；此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头，并在以后每隔28千米处都设置一个摄像头．
（1）设第x个摄像头和第y个限速标志牌与入口的距离相同，则y与x之间的函数关系式为 ．
（2）若该段高速公路全长为250千米，则离入口 千米处刚好同时设置有限速标志牌和摄像头．
【答案】 38和178
【分析】本题考查二元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
（1）根据题意，得到关于x、y的二元一次方程，然后整理即可；
（2）根据题意得到关于x的不等式，解之得到x的取值范围，再结合x、y为正整数得到x、y的值，进而可求解．
【详解】（1）依题意，得，
整理，得，
故答案为：
（2）∵该段高速公路全长为250千米，
∴，
则，
∵x，y均为正整数，
∴和，
此时（千米），（千米），
∴当和时，刚好同时设置有标志牌和摄像头，此时与入口的距离分别为38千米和178千米，
故答案为：38和178．
30．（2024·河北邯郸·三模）某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路．
（1）若，则草坪总面积为 平方米．
（2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米．
【答案】 30 1
【分析】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程．
（1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可；
（2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽．
【详解】解：（1）由图可得，
草坪的总面积是，
当时，
，
即时，草坪总面积为30平方米，
故答案为：30；
（2）由图可得，
草坪的总面积是，
路的总面积是，
∵草坪总面积恰好等于小路总面积，
，
解得(舍去)，
即此时的路宽为1米，
故答案为：1．
31．（2024·河北沧州·二模）如图，是一个闭环运算游戏，即：给x一个值，把它代入中得到一个y值，再把得到的y值代入中，又求出一个新的x值．如：把代入中得到；再把代入中求得．
（1）把代入中，最后求出的x值为 ；
（2）小明发现，给x一个整数并把它代入中后，最后求出的x值竟然是它自身，这个整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，和分式方程．
（1）根据题意运算法则计算即可求解；
（2）设这个数为，依题意得，解一元二次方程求得整数解即可．
【详解】解：（1）把代入中，，
再把代入中，求得；
经检验是原方程的解，
故答案为：；
（2）设这个数为，依题意得，
整理得，
解得（舍去），，
故答案为：．
32．（2024·河北邢台·三模）如图，一个计算程序的示意图．
（1）若输入，则N的值为
（2）若输出了，则M的值为
【答案】 /
【分析】本题主要考查了已知字母的值求代数式的值、解分式方程．读懂程序示意图是解题的关键．
（1）把代入中求值，即可得出N的值；
（2）先由求出x的值，再将x的值代入中即可求出M的值．
【详解】（1）当时，，即．
故答案为：．
（2）若输出了，即，解得，
经检验，是所列方程的解．
则．
故答案为：．
33．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，整数m，n，t在数轴上分别对应点M，N，T．

(1)若m，n互为相反数，描出原点O的位置并求t的值；
(2)当点T为原点，且：时，求“□”所表示的数．
【答案】(1)图见解析，；
(2)3
【分析】本题考查了相反数、数轴、一元一次方程、实数的运算，考查运算能力．
（1）根据相反数的定义，得到原点O的位置，据此求解即可；
（2）根据原点的位置，确定m，n的值，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵m，n互为相反数，
∴，即点M，N到原点的距离相等，
∴ 原点的位置如图所示：

则；
（2）解：∵点 T为原点，则，
∵，
∴，
∴．
34．（2024·河北张家口·三模）琪琪家新栽了两棵树，上午开始给这两棵树打点滴，甲营养液的输液速度是，乙营养液的输液速度是，两种营养液每袋均为．
(1)上午能否输完一整袋乙营养液？
(2)某时刻，甲袋中剩余的液体恰好是乙袋中剩余液体的，求此刻是几点几分．
【答案】(1)上午不能输完一整袋乙营养液；
(2)点分
【分析】本题主要考查了有理数的除法及一元一次方程的应用，熟练求解一元一次方程是解题的关键．
（）求出输完一整袋乙营养液所用的时间与比较即可得解；
（）设输营养液的时间为，根据甲袋中剩余的液体恰好是乙袋中剩余液体的列方程求解即可．
【详解】（1）解：（小时），
∵，
∴上午不能输完一整袋乙营养液；
（2）解：设输营养液的时间为时，甲袋中剩余的液体恰好是乙袋中剩余液体的，则，
，
解得，
，
∴此刻是点分，
35．（2024·河北廊坊·二模）篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛．
(1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分．
(2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？
【答案】(1)，；
(2)队胜了场，负了场．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题．
（1）由题意知队负了场，再由积分规则计算即可得到队积分为分；
（2）设队胜了场，负了场，由等量关系列方程组求解即可解得答案．
【详解】（1）解：每个队伍要进行场比赛，
队胜了场，负了（场），
（分），
队积分为分，
故答案为：，；
（2）解：设队胜了场，负了场，
由题意可得，解得，
答：队胜了场，负了场．
36．（2024·河北邯郸·模拟预测）老师在黑板上列出了如下算式：．
(1)若，求该算式的值．
(2)老师说：“这个算式的正确结果为0．”，通过计算求a的值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】本题考查有理数的混合运算、解一元一次方程，熟练掌握运算法则和解一元一次方程的方法是解答本题的关键．
（1）将代入题目中的算式，计算即可；
（2）由题意可得，然后解方程即可．
【详解】（1）解：当时，
；
（2）解：由题意可得，，
解得．
37．（2024·河北唐山·三模）已知算式“”．
(1)请你计算上式结果；
(2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数；
(3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？
【答案】(1)
(2)嘉嘉把“8”错写成了3
(3)淇淇的计算结果比原题的正确结果大10
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算．
（1）根据有理数混合运算法则进行计算即可；
（2）设嘉嘉把“8”错写成了x，列出关于x的方程，解方程即可；
（3）根据题意求出淇淇的计算结果，然后再列式求出结果即可．
【详解】（1）解：
（2）解：设嘉嘉把“8”错写成了x，
根据题意，得：，
解得，
即嘉嘉把“8”错写成了3；
（3）解：淇淇的结果为：，
，
淇淇的计算结果比原题的正确结果大10．
38．（2024·河北石家庄·二模）如图，是一条不完整的数轴，点、、对应的实数分别为、、，，，其中、与的和记为.
(1)若，求的值；
(2)若，，求满足条件的的整数解.
【答案】(1)9
(2)0，1
【分析】本题考查了数轴与实数，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由得出，再代入，进行计算，即可作答．
（2）先表示，结合，建立不等式，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：由，，
可知，
.
（2）解：由，，
可知，
代入得，，
解得.
∴的整数解为0，1.
39．（2024·河北石家庄·二模）如图，从左向右依次摆放序号分别为，，，．．．的小正方形卡片，每个小正方形卡片上均画有若干个小圆点．其中任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等．

(1)分别求出，的值；
(2)当时，所有这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是多少？
(3)小明说，第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个，请直接判断他的说法是否正确．
【答案】(1)，
(2)
(3)正确，理由见解析
【分析】本题考查图形变化的规律，
（1）根据任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等，建立关于，的方程组即可解决问题；
（2）根据卡片上小圆点个数变化的规律即可解决问题；
（3）根据卡片上小圆点个数变化的规律即可解决问题；
能根据所给图形发现卡片上小圆点的个数按，，，循环出现是解题的关键．
【详解】（1）解：∵任意相邻的个小正方形卡片上的小圆点数量之和相等，
∴，
解得：；
（2）由题知，连续个相邻卡片上小圆点的个数之和为：，
又∵，
∴，
故这些小正方形纸片上的小圆点数量之和是；
（3）正确．
理由：∵卡片上小圆点的个数按，，，循环出现，
∴，
∴第个小正方形卡片上的小圆点的个数是个，
∴小明的说法正确．
40．（2024·河北邯郸·三模）老师设计了一个有理数运算的游戏．规则如下：
①老师在黑板上任意写一个有理数；
②将黑板上的有理数减去2；
③用1减去“②”中得到的有理数的一半，将结果写在纸条上交给学习委员．
(1)若黑板上的有理数为“”，求应写在纸条上的有理数；
(2)学习委员发现：若正确计算后写在纸条上的结果为正数，则老师在黑板上写的最大整数是多少？
【答案】(1)4
(2)3
【分析】本题考查有理数的运算，求一元一次不等式的整数解：
（1）根据游戏规则列出算式进行计算即可；
（2）根据题意，列出不等式，求出最大整数解即可．
【详解】（1）解：；
（2）设老师在黑板上写的数为，由题意，得：，
解得：，
∴老师在黑板上写的最大整数是3．
41．（2024·河北沧州·三模）现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为的正方形，乙卡片是宽为1，长为的矩形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为．

(1)请用含的式子分别表示______，______；
(2)比较与的大小，并说明理由；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】题目主要考查多项式的乘法及整式的加减法、解一元二次方程，根据题意，列出方程及求解是解题关键．
（1）根据图形列出代数式即可；
（2）由（1）结果进行相减即可；
（3）根据题意得出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）由题图可知，
；
（2），理由如下：
，
，
，
；
（3）当时，，
，
解得或（舍去），
∴．
42．（2024·河北沧州·二模）如图，电脑上有一个小程序，每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2．已知屏幕上设定的初始数字是3，且每轮操作按 10次键．
(1)在一轮操作中，已知按了3次左键，7次右键，求屏幕上最后的结果；
(2)一轮操作中，已知按了n次左键，且这轮操作结束后屏幕上的结果是正数，求n的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
（1）利用屏幕上显示的结果，即可求出结论；
（2）根据“按次按键后，屏幕上显示的数字结果是正数”，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：每按一次左键，屏幕上的结果加1；每按一次右键，屏幕上的结果减2，
屏幕上显示的结果，
（2）解：由题意可得，
解得，
为正整数，
的最小值为．
43．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，在一条笔直的公路上依次有A、B、C三个汽车站，它们之间依次相距、，甲、乙两辆汽车分别在A站和B站，两车同时时向终点站C出发；甲，乙两车的速度之和为，它们与A站的距离分别为、，设两车运动的时间为．

(1)若甲车的速度为，
①分别求、与x之间的函数表达式；
②x为何值时，两车相距；
(2)若甲车的速度为，甲车在终点站C处恰好追上乙车，求a的值．
【答案】(1)①， ，②或者
(2)
【分析】本题主要考查了列函数关系式，分式方程的应用：
（1）根据题意可得甲车的速度为，乙车的速度为，再由路程等于速度乘以时间，即可求解；
（2）根据两车到达终点站C所用时间相同，列出方程，即可求解．
【详解】（1）根据题意有：，，则，
①∵甲、乙两车的速度之和为，甲车的速度为，
∴乙车的速度为，
∴， ；
②根据题意有：，
解得：或者，
即x为或者时，两车相距；
（2）解：由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴a的值为．
44．（2024·河北石家庄·三模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：
(1)王老师拿空水杯先接了14s的温水，又接了8s的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．
①王老师的水杯容量为________ ；
②用含t的代数式表示接入水杯的温水吸收的热量，并用列方程的方法求t的值（不计热损失）
(2)嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学的接水时间．
【答案】(1)①400；②王老师的水杯容量为，水温约
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①根据水量等于水速乘时间列式计算，即可作答．
②结合“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．”即可列式，结合题意列式，解方程，即可作答．
（2）设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，列出二元一次方程组，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：①依题意
得出
∴王老师的水杯容量为．
②接入水杯的温水吸收的热量为：；
由题意：
解得
答：王老师的水杯容量为，水温约
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，
则，
解得，
，
∴嘉琪同学的接水时间为．
45．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图1，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg．
(1)①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为__________；“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为__________；__________小麦试验田的单位面积产量高；
②高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(2)如图2，在试验田四周（图2虚线部分）修建隔离网，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍，求值．
【答案】(1)①；；“丰收2号”；②高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍；
(2)．
【分析】本题主要考查了分式的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键．
（1）①根据产量除以试验田面积即可作答；先得出，即有，则有，问题随之的解；②计算，即可得解；
（2）根据（“丰收2号”小麦试验田的隔离网每造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每造价的2倍）列分式方程，求解即可．
【详解】（1）解：①根据题意，“丰收1号”单位面积产量为；
“丰收2号”单位面积产量为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；
故答案为：；；“丰收2号”；
②∵，
∴
，
答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍；
（2）解：由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且满足题意．
x结果代数式
2
n
7
b
a
1
投中位置
A区
B区
脱靶
一次计分（分）
3
1
原始成绩（分）
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
人数
1
2
2
5
8
10
7
16
20
15
9
5
0
1
3
…
1
3
5
9
…
物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．