2025高考数学一轮复习-第2章-第5节 函数的对称性及应用【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第2章-第5节 函数的对称性及应用【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，考点聚焦突破，考点一函数的对称性，BCD，ACD，微点突破抽象函数，ABD，课时分层精练等内容，欢迎下载使用。
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于______对称，偶函数关于______对称.(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为__________；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)的图象的对称中心为______________.
2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点________对称.
3.两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于______对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于______对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.(　　)(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　　)(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.(　　)
解析　(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称.(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的图象不关于y轴对称.
3.(必修一P87T13改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝______.
解析　法一　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，∴f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4.法二　由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4.
4.若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5.
KAODIANJUJIAOTUPO
因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)，
训练1 (1)已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)A.关于直线x＝1对称B.关于直线x＝3对称C.关于直线y＝3对称D.关于点(3，0)对称
解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.
∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A错误，B正确；
∴f(x＋2π)＝－f(－x)，∴f(x)的图象关于点(π，0)对称，故D正确.
考点二　对称性与周期性
例2 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)＝(　　)A.1 B.－2 C.－1 D.2
解析　法一　因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.
法二　由f(x)的定义域为R，f(－x)＝－f(x)，可知f(x)为奇函数，由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(2 023)＝f(4×505＋3)＝f(3)＝f(－1)＝2.
解析　因为f(x)为奇函数，所以f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以直线x＝1是f(x)图象的一条对称轴.又由f(x＋2)＝－f(x)，得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.
作出f(x)的图象，如图所示.
则由对称性可得，x1＋x2＋…＋x7＝2＋4×3＝14，y1＋y2＋y3＋…＋y7＝0，
1.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，x＝b，则其周期为T＝2|b－a|.2.若函数y＝f(x)的对称中心为(a，0)，(b，0)，则其周期为T＝2|b－a|.3.若函数y＝f(x)的对称轴为x＝a，对称中心为(b，0)，则其周期为T＝4|b－a|.
训练2 (1)(多选)(2024·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　 )A.f(x)的图象关于直线x＝2对称B.f(x)的图象关于点(2，0)对称C.f(x)的周期为4D.y＝f(x＋4)为偶函数
解析　∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确,B错误；∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故C正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确.
解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0.
故f(x＋3)＝－f(x)，则有f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是以6为周期的周期函数.
f(2 022)＝f(6×337)＝f(0)＝0，f(2 023)＝f(6×337＋1)＝f(1)＝2，f(2 024)＝f(6×337＋2)＝f(2)＝2，所以f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＝4.
考点三　对称性、周期性与单调性
例3 (多选)(2024·杭州调考)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则(　　)A.f(0)＝f(－2)B.f(x)的周期T＝2C.f(x)在(2，3)上单调递减D.f(x)满足f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)
解析　由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)图象的对称轴方程为x＝1，所以f(0)＝f(2)，又由f(1＋x)＝f(1－x)，可知f(2＋x)＝f(－x).因为函数f(x)的图象关于(2，0)对称，即f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，
所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，所以f(－2)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故A正确，B错误.因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x)在[0，1)上单调递增，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，则函数f(x)在(2，3)上单调递减，故C正确.
根据f(x)的周期为4，可得f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(2)，f(2 023)＝f(3)，因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)且f(3)＝f(－1)，即f(2 021)＝f(1)，f(2 022)＝f(0)，f(2 023)＝f(－1)，由C选项的分析可知，函数f(x)在[0，1)上单调递增，在(－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f(－1)＝f(1)＝0，则f(2 021)>f(2 022)>f(2 023)不成立，故D错误.
解决函数性质的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式.
训练3 (2024·成都诊断)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0，且当x∈[0，1]时，f(x)＝lg2(x＋1)，则下列不等式正确的是(　　)A.f(lg27)0时，令y＝－x，则0＝f(x)f(－x)＋f(x)＋f(－x)，若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即0＝－f2(x)＋f(x)－f(x)，解得f(x)＝0，与题意矛盾；
当f(0)＝－1时，f(x)不为奇函数.综上所述，函数f(x)不是奇函数，C错误；D中，当f(x)＝2x－1，则f(x＋y)＝2x＋y－1，f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)＝(2x－1)(2y－1)＋(2x－1)＋(2y－1)＝2x＋y－2x－2y＋1＋2x－1＋2y－1＝2x＋y－1，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)＋f(x)＋f(y)，易得f(x)＝2x－1在R上单调递增，所以x>0时，f(x)＝2x－1>20－1＝0，f(2)＝22－1＝3，故函数f(x)的一个解析式为f(x)＝2x－1，D正确.
在上述等式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4).又∵f(2)＝1，∴f(4)＝2，
可变形为f(x(x－3))≤f(4).又∵f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，
故x的取值范围是(3，4].
解析　对于A，令x＝2，y＝2，则有f(2×2)＝f(4)＝2f(2)＋2f(2)＝4f(2)，f(8)＝f(2×4)＝2f(4)＋4f(2)＝12f(2)，正确；对于B，因为f(x)的定义域为R，因为对于∀x∈R，f(xy)＝xf(y)＋yf(x)，当x≠0时，令y＝x，则有f(xy)＝f(x2)＝2xf(x)，
令x＝0时，f(0×y)＝f(0×0)＝0，所以f(x)是奇函数，正确；对于C，由B知，当n＝2时，f(x2)＝2xf(x)，错误；对于D，f(2n)＝f(2n－1×2)＝2n－1f(2)＋2f(2n－1) ，令an＝f(2n)(n∈N*)，则有an＝2an－1＋2n，∴2－nan＝2－(n－1)an－1＋1，令bn＝2－nan，则bn＝bn－1＋1，b1＝2－1×2＝1，{bn}是首项为1，公差为1的等差数列，∴bn＝b1＋(n－1)＝n，即an＝n2n(n∈N*)，
则2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1，②
故Sn＝(n－1)2n＋1＋2，错误.故选AB.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，则f(4)＝________.
解析　令x＝y＝1，则f(2)＝f(1)＋f(1)＋1＝3.令x＝y＝2，则f(4)＝f(2)＋f(2)＋1＝7.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　)A.(－1，2) B.(1，2)C.(－1，－2) D.(－2，1)
解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2).
2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)A.1 B.2 C.0 D.－2
解析　函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，可得f(2＋x)＝f(2－x)，即为2|2＋x－a|＝2|2－x－a|，即有|2＋x－a|＝|2－x－a|(*)恒成立，可得2＋x－a＝2－x－a或2＋x－a＋2－x－a＝0，解得x＝0或a＝2，检验可得a＝2时(*)式恒成立.
3.(2024·常州质检)函数f(x)的定义域为R，且f(1＋x)＝－f(1－x)，f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)是(　　)A.偶函数，又是周期函数B.偶函数，但不是周期函数C.奇函数，又是周期函数D.奇函数，但不是周期函数
解析　法一　因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)的图象关于(1，0)中心对称；因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2).又f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数.
法二　因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x).因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，则f(x＋2)＝f(x－2).因为f(2＋x)＝f(2－x)，所以f(x－2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数.
解析　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，
当x1f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|