2025高考数学一轮复习-第2章-第7节 指数与对数的运算【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第2章-第7节 指数与对数的运算【课件】，共57页。PPT课件主要包含了CONTENTS，知识诊断自测，根式的概念及性质，分数指数幂，没有意义，ar＋s，ars，arbr，logaN，nlogaM等内容，欢迎下载使用。
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
ZHISHIZHENDUANZICE
3.有理指数幂的运算性质aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝____，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝____________，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质①algaN＝____；②lgaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①lga(MN)＝_______________；
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(3)lg2x2＝2lg2|x|，故(3)错误.(4)当M＜0，N＜0时，虽然MN＞0，但lga(MN)＝lgaM＋lgaN不成立，故(4)错误.
得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7，则a2＋a－2＋2＝49，即a2＋a－2＝47.
KAODIANJUJIAOTUPO
1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加.(2)运算的先后顺序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
解析　将a＋a－1＝3两边平方，得(a＋a－1)2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确；
(3)已知lg 2＝a，lg 3＝b，用a，b表示lg1815＝______________.
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
考点三　指数与对数运算的实际应用
例3 (1)(2020·新高考Ⅰ卷改编)基本再生数R0与世代间隔T是新冠感染的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠感染疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠感染疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)(　　)A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
解析　由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，
由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln 2，
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2，p3，则(　　 )A.p1≥p2 B.p2>10p3C.p3＝100p0 D.p1≤100p2
所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；
所以Lp2－Lp3>20，不可能成立，故B不正确；
法二　由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，
解决指数、对数运算实际应用问题的步骤(1)理解题意、弄清楚题目条件与所求之间的关系；(2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求.
(2)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h＝m·at.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度(　　)A.25天 B.30天C.35天 D.40天
于是得t－10＝20，解得t＝30(天)，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　因为2a＝5，b＝lg83，即23b＝3，
3.某品牌计算器在计算对数lgab时需按“lg(a，b).”某学生在计算lgab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“lg(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　)A.a＝2b B.b＝2a C.a＝b2 D.b＝a2
解析　由题意，得lgba＝4·lgab，
因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b，即a＝b2，故选C.
解析　由4a＝9，解得a＝lg49＝lg2232＝lg23，
当b＝lg28时，a＋b＝lg23＋lg28＝lg2(3×8)＝lg224，所以2a＋b＝24，
9.若ex＝2 024，e－y＝1 012，则x＋y＝________.
解析　ex＝2 024，e－y＝1 012，
解　(1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5)＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(2)原式＝4lg22＋3lg23·lg32＝4＋3＝7.
12.某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数.如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题：(1)10 h后还剩百分之几的污染物？
解　由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，
所以当t＝10时，P＝0.81P0，即10 h后还剩下81%的污染物.
(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
即污染减少50%大约需要花33 h.
(2)根据(1)的计算过程，写出涉及函数f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并证明.
解　由此概括出对所有不等于0的实数x有f(x2)－5f(x)g(x)＝0，证明如下：