2025高考数学一轮复习-第2章-第9节 对数函数【课件】

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1.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质
2.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称.它们的定义域和值域正好互换.
即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
解析　(1)形如y＝lgax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误.(3)若0b>c，故选A.
角度2　解对数不等式例3 (2024·安徽江淮十校联考)已知实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，则不等式lga(3x＋2)＜lga(8－5x)的解集为____________.
解析　由实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1，所以函数y＝lgax为单调递减函数，由不等式lga(3x＋2)＜lga(8－5x)，
角度3　对数函数性质的综合应用例4 (2024·石家庄调研)已知函数f(x)＝lga(3－ax)(a>0，且a≠1).(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
解　设g(x)＝3－ax.由题意，知3－ax>0对一切x∈[0，2]恒成立.因为a>0，所以g(x)＝3－ax在区间[0，2]上为减函数.
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解　不存在.理由如下：假设存在这样的实数a.由题意，得f(1)＝1，即lga(3－a)＝1，
因为当x＝2时，f(x)无意义，所以这样的实数a不存在.
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
(2)(2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠3，且x≠－3}，则f(－x)＝ln |－x＋3|＋ln |－x－3|＝ln |x－3|＋ln |x＋3|＝f(x)，则f(x)是偶函数，排除B，C；f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|，令t＝|x2－9|，而y＝ln t为增函数，由复合函数单调的同增异减的原则，f(x)在(－∞，－3)上单调递减，A正确.
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝lgax，又f(2)＝1，即lga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝lg2x.
3.(多选)函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
解析　由图象可知0＜a＜1，令y＝0得lga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.
A.a＞1 B.0＜c＜1C.0＜a＜1 D.c＞1
解析　因为函数y＝lga(－x)的图象与函数y＝lgax的图象关于y轴对称，所以函数y＝lga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故A，B错误；当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝lga(－x)在(－∞，0)上单调递减，
6.(多选)函数f(x)＝lga|x－1|(a>0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，那么(　　)A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值B.f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值C.f(x)在定义域内是偶函数D.f(x)的图象关于直线x＝1对称.
解析　因为函数f(x)＝lga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以f(x)＝lga(1－x)在(0，1)上为减函数，而y＝1－x是减函数，故a>1，所以当x>1时，f(x)＝lga(x－1)，
而y＝x－1是增函数，且a>1，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故A正确，B错误；又f(－x)＝lga|－x－1|＝lga|x＋1|≠f(x)，故C错误；因为f(2－x)＝lga|2－x－1|＝lga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.
又ab＜0，所以a＋b＜ab，所以a＋b＜ab＜0.
9.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________.
解析　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，所以f(x)的定义域为{x|x＞4，或x＜－2}.又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，而y＝lg μ在定义域上单调递增，所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.
解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
11.已知函数f(x)＝lg2(1＋x)，g(x)＝lg2(1－x).(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
所以函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1).
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
解　函数f(x)－g(x)是奇函数.理由如下：因为函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1)，所以其定义域关于原点对称.又因为f(－x)－g(－x)＝lg2(1－x)－lg2(1＋x)＝－[lg2(1＋x)－lg2(1－x)]＝－[f(x)－g(x)]，所以函数f(x)－g(x)是奇函数.
(3)求使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围.
解　因为f(x)－g(x)>1，即lg2(1＋x)－lg2(1－x)>1，
所以函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞).
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞).
(2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围.
解　根据题意，知a>0，且a≠1.
因为f(x)在区间[2，4]上是增函数，则
又因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0，所以g(2)>0，
因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0，所以g(4)>0.所以16a－4>0，
则此种情况不存在.综上所述，实数a的取值范围是(1，＋∞).
14.已知函数f(x)＝3－2lg2x，g(x)＝lg2x.(1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
解　h(x)＝(4－2lg2x)lg2x＝2－2(lg2x－1)2.因为x∈[1，4]，所以lg2x∈[0，2]，故函数h(x)的值域为[0，2].
令t＝lg2x，因为x∈[1，4]，所以t＝lg2x∈[0，2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，①当t＝0时，k∈R；
所以k