2025高考数学一轮复习-第2章-第12节 函数模型及其应用【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第2章-第12节 函数模型及其应用【课件】，共55页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，考点聚焦突破，课时分层精练，ACD等内容，欢迎下载使用。
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
2.几种常见的函数模型
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
∴每件赔1元，(1)错误.(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.(2)不正确.
2.(必修一P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　)
解析　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时,该商人买入乙商品,可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元).故该商人共获利40＋80＝120(万元).
A.40万元 B.60万元C.80万元 D.120万元
解析　由题意知4.9＝5＋lg V，
所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，则这种商品的日销售金额的最大值是________.
∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　利用函数图象刻画实际问题的变化过程
例1 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)
解析　依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
训练1 (2024·泰州调研)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律(　　)
解析　由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1.
A.y＝mx2＋n(x＞0)B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1)D.y＝mlgax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)
考点二　已知函数模型解决实际问题
1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
训练2 (1)(2024·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体,对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08 mg/m3,否则，该新房达不到安全入住的标准，若某套住房自装修完成后，通风x(x＝1,2，3，…，50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之间近似满足函数关系式y＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝lga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1，2，3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，则该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风(　　)A.17周 B.24周C.28周 D.26周
解析　由题意，f(x)＝lga[k(x＋1)2]＝lgak＋2lga(x＋1)，由f(2)＝2，f(8)＝3，得lgak＋2lga(2＋1)＝2，lgak＋2lga(8＋1)＝3，两式相减得lga9＝1，则a＝9，所以lgak＋2＝3，得k＝9.该住房自装修完成后要达到安全入住的标准，则需0.48－0.1f(x)≤0.08，即f(x)≥4，即1＋2lg9(x＋1)≥4，解得x≥26，故至少需要通风26周.故选D.
(2)(2024·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数.已知S0＝60%，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　)A.0.3小时 B.0.5小时C.0.7小时 D.0.9小时
解析　设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要t－1小时，由题意可得60eK＝80，60eKt＝90，
则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时)，故选B.
考点三　构建函数模型解决实际问题
例3 李冶(1192—1279)，真定栾城(今属河北石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人,数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：如求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为y亩,若方田的四边到水池的最近距离均为20步，则y关于水池半径r(步)的函数关系式为y＝___________________,水池的边缘与方田之间的面积与水池半径比值最小时，r＝________(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算).
解析　已知水池的半径为r步，
则方田的边长为(2r＋40)步，由题意得，(2r＋40)2－πr2＝y×240，
在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型.(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.(3)解模：求解函数模型，得出数学结论.(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题.
训练3 某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池,如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(　　)
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(2024·绵阳诊断)某检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量X与扩增次数n满足lg X＝nlg(1＋p)＋lg X0，其中X0为DNA的初始数量,p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后,数量变为原来的1 000倍,则扩增效率p约为(参考数据：100.25≈1.778,10－0.25≈0.562)(　　)A.22.2% B.43.8% C.56.2% D.77.8%
解析　由题意知，lg(1 000X0)＝12lg(1＋p)＋lg X0，即lg 103＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0，即3＋lg X0＝12lg(1＋p)＋lg X0，所以1＋p＝100.25≈1.778，解得p≈0.778＝77.8%.故选D.
2.在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
解析　由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
3.(2024·烟台调研)海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID＝I0e－KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数(也称衰减系数)，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　)
解析　由题意得，30%I0＝I0e－10K，即30%＝e－10K，两边取自然对数得，－10K＝ln 3－ln 10＝ln 3－ln 2－ln 5，
当0720，所以该企业每年利润最大值为875万元.故选C.
6.(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　)
解析　在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
7.(多选)(2024·河北部分学校联考)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.已知抽奖结果共分5个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，则(　　 )A.a＝－ln 5B.k＝15C.一等奖的面值为3 130元D.三等奖的面值为130元
解析　由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，
由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖的面值的3倍，所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误；三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确.
8.当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少要经过________个“半衰期”.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.
9.里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.
解析　M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍.
∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462.
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.
12.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4