2025高考数学一轮复习-第3章-第1节 导数的概念及运算【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第3章-第1节 导数的概念及运算【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断自测，ABD，考点聚焦突破，考点一导数的概念，考点二导数的运算，课时分层精练，BCD等内容，欢迎下载使用。
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
ZHISHIZHENDUANZICE
2.导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为______________________.
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝____________；(2)[f(x)g(x)]′＝____________________；
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(4)[cf(x)]′＝_____.
5.复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝_________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数.2.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.并注意“在点P处的切线”,说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上.3.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率.(　　)(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cs x.(　　)(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　)
解析　(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cs x，错误.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，错误.(4)函数y＝x2与x＝0这条直线只有一个公共点，但它们相交，错误.
2.(多选)下列导数的运算中正确的是(　　 )
4.(选修二P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝aln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝________.
解析　由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e，
所以该曲线在点(1，2)处切线斜率为a.因为两切线平行，所以a＝2e.
KAODIANJUJIAOTUPO
解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
解析　对于A，(lg23)′＝0，故A错误；
对于C，(sin2x)′＝2sin xcs x＝sin 2x，故C正确；
(2)(2024·江西名校联考)已知f(x)＝ex－f′(0)x，则f(2)＝(　　)A.e2－4 B.e2－2C.e2－1 D.e2－e
考点三　导数的几何意义
解析　由y＝x2(x＋1)＝x3＋x2，得y′＝3x2＋2x，设切点坐标为(t，t2(t＋1))，则过切点的切线方程为y－t2(t＋1)＝(3t2＋2t)(x－t)，
当t＝0时，切线方程为y＝0，当t＝1时，切线方程为y＝5x－3，
综上，直线l的方程为y＝0或5x－y－3＝0或15x＋125y－9＝0.
角度2　求切点坐标或参数例4 (1)(2024·榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(　　)A.－2 B.－1 C.0 D.1
又f(x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝－1.故选B.
(2)(2024·济南质检)设x0>1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln x0＝(　　)A.0 B.1 C.e D.2e
解析　由题意得f(x0)＝0，即aln x0－3x0＋2a＝0，①
将(0，2e)代入得2e＝－a＋3x0，②联立①②解得a＝x0＝e，故aln x0＝e.故选C.
(3)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是____________________.
(－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析　因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0，所以切线的方程为y－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](x－x0)，又切线过原点，所以－(x0＋a)ex0＝[ex0＋(x0＋a)ex0](－x0)，
因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，
所以Δ＝a2＋4a>0，解得a0.
求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
训练3 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)A.(－∞，2] B.(－∞，2)C.(2，＋∞) D.(0，＋∞)
解析　函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，
所以a的取值范围是(－∞，2).
(2)(2024·南通质检)已知函数f(x)＝x3－2x2＋2x，则曲线y＝f(x)经过点A(1，1)的切线方程是________________________.
3x－4y＋1＝0或x－y＝0
解析　设切点为(t，t3－2t2＋2t)，由题意知f′(x)＝3x2－4x＋2，所以切线的斜率k＝3t2－4t＋2，所以切线方程为y－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(x－t).因为切线过点A(1，1)，所以1－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(1－t)，即(t－1)2(2t－1)＝0，
又切线过点A(1，1)，得切线方程为3x－4y＋1＝0或x－y＝0.
微点突破　 公切线问题
1.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法.2.公切线条数的判断问题可转化为方程根的个数求解问题.
一、共切点的公切线问题例1 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点处的切线相同，则m等于(　　)A.－3 B.1 C.3 D.5
解析　依题意，设曲线y＝f(x)与y＝g(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同.∵f(x)＝x2－m，g(x)＝6ln x－4x，
∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.
二、不共切点的公切线问题例2 (2024·湖北名校联考)若直线x＋y＋m＝0是曲线f(x)＝x3＋nx－52与曲线g(x)＝x2－3ln x的公切线，则m－n＝(　　)A.－30 B.－25 C.26 D.28
解析　设直线x＋y＋m＝0与曲线f(x)＝x3＋nx－52相切于点(a，－a－m)，与曲线g(x)＝x2－3ln x相切于点(b，－b－m)，b>0.
又两曲线的公切线斜率为－1，
所以1－3ln 1＝－1－m，解得m＝－2.由f(x)＝x3＋nx－52知f′(x)＝3x2＋n，又两曲线的公切线斜率为－1，则3a2＋n＝－1，即n＝－3a2－1，故a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，整理得a3＝－27，故a＝－3，所以n＝－3a2－1＝－28，故m－n＝26.故选C.
训练 (1)(2024·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2与g(x)＝ln x的图象在公共点处有共同的切线，则实数a的值为________.
解析　设公共点为P(x0，y0)(x0＞0)，
由f(x)＝ax2，得f′(x)＝2ax，
因为函数f(x)与g(x)的图象在公共点P(x0，y0)处有共同的切线，
(2)若曲线C1：y＝ax2(a＞0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为______________.
解析　由y＝ax2(a＞0)得y′＝2ax，由y＝ex得y′＝ex.
与曲线C2切于点(x2，ex2)，
即y＝ex2x－(x2－1)ex2，
因为a＞0，所以x1＞0，
当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.
KESHIFENCENGJINGLIAN
C中，(5x)′＝5xln 5，其余正确.
5.(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　 　)A.f′(3)＞f′(2) B.f′(3)＜f′(2)C.f(3)－f(2)＞f′(3) D.f(3)－f(2)＜f′(2)
解析　由图知f′(2)＞f′(3)＞0，故A错误，B正确.
解析　∵f′(x)＝2sin αx＋2－sin α－3，∴f′(1)＝2sin α＋2－sin α－3.∵－1≤sin α≤1，∴2－1≤2sin α≤2，
易得f′(1)的最大值为2＋2－1－3