2025高考数学一轮复习-第3章-第4节 导数与函数的极值【课件】

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1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会利用极值求参数.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_________.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.
2.函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧__________.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.3.极小值点、极大值点统称为________，极小值和极大值统称为______.
1.对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.2.极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数可能没有极值，也可能不止一个.(　　)(2)单调函数没有极值.(　　)(3)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点.(　　)(4)极大值一定大于极小值.(　　)
2.如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　)
解析　由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数值符号左负右正.
A.1 B.2 C.3 D.4
3.函数f(x)＝x3－12x的极小值为________，极大值为________.
解析　由题意可得f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
则f′(x)，f(x)随x的变化情况如表所示.
所以函数f(x)在x＝－2处取得极大值16，函数f(x)在x＝2处取得极小值－16.
4.(选修二P104T9改编)函数f(x)＝x(x－c)2有极值，则实数c的取值范围是___________________.
(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析　f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝3x2－4cx＋c2.由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝16c2－12c2＝4c2>0，解得c≠0，即c∈(－∞，0)∪(0，＋∞).
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　根据函数图象判断极值
例1 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析　由题图可知，当x0；当－20时，h(x)>0；当x0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a0，g(x)单调递增.所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当a＝0时，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；