2025高考数学一轮复习-第四章-第八节 第二课时 三角形高线、中线、角平分线的计算【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第四章-第八节 第二课时 三角形高线、中线、角平分线的计算【课件】，共46页。PPT课件主要包含了考点聚焦突破，考点一三角形的高线，考点二三角形的中线，课时分层精练，ACD等内容，欢迎下载使用。
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例1 (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.(1)求sin A；(2)设AB＝5，求AB边上的高.
因为2sin(A－C)＝sin B，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sin Acs C－2cs Asin C＝sin Acs C＋cs Asin C，所以sin Acs C＝3cs Asin C，易得cs Acs C≠0，
高线问题的处理策略(1)等面积法：AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.(3)a＝c·cs B＋b·cs C.
例2 (2024·湘潭模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足b2(sin2B－3cs2B)＝－a(a＋b)，且sin C＝sin 2B.(1)求角B的大小；
解　因为sin C＝sin 2B，所以sin C＝2sin B·cs B，由正弦定理得c＝2bcs B，由b2(sin2B－3cs2B)＝－a(a＋b)，得b2(1－4cs2B)＝－a2－ab，又由c＝2bcs B，得c2＝4b2cs2B，
中线问题的处理策略：如图①，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC及A，求中线AD长.
训练2 (2024·长沙模拟)在△ABC中，bsin B＝asin A－(b＋c)sin C.(1)求角A的大小；
解　由已知bsin B＝asin A－(b＋c)sin C和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2，
考点三　三角形的角平分线
(2)设AD是△ABC的角平分线，求AD的长.
解　由(1)可得b＝c－1＝2，因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD＝∠CAD＝30°，设AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得
训练3 (2024·晋城模拟)已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acs B＋bcs A＝2ccs B.(1)求角B；
解　因为acs B＋bcs A＝2ccs B，由正弦定理可得sin Acs B＋sin Bcs A＝2sin Ccs B，所以sin(A＋B)＝2sin Ccs B，即sin C＝2sin Ccs B，
在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcs ∠CBD，
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　如图，BC边上的高AD为BC边长的一半，
解析　设∠BAD＝∠CAD＝θ，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
解析　由(2b－c)cs A＝acs C，得2sin Bcs A－sin Ccs A＝sin Acs C，得2sin Bcs A＝sin Acs C＋sin Ccs A＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
解析　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2－bc，即4＝b2＋c2－bc，所以4＝b2＋c2－bc≥bc，当且仅当b＝c时，等号成立.
解析　如图，在△ABC中，设D为AB边的中点，
10.在锐角△ABC中，BC＝4，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD的取值范围是____________.
解析　设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，对sin B＋sin C＝2sin A运用正弦定理，得b＋c＝2a＝8，所以c＝8－b，因为该三角形为锐角三角形，所以根据余弦定理，
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2(1－4cs2B)＝－ab，且c＝2bcs B.(1)求B；
解　由a2＋b2(1－4cs2B)＝－ab，有a2＋b2－4b2cs2B＝－ab，又c＝2bcs B，所以c2＝4b2cs2B，即a2＋b2－c2＝－ab，
设BC＝x，则AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理知，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs ∠ACB，
14.(2024·杭州模拟)已知锐角△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acs C＝b－a.(1)证明：C＝2A；
证明　因为2acs C＝b－a，由正弦定理得2sin Acs C＝sin B－sin A，又sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acs C＋cs Asin C，所以2sin Acs C＝sin Acs C＋cs Asin C－sin A，整理得sin(C－A)＝sin A，
解　因为CD为∠ACB的平分线，且C＝2A，
在△ACD中，由余弦定理可得b2＝AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD·cs ∠ADC＝3＋3－6cs(π－2A)＝6＋6cs 2A＝8，