2025高考数学一轮复习-第四章-第八节 第三课时 解三角形的综合应用【课件】

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考点一　多边形中的解三角形问题
(2)线段AC的长度.
由余弦定理，得BC2＝BD2＝AD2＋AB2－2AD×AB×cs θ
平面几何中解三角形问题的求解思路(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
(2)△BCD的面积.
考点二　三角形中的最值(范围)
[满分规则]❶得步骤分①处的实质都是解三角方程，都要注意写清楚角的范围，否则易失步骤分.❷得关键分②处消去角A是本题得解的关键所在.❸得计算分③处利用基本不等式求最小的关键是把目标函数化为其适用形式.
解　选①：由正弦定理及2a－b＝2ccs B，得2sin A－sin B＝2sin Ccs B，又∵sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋cs Bsin C，∴2sin Bcs C＝sin B.
考点三　三角形中的证明问题
例3 (2022·全国乙卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).(1)若A＝2B，求C；
将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A).因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A).
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
证明　法一　由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，可得sin Csin Acs B－sin Ccs Asin B＝sin Bsin Ccs A－sin Bcs Csin A，结合正弦定理可得，accs B－bccs A＝bccs A－abcs C，即accs B＋abcs C＝2bccs A(*).
2bccs A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2.
法二　因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acs2B－cs2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程.
训练3 (2024·开封调研)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin(B－C)·tan A＝sin Bsin C.(1)若A＝B，求sin2A的值；
∵0