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2025高考数学一轮复习-第7章-第4节 空间直线、平面的平行【课件】
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这是一份2025高考数学一轮复习-第7章-第4节 空间直线、平面的平行【课件】,共60页。PPT课件主要包含了知识诊断自测,考点聚焦突破,课时分层精练,ACD等内容,欢迎下载使用。
1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理
2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有公共点的两个平面叫做平行平面.(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理
1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.2.三种平行关系的转化
(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题过程中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时,一定要写全定理满足的条件,否则可能是假命题.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
解析 (1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误.(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.
(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( )(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
2.(必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交
解析 因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.
3.(必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为______________.
解析 因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG,同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
解析 ①由线面平行的判定定理知lα;②由线面平行的判定定理知lα.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 直线与平面平行的判定与性质
角度1 直线与平面平行的判定例1 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.
证明 法一 如图,取PD的中点F,连接EF,FA.由题意知EF为△PDC的中位线,
又∵AB∥CD,AB=2,CD=4,∴AB綉EF,∴四边形ABEF为平行四边形,∴BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,∴BE∥平面PAD.
法二 如图,延长DA,CB相交于点H,连接PH,
∵AB∥CD,AB=2,CD=4,
又E为PC的中点,∴BE∥PH,又BE平面PAD,PH⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD.法三 如图,取CD的中点H,连接BH,HE,
∵E为PC的中点,∴EH∥PD,又EH平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EH∥平面PAD,
又由题意知AB綉DH,∴四边形ABHD为平行四边形,∴BH∥AD,又AD⊂平面PAD,BH平面PAD,∴BH∥平面PAD,又BH∩EH=H,BH,EH⊂平面BHE,∴平面BHE∥平面PAD,又BE⊂平面BHE,∴BE∥平面PAD.
角度2 直线与平面平行的性质例2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和PA作平面交BD于点H.求证:PA∥GH.
证明 如图所示,连接AC交BD于点O,连接OM,∵四边形ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴PA∥OM,又OM平面BMD,PA平面BMD,∴PA∥平面BMD,又平面PAHG∩平面BMD=GH,PA平面PAHG,∴PA∥GH.
1.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(aα,bα,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,aα⇒a∥β).(4)利用面面平行的性质(α∥β,aβ,a∥α⇒a∥β).2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.
训练1 如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;
证明 如图,记AC与BD的交点为O,连接OE.因为O,M分别为AC,EF的中点,且四边形ACEF是矩形,所以EM∥OA且EM=OA,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE,又因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,所以AM∥平面BDE.
(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论.
解 l∥m,证明如下:由(1)知AM∥平面BDE,又AM⊂平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM,同理,AM∥平面BDE,又AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.
考点二 平面与平面平行的判定与性质
例3 (2024·潍坊质检)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱B1C1,A1B1,AB的中点.(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
证明 ∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G,EF平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G.又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG,又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,∴BF∥A1G.∵A1G⊂平面A1C1G,BF平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G,又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面BEF,∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
证明 ∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,经过点G的直线交BC于H,则A1C1∥GH,得GH∥AC,∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.
证明面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β).(3)利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ).
训练2 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合).(1)求证:BC∥GH;
证明 ∵在三棱柱ABC-A1B1C1中,∴平面ABC∥平面A1B1C1,又∵平面BCHG∩平面ABC=BC,且平面BCHG∩平面A1B1C1=HG,∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG.
证明 ∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,∵EF平面BCHG,BC⊂平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,∴A1G綉EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E平面BCHG,GB⊂平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.
考点三 平行关系的综合应用
如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.
由棱柱的性质知,四边形A1ABB1为平行四边形,∴点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,O,D1分别为A1B,A1C1的中点,∴OD1∥BC1.又OD1⊂平面AB1D1,BC1平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1.
解 由已知,平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1.因此BC1∥OD1,同理AD1∥DC1.
解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设,再严格证明,先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
解析 如图,连接D1A,AC,D1C,因为E,F,G分别为AB,BC,C1D1的中点,所以AC∥EF,又EF平面ACD1,AC平面ACD1,所以EF∥平面ACD1,易知EG∥AD1,
所以同理可得EG∥平面ACD1,
又EF∩EG=E,EF,EG平面EFG,所以平面ACD1∥平面EFG.因为直线D1P∥平面EFG,所以点P在直线AC上.
微点突破 截面(交线)问题
1.作截面应遵循的三个原则:(1)在同一平面上的两点可引直线;(2)凡是相交的直线都要画出它们的交点;(3)凡是相交的平面都要画出它们的交线.2.作交线的方法有如下两种:(1)利用基本事实3作交线;(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行,然后根据性质作出交线.
例1 (2024·宁波质检)已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PA=AB,点E是PD的中点,点F是棱PC上的点且PF=2FC,则平面BEF截四棱锥P-ABCD所得的截面图形是( )A.斜三角形B.梯形C.平行四边形D.两组对边均不平行的四边形
解析 如图,延长EF和DC,设其交点为G,连接BG,延长DA并与直线BG交于点H,连接HE交PA于点K,
连接KB,得四边形EFBK,假设KE∥BF,易证BF∥平面PAD,易知BC∥平面PAD,易得平面PBC∥平面PAD,与平面PBC与平面PAD有公共点P矛盾,故假设不成立,因此KE与BF不平行,同理可证KB与EF不平行,因此四边形EFBK的两组对边均不平行,故选D.
解析 如图,设B1C1的中点为E,球面与棱BB1,CC1的交点分别为P,Q,
连接DB,D1B1,D1P,D1Q,D1E,EP,EQ,由∠BAD=60°,AB=AD,知△ABD为等边三角形,∴D1B1=DB=2,∴△D1B1C1为等边三角形,
∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心,
训练 (1)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面α经过直线BD且与直线C1E平行,若正方体的棱长为2,则平面α截正方体所得的多边形的面积为________.
解析 如图,过点B作BM∥C1E交B1C1于点M,
过点M作BD的平行线,交C1D1于点N,连接DN,则平面BDNM即为符合条件的平面α,由图可知M,N分别为B1C1,C1D1的中点,
解析 设球O的半径为r,则AB=BC=2r,
又O2为AB的中点,所以O2P⊥AB.又O1O2∩O2P=O2,O1O2,O2P⊂平面O1O2P,
所以AB⊥平面O1O2P,又OH⊂平面O1O2P,所以AB⊥OH.因为OH⊥O2P,且AB∩O2P=O2,AB,O2P⊂平面ABP,所以OH⊥平面ABP.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.如图,已知P为四边形ABCD外一点,E,F分别为BD,PD上的点,若EF∥平面PBC,则( )A.EF∥PAB.EF∥PBC.EF∥PCD.以上均有可能
解析 由线面平行的性质定理可知EF∥PB.
2.如果AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交
解析 如图,把这三条线段放在正方体内,可得AC∥EF,AC平面EFG,EF平面EFG,故AC∥平面EFG.
3.下列命题中正确的是( )A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,bα,则b∥α
解析 A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线也可能异面;C中,两平面可能相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知b∥α,故D正确.
4.已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )A.2∶3B.2∶5C.4∶9D.4∶25
解析 ∵平面α∥平面ABC,∴A′C′∥AC,A′B′∥AB,B′C′∥BC,∴S△A′B′C′∶S△ABC=(PA′∶PA)2,又PA′∶AA′=2∶3,∴PA′∶PA=2∶5,∴S△A′B′C′∶S△ABC=4∶25.
5.(2024·成都诊断)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是( )①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④
解析 对于①,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB∥C1D1,且AB=C1D1,所以四边形AD1C1B为平行四边形,故AD1∥BC1,故①正确;对于②,易证BD∥B1D1,AB1∥DC1,BD⊂平面BDC1,B1D1平面BDC1,所以B1D1∥平面BDC1,
同理可得AB1∥平面BDC1,又AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1⊂平面AB1D1,故平面AB1D1∥平面BDC1,故②正确;对于③,由正方体ABCD-A1B1C1D1易知,AD1与DC1异面,故③错误;对于④,因为AD1∥BC1,AD1平面BDC1,BC1⊂平面BDC1,所以AD1∥平面BDC1,故④正确.故选A.
6.(2024·杭州质检)已知α,β是两个不重合的平面,则“α∥β”的充要条件是( )A.平面α内存在无数条直线与β平行B.存在直线l与α,β所成的角相等C.存在平面γ,满足γ∥α且γ∥βD.平面α内存在不共线的三个点到β的距离相等
解析 对于A,如果α∩β=l,则在α内与l平行的直线有无数条,这无数条直线都与平面β平行,但此时α不平行于β,故A错误;对于B,如果α∩β=m,在空间内必存在直线lα,lβ,且l与m平行,此时l也与两个平面平行,即直线l与α,β所成的角都等于0,故B错误;
对于C,如果α∥β,则一定存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β,若γ∥α且γ∥β,则也一定有α∥β,则“α∥β”的充要条件是“存在平面γ,满足γ∥α且γ∥β”,故C正确;对于D,当α∥β时,α内必存在不共线的三个点到β的距离相等,但当α∩β=m时,同样可以在α内找到不共线的三个点到β的距离相等,故D错误.故选C.
7.(2024·新乡模拟)在如图所示的正方体或正三棱柱中,M,N,Q分别是所在棱的中点,则满足直线BM与平面CNQ平行的是( )
解析 对于A,如图①,连接B1N,由正方体的性质可知BM∥B1N,又B1N与平面CNQ相交,所以直线BM与平面CNQ不平行,故A错误;
对于B,如图②,连接AC,AQ,由正方体的性质可知NQ∥AC,故平面CNQ即为平面ACNQ,而BM∥AQ,BM平面CNQ,AQ平面CNQ,所以直线BM与平面CNQ平行,故B正确;
对于C,如图③,连接BQ,由中位线定理及正三棱柱的性质可知NQ∥BC,故平面CNQ即为平面BCNQ,则直线BM与平面CNQ相交于点B,故C错误;
对于D,假设直线BM与平面CNQ平行,如图④,过点M作CQ的平行线交A1B1于点D,则D是线段A1B1上靠近点B1的四等分点,连接BD,由MD∥CQ,MD平面CNQ,CQ平面CNQ,可得MD∥平面CNQ,又BM与平面CNQ平行,MD∩BM=M,MD,BM平面BDM,则平面BDM∥平面CNQ,而平面ABB1A1与平面BDM、平面CNQ分别相交于BD,QN,则BD与QN平行,显然BD与QN不平行,故假设错误,所以直线BM与平面CNQ不平行,故D错误.故选B.
8.如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件_________________________________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
点M在线段FH上(或点M与点H重合)
解析 连接HN,FH,FN(图略),则FH∥DD1,HN∥BD,易证得FH∥平面B1BDD1,HN∥平面B1BDD1,FH∩HN=H,FH,HN平面FHN,∴平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN平面FHN,∴MN∥平面B1BDD1.
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
解析 因为EF∥平面AB1C,EF平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以点F为DC的中点,
10.我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M,N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为 .
解析 延长AN,与CC1的延长线交于点P,
则P∈平面BB1C1C,连接PM,与B1C1交于点E,连接NE,得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形,
11.如图,四边形ABCD为长方形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.证明:(1)DF∥平面PBE;
证明 取PB中点G,连接FG,EG,
因为四边形ABCD为长方形,所以BC∥AD,且BC=AD,所以DE∥FG,且DE=FG,所以四边形DEGF为平行四边形,所以DF∥GE,因为DF平面PBE,GE平面PBE,所以DF∥平面PBE.
证明 由(1)知DF∥平面PBE,又DF平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l,所以DF∥l.
12.如图,四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:(1)BE∥平面DMF;
证明 如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,因为四边形ADEF为平行四边形,所以O为AE的中点,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE∥平面DMF.
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥NG,又DE平面MNG,NG平面MNG,所以DE∥平面MNG,因为M为AB的中点,N为AD的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD平面MNG,MN平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.
13.(多选)(2024·苏州质量评估)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则( )A.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行B.平面PAD和平面PBC的交线与底面ABCD平行C.平面PAB和平面PCD的交线与底面ABCD平行D.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
解析 设平面PBC∩平面PAD=l,在平面PBC内存在无数条直线与l平行,且不在平面PAD内,则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行,故A正确;若l∥平面ABCD,l平面PBC,平面PBC∩平面ABCD=BC,则l∥BC,
同理,l∥AD,则BC∥AD,这与四边形ABCD为梯形矛盾,故B错误;设平面PAB∩平面PCD=m,∵AB∥CD,平面PAB∩平面ABCD=AB,平面PCD∩平面ABCD=CD,∴AB∥m,又AB平面ABCD,m平面ABCD,∴m∥平面ABCD,故C正确;假设平面PAD内存在一条直线a与BC平行,则BC∥平面PAD,又BC平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,则BC∥AD,不符合题意,∴平面PAD内任意一条直线都不与BC平行,故D正确.
14.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,BC的中点.(1)当点P在棱DD1上运动时,是否都有MN∥平面A1C1P,证明你的结论;
解 当点P在棱DD1上运动时,都有MN∥平面A1C1P.证明如下:连接AC,在正方形ABCD中,MN为△ABC的中位线,可得MN∥AC,由正方体的截面性质可得四边形A1ACC1为矩形,则AC∥A1C1,可得MN∥A1C1,又MN平面A1C1P,A1C1⊂平面A1C1P,则MN∥平面A1C1P.
证明 取A1A的中点F,连接PF,FB1,取B1B的中点E,连接AE,由FP∥A1D1,FP=A1D1,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1,可得FP∥B1C1,FP=B1C1,即四边形FPC1B1为平行四边形,可得FB1∥PC1,由E为B1B的中点,且B1Q=3QB,可得Q为BE的中点,且MQ∥AE,
由AEB1F为平行四边形,可得AE∥FB1,即有MQ∥PC1.又MQ平面A1C1P,PC1平面A1C1P,则MQ∥平面A1C1P,又MN∥平面A1C1P,MN∩MQ=M,MN,MQ平面MNQ,则平面MNQ∥平面A1C1P.
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