2025高考数学一轮复习-第7章-第5节 空间直线、平面的垂直【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-第7章-第5节 空间直线、平面的垂直【课件】，共60页。PPT课件主要包含了CONTENTS，知识诊断自测，两条相交直线，两个半平面，∠AOB，直二面角，l⊂β，考点聚焦突破，所以PO⊥OE，课时分层精练等内容，欢迎下载使用。
1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果直线l与平面α内的______一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理
2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是_____；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是____.(2)范围：_________.
3.二面角(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角.
(2)二面角的平面角若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是_________.(3)二面角的平面角α的范围：[0，π].
4.两个平面垂直(1)两个平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直.
(2)两个平面垂直的判定定理与性质定理
1.与“直线与平面垂直”有关的结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(2)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.2.三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.3.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
解析　(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)(2)垂直于同一个平面的两平面平行.(　　)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)
(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.
(4)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1⊥AB，所以BC1垂直于平面ABCD内所有与AB平行的直线，而平面ABC1D1过BC1，显然平面ABC1D1与平面ABCD不垂直，故(4)错误.
2.(必修二P159T2改编)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(　　)A.α⊥γ，β⊥γ 　　B.α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥α 　　　D.a∥α，a⊥β
解析　α⊥γ，β⊥γ⇒α与β相交或平行，故A不正确；因为α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，所以β可以绕交线a任意旋转，所以不能得到α⊥β，故B不正确；a∥β，a∥α⇒α与β相交或平行，故C不正确；当a⊥β，a∥α，过直线a作平面与平面α交于直线b，所以a∥b，又a⊥β，所以b⊥β ，又b⊂α，所以α⊥β，故D正确.
3.(必修二P158例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD⊥圆柱的底面，则必有(　　)A.平面ABC⊥平面BCDB.平面BCD⊥平面ACDC.平面ABD⊥平面ACDD.平面BCD⊥平面ABD
解析　因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD，故选B.
4.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.
解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，因为在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，所以PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB.
因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　直线与平面垂直的判定与性质
例1 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，点E为垂足.(1)求证：PA⊥平面ABC；
证明　如图，在平面ABC内取一点D，过点D作DF⊥AC于点F.因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，DF⊂平面ABC，所以DF⊥平面PAC.因为PA⊂平面PAC，所以DF⊥PA.过点D作DG⊥AB于点G，同理可证DG⊥PA.因为DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，所以PA⊥平面ABC.
(2)当点E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
证明　如图，连接BE并延长交PC于点H.因为点E是△PBC的垂心，所以PC⊥BH.又AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以PC⊥AE.因为AE∩BH＝E，AE，BH⊂平面ABE，所以PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，所以PC⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，所以PA⊥AB.因为PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，所以AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.
训练1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；
证明　在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)PD⊥平面ABE.
证明　由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE.
考点二　平面与平面垂直的判定与性质
例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
证明　因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.
解　如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱锥A1－BB1C1C的高为A1H.由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠A1CB＝∠ACB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1.
1.面面垂直判定的两种方法与一个转化(1)两种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)一个转化：利用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直，通常是通过线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的.2.面面垂直性质定理的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”.(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线垂直于第三个平面.
训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点.(1)求证：BG⊥平面PAD；
证明　在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面PAD.
(2)求证：AD⊥PB；
证明　如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为线段AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，PG，BG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
解　能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF.
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.而FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，PG⊥AD，所以PG⊥平面ABCD.又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.
考点三　平行、垂直关系的综合应用
例3 (2024·石家庄模拟)如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2AD＝2，A1D∩AD1＝O，E为线段AB上的一点.(1)若OE∥平面D1BC，求证：E为AB的中点；
证明　因为四边形AA1D1D为正方形，A1D∩AD1＝O，所以O为AD1的中点.又因为OE∥平面D1BC，平面ABD1∩平面D1BC＝BD1，OE⊂平面ABD1，所以OE∥BD1.又因为O为AD1的中点，所以E为AB的中点.
(2)在线段AB上是否存在点E，使得平面D1DE⊥平面AD1C？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由.
设AC∩DE＝F，因为四边形AA1D1D为正方形，所以D1D⊥AD，又因为平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，平面AA1D1D⊥平面ABCD，D1D平面AA1D1D，所以D1D⊥平面ABCD，又因为AC平面ABCD，所以D1D⊥AC.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，
所以∠ADE＝∠BAC，又因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°，所以∠ADE＋∠DAC＝90°，则∠AFD＝90°，所以AC⊥DE，又因为DE∩DD1＝D，DE，DD1平面D1DE，所以AC⊥平面D1DE.又因为AC平面AD1C，所以平面D1DE⊥平面AD1C.
1.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定的综合应用.2.对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证.
所以△OBA∽△ABC，所以∠CAB＝∠AOB.记BF⊥AO的垂足为H，则△BHA∽△OBA，
所以∠HBA＝∠AOB.所以∠HBA＝∠CAB，所以BF＝AF，∠BCF＝∠CBF，所以CF＝BF，CF＝AF，故F是AC的中点.因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF∥PC.因为D，O分别是BP，BC的中点，所以DO∥PC，所以EF∥DO.又DO⊂平面ADO，EF平面ADO，所以EF∥平面ADO.
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积.
解　由(1)得FO∥AB，因为AB⊥BC，所以FO⊥BC.又PO⊥BC，所以∠POF是二面角P－BC－F的平面角，如图，过点P作PM⊥平面ABC于点M，连接MO，则∠POM是二面角P－BC－M的平面角，所以∠POM＝60°.
微点突破　 几何法求线面角、二面角
1.求线面角的三个步骤：一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.2.作二面角的平面角的方法作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.
解析　取BC的中点E，连接DE，AE，如图.依题意三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，
因为D，E分别是BC1和BC的中点，所以DE∥CC1，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥AE，
因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，BC，DE⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C，所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，
解析　取MN的中点E，连OE，PE，因为OM＝ON，所以OE⊥MN，因为PM＝PN，所以PE⊥MN，所以∠PEO是二面角P－MN－O的平面角，因为PO⊥平面OMN，OE⊂平面OMN，
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，所以∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角，连接AC，且AC⊂平面ABCD，则AA1⊥AC，又AB＝1，BC＝2，AA1＝5，
(2)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为(　　)
解析　由AC＝CB知，AC⊥CB，取AB的中点M，连接C1M，CM，由条件，可知∠C1MC即为二面角C1－AB－C的平面角，
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(多选)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，Pl，则下列命题中是真命题的为(　　　)A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β
解析　由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，则直线平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.
2.(2024·河南名校联考)设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αC.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
解析　A选项，若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，如图1，m∥n，且满足m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，但此时l与α斜交，故A错误；
B选项，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，因为l⊥α，所以n⊥α，故B正确；C选项，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因为l∥m，所以l∥n，故C错误；D选项，若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，如图2，满足m⊂α，n⊥α，l⊥n，但此时l与m异面，故D错误.故选B.
3.(2024·杭州质检)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β成立的充分条件是(　　)A.a∥α，b∥β，a⊥bB.α⊥γ，β⊥γC.a∥α，a⊥βD.α∩β＝a，a⊥b，bβ
解析　对于A，a∥α，b∥β，a⊥b，α与β可分别绕直线a与b任意转动，则α与β可能相交，也可能平行，故不是α⊥β的充分条件，A错误；对于B，α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，也可能平行，B错误；对于C，设过直线a的平面与α交于直线c，因为a∥α，所以a∥c，又a⊥β，所以c⊥β，
又c⊂α，所以α⊥β，所以C为α⊥β的充分条件，C正确；对于D，α∩β＝a，a⊥b，b⊂β，若作直线d使得a⊥d，且d⊂α，则b与d的夹角即二面角α－a－β的平面角，由于该二面角不一定为直角，所以α与β不一定垂直，D错误.故选C.
4.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　)A.直线AB上B.直线BC上C.直线AC上D.△ABC内部
解析　连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上.
5.(多选)如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
解析　对于A，显然AB与CE不垂直，则直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，所以AB⊥平面CDE；对于C，显然AB与CE不垂直，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，因为ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理CE⊥AB，因为ED∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE.
6.(多选)如图，AC＝2R为圆O的直径，∠PCA＝45°，PA垂直于圆O所在的平面，B为圆周上不与点A，C重合的点，AS⊥PC于S，AN⊥PB于N，则下列结论正确的是(　　　)A.平面ANS⊥平面PBCB.平面ANS⊥平面PABC.平面PAB⊥平面PBCD.平面ABC⊥平面PAC
解析　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又AC为圆O直径，所以AB⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，又AN⊂平面PAB，∴BC⊥AN，又AN⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，∴AN⊥平面PBC，∵AN⊂平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC，∴A，C，D正确.
7.(2024·东营模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与DD1垂直的直线MN(　　)A.有且仅有1条B.有且仅有2条C.有且仅有3条D.有无数条
解析　如图，过点N作NE⊥BC，垂足为E，连接DE，当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，理由如下：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，又MD＝NE，
所以四边形MDEN为平行四边形，所以MN∥DE.因为DD1⊥平面ABCD，且DE⊂平面ABCD，所以DD1⊥DE，则DD1⊥MN.所以当M，N高度一样，即MD＝NE时，一定有DD1⊥MN，此时满足条件的直线MN有无数条.
8.如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，棱_________________________________所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.(注：填上你认为正确的一条棱即可，不必考虑所有可能的情况)
CG，DH，EH，FG(任选一个作答)
解析　如图，结合平面图形还原出正方体，结合正方体性质易知，棱CG，DH，EH，FG所在的直线与棱AB所在的直线是异面直线且互相垂直.
9.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足条件：①BM⊥DM，②DM⊥PC，③BM⊥PC中的__________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可).
解析　连接AC(图略)，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
10.在矩形ABCD中，AB