2025高考数学一轮复习-第8章-第5节 椭圆【课件】

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1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：①若_____，则集合P为椭圆；②若_____，则集合P为线段；③若_____，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
解析　(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.
2.(选修一P115习题3.1T6改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(　　)A.椭圆　　B.双曲线　　C.抛物线　　D.圆
解析　连接QA(图略).由已知得|QA|＝|QP|，所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.
又a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，
又a2＝b2＋c2，解得a＝3，所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝12.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　椭圆的定义及应用
例1 (1)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是(　　)A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.双曲线的一支
解析　设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，则|PA|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|PA|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆.
解析　根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形.设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|·|PF2|＝m(8－m)＝8.
椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
解析　∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0，2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.
解析　如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
解析　依题意得A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，
考点三　椭圆的几何性质
解析　法一　无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，
法二　无论椭圆焦点位于x轴或y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，
(2)(2024·温州质检)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆C的离心率为________.
解析　因为点M在椭圆C上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，则|MF1|＝2a－|MF2|(a－c≤|MF2|≤a＋c)，所以|MF1|·|MF2|＝(2a－|MF2|)|MF2|＝－(|MF2|－a)2＋a2，所以当|MF2|＝a时，|MF1|·|MF2|有最大值a2，当|MF2|＝a－c或|MF2|＝a＋c时，|MF1|·|MF2|有最小值a2－c2.因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，所以a2＝2(a2－c2)，即a2＝2c2，
解析　若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，
解析　由题意，知A(－a，0)，B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
解析　由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.
KESHIFENCENGJINGLIAN
设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.
解析　设椭圆C的右焦点为F′，由椭圆的定义，得|MF|＋|MF′|＝2a＝4，所以|MF|＝4－|MF′|，所以|MN|＋|MF|＝|MN|－|MF′|＋4≤|NF′|＋4，当且仅当M，N，F′三点共线时等号成立，则由题意，知此时|NF′|＋4＝6，
解析　设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
对于A，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，故△PF1F2的周长为4＋2＝6，故A错误；
解析　设mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)，
解　∵|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，
解　由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
解　由y2＝16x，得p＝8，故抛物线的焦点到准线的距离为8，则椭圆的长轴长2a＝8，∴a＝4，