2025高考数学一轮复习-第8章-第7节 抛物线【课件】

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1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解抛物线的简单应用.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离______的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的______.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
2.(选修一P138T2(2))抛物线y2＝8x上与焦点的距离等于6的点的坐标是____________.
解析　设所求点为P(x0，y0)，
3.(选修一P133T1(3)改编)焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程是____________________.
y2＝±4x或x2＝±4y
解析　由题知p＝2，2p＝4，但焦点轴不确定，故答案为y2＝±4x或x2＝±4y.
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一　抛物线的定义及应用
解析　依题意，动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，所以P到直线x－4＝0的距离和它到点(－4，0)的距离相等，所以P点的轨迹是抛物线.
例1 (1)动点P到直线x－2＝0的距离比它到点M(－4，0)的距离小2，则点P的轨迹是(　　)A.直线 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线
解析　由题意知抛物线的准线方程为x＝－1，分别过点M，N作准线的垂线，垂足为M′，N′(图略)，根据抛物线的定义得|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，所以|MF|＋|NF|＝|MM′|＋|NN′|，
(3)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为_____________.
解析　如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).
依题意可知当A，P及P到准线的垂足Q三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.
利用抛物线的定义可解决的常见问题1.轨迹问题：用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.2.距离问题：灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径.提醒　一定要验证定点是否在定直线上.
训练1 (1)设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线(　　)A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线OP
解析　连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.
解析　由题意得F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标为－1＋2＝1.不妨设点A在x轴上方，将其横坐标1代入抛物线方程得A(1，2)，
(3)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________.
解析　由题意知抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，
∵|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，∴|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故最短距离为2.
考点二　抛物线的标准方程
解析　如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则|BC|＝2a，由抛物线的定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，
∴在Rt△ACE中，2|AE|＝|AC|，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，∴3＋3a＝6，解得a＝1，
(2)若顶点在原点的抛物线经过点(－2，1)，(1，2)，(4，4)中的2个，则该抛物线的标准方程为__________________.
x2＝4y或y2＝4x
解析　当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2，1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4，4)在抛物线上，点(1，2)不在抛物线上，满足题意；
当抛物线的焦点在x轴上时,设抛物线的标准方程为y2＝nx,同理可求得当点(1,2)，(4，4)在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x.
求抛物线标准方程的方法(1)定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程.标准方程有四种形式，要注意选择.(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.
训练2 (1)(2024·兰州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为(　　)A.y2＝2xB.y2＝4xC.y2＝－4xD.y2＝－8x
解析　由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
(2)以坐标原点为顶点，以y轴为对称轴，并经过点P(－6，－3)的抛物线的标准方程为____________.
解析　由题意设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则(－6)2＝－2p×(－3)，p＝6，所以抛物线方程为x2＝－12y.
考点三　抛物线的几何性质
例3 (1)(2024·武汉调研)设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝(　　)A.3B.6C.9D.12
(2)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，∴p＝2.
由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程.
解析　由题意得焦点F(1，0)，设直线l为x＝λy＋1(λ≠0)，代入抛物线方程得y2－4λy－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理得y1y2＝－4，①
拓展视野　　抛物线中的二级结论
解析　[通法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1).
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
解析　[通法]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(3)(2024·武汉调研)过抛物线y2＝8x焦点的直线与抛物线交于M，N两点，设抛物线的准线与x轴的交点为A，当MA⊥NA时，|MN|＝________.
解析　[通法]由题意可知A(－2，0)，焦点坐标为(2，0).设过抛物线焦点的直线方程为x＝ky＋2，代入y2＝8x，消去x，得y2－8ky－16＝0.设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则yMyN＝－16，
所以8＋2(xM＋xN)＝16，即xM＋xN＝4，所以由抛物线的定义知|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
即(xM＋2)(xN＋2)＋yMyN＝0，得4＋2(xM＋xN)＋4－16＝0，∴xM＋xN＝4，|MN|＝xM＋xN＋4＝8.
训练 (1)(2024·广州联考)直线y＝x－1过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且与C交于A，B两点，则|AB|＝(　　)A.2B.4C.6D.8
解析　焦点F(1，0)，∴p＝2，
KESHIFENCENGJINGLIAN
2.过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于(　　)A.9B.8C.7D.6
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
解析　抛物线C：y2＝8x的准线方程为x＝－2.设M(x0，y0)，由抛物线的定义可知，点M到焦点F(2，0)的距离等于其到准线x＝－2的距离，所以|MF|＝x0＋2＝8，所以x0＝6.因为点M(x0，y0)在抛物线C：y2＝8x上，
4.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若|PA|＝3|PB|，|AF|＝8，|BF|＝4，则p＝(　　)A.1B.2C.3D.4
解析　过点A，B分别作抛物线准线的垂线AD，BM，垂足分别为D，M，且AD，BM与y轴分别相交于E，N，
解析　由题意可设切线AB的方程为x＝ty＋m(t＞0，m＜0)，
由Δ＝(－4t)2＋4×4m＝0，得m＝－t2，∴A(－t2，0)，B(t2，2t)，∴M(0，t).
6.(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　　)A.p＝4B.抛物线方程为y2＝16xC.直线l的方程为y＝2x－4D.|AB|＝10
解析　由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；则抛物线的方程为y2＝8x，故B错误；
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确.
解析　将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，
9.(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________.
解析　由题意得直线OP的斜率存在.设直线OP的方程为y＝kx，
10.(2024·南京、盐城模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于x轴，则AF的长度为________.
解析　易得F(1，0)，设P(－1，t)，
11.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)准线方程为2y＋4＝0；
解　准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p>0).
(2)过点(3，－4)；
解　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上.
解　令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)，∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
12.已知抛物线C：x2＝my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1.(1)求抛物线C的方程；
因为m>0，所以m＝2.所以抛物线C的方程为x2＝2y.
(2)过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作抛物线C的切线，两条切线的交点为P，证明：AB⊥FP.
证明　由题意，直线AB的斜率一定存在，
代入抛物线方程x2＝2y，整理得x2－2kx－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x1＋x2＝2k，x1x2＝－1.
13.(2024·福州调研)已知点P在抛物线y2＝8x上，点F为该抛物线的焦点，点A的坐标为(6，3)，则△PAF周长的最小值为________.
解析　由题意可知，点A在抛物线的内部，抛物线的焦点F(2，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，
如图，过点P作准线的垂线，交准线于点D，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，∴要使得|PA|＋|PF|最小，即使得|PA|＋|PD|最小，则当D，P，A三点共线时，|PA|＋|PD|取得最小值，即(|PA|＋|PF|)min＝6＋2＝8，∴△PAF周长的最小值为8＋5＝13.
14.已知F为抛物线T：x2＝4y的焦点，直线l：y＝kx＋2与T相交于A，B两点.(1)若k＝1，求|FA|＋|FB|的值；
解　由已知可得F(0，1)，
(2)点C(－3，－2)，若∠CFA＝∠CFB，求直线l的方程.