2024年江苏省南京市数学中考模拟试卷（解析版）

这是一份2024年江苏省南京市数学中考模拟试卷（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 计算（a2）3，正确结果是（ ）
A. a5B. a6
C. a8D. a9
【答案】B
【解析】
【详解】由幂的乘方与积的乘方法则可知，（a2）3=a2×3=a6．
故选B．
3. 估计12的算术平方根介于（ ）
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据，即可得出12的算术平方根介于3和4之间．
【详解】∵，
∴．
∴估计12的算术平方根介于3和4之间．
故选C．
【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出接近的有理数是解题的关键．
4. 反比例函数（为常数，）的图像位于（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、四象限C. 第一、二象限D. 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据及反比例函数（为常数，）的性质即可解答．
【详解】解：∵且，
∴，
∴反比例函数（为常数，）的图象位于第一、三象限，
故选：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5. 已知实数，，，下列结论中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式性质逐项分析即可．
【详解】解：A、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；
B、当时，无意义，故此选项不符合同意；
C、由不一定有，例如，满足，但是，故此选项不符合题意；
D、由可以得到，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6. 直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（ ）

A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可．
【详解】∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱，
∴直棱柱的高，
∴，，，，
∵，
∴选B．
【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键．
二、填空题
7. 地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为__km．
【答案】3.84×105
【解析】
【分析】根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式．
【详解】384000=3.84×105.
故答案是：3.84×105.
【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用分式有意义则分母不等于零即可得出答案．
【详解】解：在实数范围内有意义，
故x-3≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
9. 计算结果为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先把和化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
【详解】解：原式=3-2=．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
10. 方程 的解是_____________．
【答案】=1，=3
【解析】
【分析】利用十字相乘法分解因式解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得=1，=3，
故答案为：=1，=3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11. 如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则________．
【答案】##32度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答．
【详解】解：过点作，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
12. 若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算法则得到，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，有理数的加法运算法则，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
13. 已知二次函数（、为常数，）的最大值为2，写出一组符合条件的和的值：________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据最值公式得到，即可得到，据此写出一组符合条件的a和c的值即可．
【详解】解：∵二次函数的最大值为2，
∴，
∴，
故时，，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟知二次函数的最值公式是解题的关键．
14. 在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是________．

【答案】
【解析】
【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答．
【详解】解：作轴，轴于点，与交于点，
∵点的坐标，点的坐标是，
∴，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点，
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键．
15. 如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则________．
【答案】##72度
【解析】
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解．
【详解】解：如图，延长到H，
四边形内接于，
，
，
，，的度数之比为，
，，，的度数之比为，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．
16. 如图，在平面直角坐标系，横、纵坐标均为整数的点案如下规律依序排列：，，，，，，，，，，，，，，…按这个规律，则是第________个点．

【答案】99
【解析】
【分析】先根据点的坐标，找出规律，再计算求解．
【详解】解：横纵坐标和是0的有1个点，
横纵坐标和是1的有2个点，
横纵坐标和是2的有3个点，
横纵坐标和是3的有4个点，
，
横纵坐标和是的有个点，
，
，
横纵坐标和是13的有14点，分别为：、、、、、、、、、、、、、、
第个点，
故答案为：99．
【点睛】本题考查了点的坐标，找到坐标的排列规律是解题的关键．
三、解答题
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】利用分式的混合运算，化简原式，再把，代入化简后的式子，计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
当，时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，再进行约分，接着进行分式的加减运算，得到最简分式或整式（若有括号，先把括号内通分，除法运算转化为乘法运算）；然后把满足条件的字母的值代入进行计算得到对应分式的值．熟练掌握分式的化简求值方法是本题的关键．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤即可解答．
【详解】解：
由①得：
解得：
由②得： ，
解得：，
∴原不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的步骤，掌握解一元一次不等式组步骤是解题的关键．
19. 某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸得箱数．
【答案】购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱
【解析】
【分析】设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱，根据总价是2660元、购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，列二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱．
由题意得：
解得：
答：购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组．
20. 某企业餐厅，有A、两家公司可选择，该企业现连续10个工作日选择A公司，接着连续10个工作日选择公司，记录送餐用时（单位：）如下表：
根据上表数据绘制的折线统计图如图所示：

（1）根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；
（2）如果某工作日该企业希望送餐用时不超过，应选择哪家公司？请简述理由．
【答案】（1）选择A公司，理由见解析（答案不唯一）
（2）选择公司，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据两个公司各自的优点进行判断即可；
（2）根据表格中的数据进行选择即可．
【小问1详解】
解：选择A公司；
理由如下：A公司送餐用时稳定，基本在之间，而公司送餐时间不稳定，忽快忽慢，不利于员工用餐；
选择公司．
理由如下：A公司平均用时，而公司平均用时，公司平均花时更短．（言之有理即可）
【小问2详解】
解：选择公司．
理由如下：从各自10个工作日送餐情况看，A公司的送餐时间没有低于的，而公司虽然有4次超过30分钟，但是其余6次都不超过，所以选择公司．
【点睛】本题主要考查了数据的处理和应用，解题的关键是根据表格中的数据作出正确的选择．
21. 甲城市有2个景点、，乙城市由3个景点、、，从中随机选取景点游览，求下列事件的概率：
（1）选取1个景点，恰好在甲城市；
（2）选取2个景点，恰好在同一个城市．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列举出所有的等可能性的结果数，再找到恰好在同一个城市的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：随机选取1个景点，有5种等可能结果：、、、、，其中恰好在甲城市为、占2种，
∴恰好在甲城市的概率，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为．
【小问2详解】
解：随机选取2个景点，共有10种等可能结果：、、、、、、、、、，其中满足恰好在同一个城市的为：、、、，占其中4种，
∴恰好在同一个城市的概率即随机选取2个景点，恰好在同一个城市的概率为．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，列举法求解概率，熟知概率的相关知识是解题的关键．
22. 如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据邻边，即可证明平行四边形是菱形．
【详解】解：证明：∵平分，，
∴，．
∴．
∴．
又∵于点，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴平行四边形是菱形．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
23. 如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且、之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且、之间的距离为，一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔位于北偏东方向上，这时，处距离港口有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，）

【答案】处距离港口约
【解析】
【分析】过点作的延长线于点，在中，求得，在中，求得，根据，即可求解．
【详解】解：过点作的延长线于点
在中，，
∵，，，
∴，
在中，
∵，，
∴
∴
∴处距离港口约．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
24. 如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为5
【解析】
【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即，
（2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5．
【小问1详解】
证明：连接、、、，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，即，
【小问2详解】
解：设求的半径为，
由（1）可知，
∴为中点，为中点，
∴，
在中，，
在中，，，，
∵
∴，
解得，
∴的半径为5．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
25. 某蔬菜基地有甲、乙两个用于灌溉的水池，他们的最大容量均为，原有水量分别为、，现向甲、乙同时注水，直至两水池均注满为止，已知每分钟向甲、乙的注水量之和恒定为，若其中某一水池注满，则停止向该水池注水，改为向另一水池单独注水，设注水第时，甲、乙水池的水量分别为、．
（1）若每分钟向甲注水，分别写出、与之间的函数表达式；
（2）若每分钟向甲注水，画出与之间的函数图像；
（3）若每分钟向甲注水，则甲比乙提前注满，求的值．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题目列函数表达式即可；
（2）根据给出的每分钟向甲注水，可计算出甲36分钟先注满，乙需要54分钟，所以在甲注满后，乙的注水速度将改变；
（3）根据甲注水的时间=乙注水的时间（乙多注水三分钟的量减掉）列分式方程，从而求得结果．
【小问1详解】
解：由题意可得：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水，，
两个水池同时注满．，
【小问2详解】
解：若每分钟向甲注水，则每分钟向乙注水，
，所以此种情况，甲先注满，然后单独向乙注水，
，
图像如图所示：
【小问3详解】
解：由于甲比乙提前注满，所以后，乙每分钟注入，所以在甲注满时，乙只注入到，所以，
解得，
经检验，符合题意，是方程的解，
所以．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一次函数的图像、分式方程等，通过给定的条件列出一次函数，通过给定的点来列出对应的函数图像．
26. 如图，在矩形中，，，是上一点，，是上的动点，连接，是上一点，且（为常数，），分别过点、作、的垂线相交于点，设的长为，的长为．

（1）若，，则的值为________；
（2）求与之间的函数表达式；
（3）在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在点，则的值应满足什么条件？直接写出的取值范围．
【答案】（1）5 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，得，则，代入计算即可；
（2）利用，得，再由，得，即可证明结论；
（3）根据点P在上，可得，再由点G在上，可得，进而解决问题．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴即；
【小问3详解】
解：若点在上，则，
由（2）得，
∴，
∵点从点到点运动，
∴，
∴，
∴即，
又∵是上一点，
∴，
∴．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
27. 在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．
例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻折，得到，则与成自位似轴对称．

（1）如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是________（填写所有符合条件的序号）；
（2）如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
（3）如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连接，求证：．
【答案】（1）①② （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；
（2）先根据题意和轴对称性质作出轴对称前的，即以点为位似中心缩小的，在作出Q对应的，进而作出点对应的点P即可；
（3）延长交于点，证明和得到，进而得到，证明得到，利用平行线的判定即可得出结论．
【小问1详解】
解：①与成自位似轴对称，对称轴为的角平分线所在的直线，如图；

②与成自位似轴对称，对称轴为平分线所在的直线，如图，
，
③与不成自位似轴对称，
故答案为：①②；
【小问2详解】
解：如图，
1）分别在和上截取，，
2）连接，在上截取，
3）连接并延长交于P，则点即为所求；
【小问3详解】
证明：延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A公司送餐用时
26
26
30
25
27
29
24
28
30
25
公司送餐用时
20
18
21
16
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32
15
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35
15