专题7.11 平面图形的认识（二）八类必考压轴题--最新苏教版七年级下册数学精讲精练

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专题7.11 平面图形的认识（二）八类必考压轴题
【苏科版】
必考点1
平行线中求角度的综合
1．已知，AB∥CD，F、G分别为直线AB、CD上的点，E为平面内任意一点，连接EF、EG．
(1)如图（1），请直接写出∠AFE、∠CGE与∠FEG之间的数量关系．
(2)如图（2），过点E作EM⊥EF、EH⊥EG交直线AB上的点M、H，点N在EH上，过N作PQ∥EF，求证：∠HNQ=∠MEG．
(3)如图（3），在（2）的条件下，若∠ENQ=∠EMF，∠EGD=110°，求∠CQP的度数．
【分析】（1）如图，过E作MN∥CD，根据平行公理得AB∥CD∥MN，根据平行线的性质得∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，对角进行加减运算即可求；
（2）根据垂直和周角的概念可得∠MEG+∠FEH=180°，根据平行线的性质得
∠FEH=∠HNP，根据邻补角得∠HNQ+∠HNP=180°，然后等量代换即可求得结果；
（3）结合已知求得∠EGC=70°由（1）可知，∠EMF+110°=∠MEG，结合已知和邻
补角得∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）的结论得∠EMF+110°=180°−∠EMF求出
∠EMF=35°，最后根据三角形内角和求出∠MFE=55°依据PQ∥EF，AB∥CD利
用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）如图，过E作MN∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MN，
∴∠AFE=∠FEN，∠CGE=∠NEG，
∴∠AFE+∠CGE=∠FEN+∠NEG=∠FEN，
即∠AFE+∠CGE=∠FEN；
（2）证明：∵EM⊥EF、EH⊥EG，∴∠MEF=∠HEG=90°，
∴∠MEG+∠FEH=360°−∠MEF+∠HEG=180°，
∵PQ∥EF，∴∠FEH=∠HNP，
∵∠HNQ+∠HNP=180°，∴∠HNQ+∠FEH=180°，
∴∠HNQ=∠MEG；
（3）∵∠EGD=110°，由（1）可知，∠EMF+∠EGD=∠MEG，
∴∠EMF+110°=∠MEG，
∵∠HNQ=180°−∠ENQ，∠ENQ=∠EMF，
∴∠HNQ=180°−∠EMF，由（2）可知∠HNQ=∠MEG，
∴∠EMF+110°=180°−∠EMF，解得：∠EMF=35°，
∴∠MFE=180°−∠MEF−∠EMF=180°−90°−35°=55°，
∵PQ∥EF，∴∠MPQ=∠MFE=55°，
∵AB∥CD，∴∠CQP=180°−∠MPQ=180°−55°=125°．
2．已知直线AB∥CD，点P，Q分别在直线AB，CD上．
(1)如图①，当点E在直线AB，CD之间时，连接PE，QE．探究∠PEQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图②，在①的条件下，PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，交点为F．求∠PFQ与∠BPE+∠DQE之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点E在直线AB，CD的下方时，连接PE，QE．PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，QH的反向延长线交PF于点F．若∠E=40°时，求∠F的度数．
【分析】（1）过点E作EM∥AB，则∠BPE=∠PEM，EM∥CD，进而得出∠DQE=∠QEM，即可得出结论；
（2）同（1）得出∠BPF+∠DQF=∠PFQ，根据角平分线的定义得出∠BPF=12∠BPE,∠DQF=12∠DQE，即可得出结论；
（3）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得出∠CQE=220°−∠BPE，同（1）∠F=∠BPF+∠FQD=12∠BPE+12∠CQE，即可求解．
【详解】（1）解：∠PEQ=∠BPE+∠DQE，理由如下，
如图所示，过点E作EM∥AB，
∴∠BPE=∠PEM，∵AB∥CD∴EM∥CD，∴∠DQE=∠QEM，
∴∠PEQ=∠PEM+∠QEM=∠BPE+∠DQE，即∠PEQ=∠BPE+∠DQE，
（2）∠PFQ=12∠BPE+∠DQE，理由见解析，
∵PF平分∠BPE，QF平分∠DQE，∴∠BPF=12∠BPE,∠DQF=12∠DQE，
由（1）可知∠PEQ=∠BPE+∠DQE，同理可得∠BPF+∠DQF=∠PFQ，
∴∠PFQ=12∠BPE+12∠DQE=12∠BPE+∠DQE=12∠PEQ，
即∠PFQ=12∠BPE+∠DQE，
（3）解：如图，过点E作EN∥AB，
∴∠PEN=∠BPE，
∵PF平分∠BPE，QH平分∠CQE，∴∠BPF=12∠BAE，∠CQH=12∠CQE，
∵∠FQD=∠CQH=12∠CQE，∵AB∥CD，AB∥EN，∴CD∥EN，∠PEQ=40°，
∴∠CQE=180°−∠NEQ=180°−∠PEN−∠PEQ=180°−∠BPE+40°=220°−∠BPE，
由（1）可得∠F=∠BPF+∠FQD=12∠BPE+12∠CQE=12∠BPE+12220°−∠BPE
=110°．
3．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠EGH=∠EFH．
(1)如图1，求证：EF∥GH；
(2)如图2，EN为∠BEF的角平分线，交GH于点P，连接FN，求证：∠N=∠HPN−∠NFH；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点F作FM⊥GH于点M，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若FN平分∠DFM，且∠GQH比∠N的13多3°，求∠AEF的度数．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行即可求证；
（2）如图所示（见详解），过点N作NR∥CD，根据平行性的性质，可求得∠ENF+∠FNR=∠HPN，由此即可求解；
（3）设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，根据角平分线，平行线的性质，直角三角形两锐角互余，可得∠AEF=2α+6，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFH，
∵∠EGH=∠EFH，∴∠AEF=∠EGH，∴EF∥GH．
（2）证明：如图所示，过点N作NR∥CD，
∴∠NFH=∠FNR，
∵AB∥CD，∴∠ENR=∠NEB，
∵EN平分∠BEF，∴∠NEF=∠NEB，∴∠ENR=∠NEF，
∵EF∥GH，∴∠HPN=∠NEF，∴∠ENR=∠HPN，
即∠ENF+∠FNR=∠HPN，∴∠ENF=∠HPN−∠NFH．
（3）解：如图所示，
设∠ENF=3α，则∠GQH=α+3，
∵AB∥CD，∴∠AGQ=∠GQH=α+3，
∵GQ平分∠AGH，∴∠AGH=2∠AGQ=2α+6，
∴∠EFD=∠AGH=2α+6，∴∠AEF=∠EFD=2α+6，
∴∠BEF=180°−∠AEF=174°−2α，∴∠BEN=12∠BEF=87°−α，
∵FM⊥GM，∴∠M=90°，∵EF∥GH∴∠EFM+∠M=180°∴∠EFM=90°，
∴∠DFM=90°−∠EFD=90°−(2α+6)=84°−2α，
∵FN平分∠DFM，∴∠DFN=12∠DFM=42°−α，∴∠FNR=∠DFN=42°−α，
∴∠RNE=∠FNR+∠ENF=42°−α+3α=42°+2α，
∵AB∥NR，∴∠BEN=∠RNE，∴87°−α=42°+2α，∴α=15°，
∴∠AEF=2α+6=36°，
故∠AEF的度数为36°．
4．已知：直线AB∥CD，点M、N分别在直线AB、直线CD上，点E为平面内一点，

(1)如图1，请写出∠AME、∠E、∠ENC之间的数量关系，并给出证明；
(2)如图2，利用（1）的结论解决问题，若∠AME=30°，EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，EQ∥NP，求∠FEQ的度数；
(3)如图3，点G为CD上一点，∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM， EH∥MN交AB于点H，请写出∠GEK，∠BMN，∠GEH之间的数量关系（用含m的式子表示），并给出证明．
【分析】（1）过点E作EE'∥AB，根据题意和平行线的判定得EE'∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1=∠AME，∠2=∠CNE，根据∠MEN=∠1+∠2，即可得；
（2）根据题意得∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，根据平行线的性质得∠QEN=∠ENP=12∠ENC，根据∠MEN=∠AME+∠ENC得∠MEN−∠ENC=∠AME=30°，即可得∠FEQ=∠NEF−∠NEQ，进行计算即可；
（3）根据题意得∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，根据EH∥MN得∠HEM=∠EMN=1m∠AMN，根据∠GEH=1m∠GEK−1m∠AMN得m∠GEH=∠GEK−∠AMN，根据∠AMN=180°−∠BMN得m∠GEH=∠GEK−(180°−∠BMN)，即可得∠BMN+∠GEK−m∠GEH=180°．
【详解】（1）∠MEN=∠AME+∠ENC，证明如下：
证明：如图1所示，过点E作EE'∥AB，
∵AB∥CD，∴EE'∥AB∥CD，∴∠1=∠AME，∠2=∠CNE，
∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠MEN=∠AME+∠ENC；
（2）解：∵EF平分∠MEN，NP平分∠ENC，
∴∠NEF=12∠MEN，∠ENP=12∠END，
∵EQ∥NP，∴∠QEN=∠ENP=12∠ENC，
∵∠MEN=∠AME+∠ENC，∴∠MEN−∠ENC=∠AME=30°，
∴∠FEQ=∠NEF−∠NEQ=12∠MEN−12∠ENC=12×30°=15°；
（3）∠GEK+∠BMN−m∠GEH=180°，证明如下：
证明：∵∠AMN=m∠EMN，∠GEK=m∠GEM，
∴∠ENM=1m∠AMN，∠GEM=1m∠GEK，
∵EH∥MN，∴∠HEM=∠EMN=1m∠AMN，
∵∠GEH=∠GEM−∠HEM=1m∠GEK−1m∠AMN，∴m∠GEH=∠GEK−∠AMN，
∵∠AMN=180°−∠BMN，∴m∠GEH=∠GEK−(180°−∠BMN)，
∴∠BMN+∠GEK−m∠GEH=180°．
5．已知：直线AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P是平面内一个动点，且满足∠MPN=90°．过点N作射线NQ，使得∠PNQ=∠PNC．
(1)如图1所示，当射线NQ与NM重合，∠QND=50°时，则∠AMP= ；
(2)如图2所示，当射线NQ与NM不重合，∠QND=α°时，求∠AMP的度数；（用含α的代数式表示）
(3)在点P运动的过程中，请直接写出∠QND与∠AMP之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝65°，进而可求解；
（2）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12α°，进而可求解；
（3）过P作PF∥AB，根据平行线的性质可得∠AMP+∠PNC＝90°，结合平角的定义可求解∠PNC＝90°－12∠QND，进而可求解；
（1）解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠AMP＝∠MPE，∠CNP＝∠EPN，
∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND），
∵∠QND＝50°，∴∠PNC＝65°，∴∠AMP＝90°﹣65°＝25°；
故答案为：25°
（2）过P作PF∥AB，
∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，
∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND），
∵∠QND＝α°，∴∠PNC＝12180°−α°＝90°－12α°，
∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12α°）＝12α°；
即∠AMP＝12α°；
（3）过P作PF∥AB，
∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠AMP＝∠MPF，∠CNP＝∠FPN，
∴∠MPN＝∠AMP+∠PNC，∵∠MPN＝90°，∴∠AMP+∠PNC＝90°，
∵∠PNQ＝∠PNC，∠PNQ+∠PNC+∠QND＝180°，
∴∠PNQ＝∠PNC=12（180°﹣∠QND）＝90°－12∠QND，
∴∠AMP＝90°－∠PNC＝90°－（90°－12∠QND）＝12∠QND．
即∠QND＝2∠AMP．
6．如图，AB∥CD，点P为AB上方一点，E在直线AB上．
(1)如图1，求证：∠P=∠PEB-∠C；
(2)如图2，点F为直线CD上一点，∠PEB、∠CFP的角平分线所在直线交于点Q，求∠P与∠Q的数量关系；
(3)如图3，N为AB、CD之间一点，且在∠CPE内部，∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，n= ．
【分析】（1）过点P作PM∥AB，则PM∥CD，∠PEB+∠MPE=180°，∠C+∠CPE+∠MPE =180°，两式相减可得答案；
（2）由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α−180°−2β=2α+2β−180° ，∠Q=180°−α−β，即可求得答案；
（3）由题意可得∠CPE=（n+1）∠CPN，∠DCP=( n+1)∠PCN，由（1）得，∠PEB=∠CPE +∠DCP=（n+1）(∠CPN+∠PCN)，又∠PEA=180°-∠PEB，∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，通过化简可得答案．
（1）证明：如图，过点P作PM∥AB，
∴∠PEB+∠MPE=180°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠C+∠CPM=180°，
即∠C+∠CPE+∠MPE =180°，∴∠C+∠CPE=∠PEB，∴∠CPE=∠PEB-∠C；
（2）解：由（1）的结论可得，∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，
设∠PEB=2α，∠PFC=2β，可得∠P=2α−180°−2β=2α+2β−180°，
∠Q=180°−α−β，
∴∠P+2∠Q=2α+2β−180°+2180°−α−β=180°
即∠P+2∠Q=180°
（3）解：n=1
如图，过点P作PQ∥AB，过点G作GN∥CD，则PQ∥CD，GN∥CD，
∴∠DCN=∠GNC，∠PCD=∠QPC，∠GNP+∠QPN=180°，
∴∠CNP=∠GNC+∠GNP=∠DCN+180°-∠QPN
=180°+∠DCN-(∠QPC+∠CPN)
=180°+∠DCN-(∠PCD +∠CPN)
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°+∠DCN-∠PCD -∠CPN
=180°-∠PCN-∠CPN，
∴∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP
∵∠EPN=n∠CPN、∠DCN=n∠PCN，
∴∠CPE=∠EPN+∠CPN=（n+1）∠CPN，
同理∠DCP=( n+1)∠PCN，
由（1）得，∠PEB=∠CPE +∠DCP=（n+1）∠CPN+( n+1)∠PCN=（n+1）（∠CPN+∠PCN），
∴∠PEA=180°-∠PEB=180°-（n+1）（∠CPN+∠PCN），
又∠CPN+∠PCN=180°-∠CNP，
∴∠PEA =180°-（n+1）（180°-∠CNP）=（n+1）∠CNP-n×180°，
当2∠CNP-∠PEA=180°恒成立时，
即2∠CNP-（n+1）∠CNP+n×180°=180°，
∴（n-1）（∠CNP-180°）=0恒成立，∵∠CNP≠180°，∴n=1，
故答案为1
7．如图：
(1)如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED＝∠PDE+∠MBE；
(2)如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝110°.
①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；
②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示.若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是 度（用关于n的代数式表示）.
【分析】（1）如图1中，作EH∥PQ．利用平行线的性质和判定求解即可．
（2）①利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．②利用（1）中结论只要求出∠PDE，∠MBE即可．
（1）如图1中，作EH∥PQ．
∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，
∴∠PDE=∠DEH，∠MBE=∠BEH，
∴∠DEB=∠DEH+∠BEH=∠PDE+∠MBE．
（2）①如图2中，∵∠CBN=100°，∴∠MBC=80°，
∵BE平分∠MBC，∴∠MBE=12∠MBC=40°，
∵∠ADQ=130°，∴∠PDA=50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE=12∠PDA=25°，
∴∠BED=∠PDE+∠MBE=25°+40°=65°．
②如图3中，
∵∠ADQ=n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE=12∠ADQ=12n°，∴∠PDE=180°-12n°，
∵∠ABE=40°，∴∠BED=∠PDE+∠ABE=180°-12n°+40°=220°-12n°．
故答案为220°-12n°．

必考点2
平行线中的辅助线构造
1．先阅读再解答：
(1)如图1，AB∥CD，试说明：∠B+∠D=∠BED；
(2)已知：如图2，AB∥CD，求证：∠B+∠BED=360°；
(3)已知：如图3，AB∥CD，∠ABF=∠DCE．求证：∠BFE=∠FEC．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B=∠BEF，∠FED=∠D，进而可求解；
（2）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可得∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，进而可求解；
（3）延长BF和反向延长CD相交于点G，由平行线的性质可得∠ABF=∠G，进而可得∠G=∠DCE，利用平行线的判定条件可证明BG∥CE，再根据平行线性质可证明结论．
【详解】（1）解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠BEF，∠FED=∠D，
∵∠BED=∠BEF+∠FED，
∴∠BED＝∠B+∠D；
（2）证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B+∠BEF=180°，∠FED+∠D=180°，
∵∠BED=∠BEF+∠FED，∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°，
∴∠B+∠D+∠BED=360°；
（3）证明：延长BF和反向延长CD相交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠G，
∵∠ABF=∠DCE，
∴∠G=∠DCE，
∴BG∥CE，
∴∠BFE=∠FEC．
2．综合与实践
(1)问题情境：图1中，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．按小明的思路，易求得∠APC的度数为______；（直接写出答案）
(2)问题迁移：图2中，直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．若∠A=50°，∠D=150°，试求∠APD的度数；
(3)问题拓展：图3中，直线AB∥CD，则∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
【分析】对于（1），作PE∥AB，通过平行线性质可得∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°，即可求∠APC；
对于（2），作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度数；
对于（3），作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠CDP=∠DPE，∠FPA+∠PAB=180°，又∠FPA=∠DPF-∠APD，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
（1）如图1，过P作PE∥AB，
∵AB//CD，

∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°．
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠PCE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为：110°；
（2）过点P作EF∥AB，

∵∠A=50°，
∴∠APE=∠A=50°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠CDP+∠EPD=180°．
∵∠D=150°，
∴∠EPD=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APE+∠EPD=50°+30°=80°；
（3）∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
如图，过点P作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，

∴∠CDP=∠DPF，∠FPA+∠PAB=180°，
∵∠FPA=∠DPF-∠APD，
∴∠DPF-∠APD+∠PAB=180°，
∴∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
故答案为：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°．
3．如图1，小明和小亮在研究一个数学问题：
(1)已知：AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系．
小明是这样证明的：请填写理由
证明：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ=∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ=∠C（ ）
∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C
即∠APC=∠A+∠C
(2)在图2中，AB∥CD，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为 ；
(3)在图3中，AB∥CD，若∠A=40°，∠C=70°，则∠APC的度数为 ；
(4)在图4中，AB∥CD，探索∠P与∠C，∠PAB的数量关系，并说明理由．
【分析】过点P作AB的平行线，用相似的证明方法运用平行线的性质进行证明即可．
（1）如图1，过点P作PQ∥AB，
∴∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ＝∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C
即∠APC＝∠A+∠C
（2）如图2，过点P作PE∥AB，
∴∠APE+∠A＝180°，∠A＝120°，
∴∠APE＝60°，
∵PE∥AB，AB∥CD．
∴PE∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPE+∠C＝180°，∠C＝140°，
∴∠CPE＝40°，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE
＝100°；
（3）如图3，过点P作PF∥AB，
∴∠APF＝∠A，
∵PF∥AB，AB∥CD．
∴PF∥CD，
∴∠CPF＝∠C
∴∠CPF﹣∠APF＝∠C﹣∠A
即∠APC＝∠C﹣∠A＝30°；
（4）如图4，过点P作PG∥AB，
∴∠APG+∠A＝180°，
∴∠APG＝180°﹣∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG+∠C＝180°，
∴∠CPG＝180°﹣∠C
∴∠APC＝∠CPG﹣∠APG＝∠A﹣∠C．
4．直线AB∥CE，BE—EC是一条折线段，BP平分∠ABE．
(1)如图1，若BP∥CE，求证：∠BEC+∠DCE=180°；
(2)CQ平分∠DCE，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出∠BEC和∠BFC的数量关系，并证明；
②当点E在直线AB，CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的大小．
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，
∴∠ABT=∠BTK，
∵BP平分∠ABE，
∴∠ABT=∠TBK，
∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，
∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，
∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：
延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，
∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，
∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，
∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，
∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），
∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，
∵∠BEC=40°，
∴∠F=70°．
8．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
(1)阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数．阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，
∴ ∠B= ，∠C ，
∵ ∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
(2)方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
(3)深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间．
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数．
②如图4，点B在点A的右侧，且AB0，∵∠ABP=3∠PBG，∴∠ABP=3x，∠PBG=x，
∵AD∥BC，∴∠BAD=180°−∠ABC=180°−4x，
由（1）已得：∠BGA=∠BAG=12∠BAD=90°−2x，
∵AG∥CH，∴∠BCH=∠BGA=90°−2x，
∵∠BCD=90°，∴∠PBM=∠DCH=90°−90°−2x=2x，
由题意，分以下两种情况：①如图，当点M在BP的下方时，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=3x+2x=5x，∠GBM=∠PBM−∠PBG=2x−x=x，
∴∠ABM∠GBM=5xx=5；
②如图，当点M在BP的上方时，
∴∠ABM=∠ABP−∠PBM=3x−2x=x，∠GBM=∠PBM+∠PBG=2x+x=3x，∴∠ABM∠GBM=x3x=13；
综上，∠ABM∠GBM的值是5或13．
必考点5
平行线中的动态问题
1．如图，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM交CD于点M，AB∥CD，且∠FEM=∠FME．
(1)当∠AEF=70°时，∠FME=__________°．
(2)判断EM是否平分∠AEF，并说明理由．
(3)如图，点G是射线FD上一动点（不与点F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EGF=α．探究当点G在运动过程中，∠MHN−∠FEH和α之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AEM=∠FME，结合题意即可推出∠AEM=∠FEM，即得出∠AEM=∠FEM=12∠AEF=35°；
（2）由（1）即可说明EM平分∠AEF；
（3）由平行线的性质可得出∠BEG=∠EGF=α，∠BEH=∠EHF．再根据角平分线的定义即得出∠FEH=∠GEH=12∠FEG，即得出∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．又易求∠MEH=12∠AEG=90°−12α，结合HN⊥EM，可求出∠EHN=90°−∠MEH=12α．由∠BEH=∠EHF，得∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，即得出α+∠FEH=12α+∠MHN，即推出∠MHN−∠FEH=12α．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠AEM=∠FME．
∵∠FEM=∠FME，∴∠AEM=∠FEM．
∵∠AEF=∠AEM+∠FEM=70°，∴∠AEM=∠FEM=12∠AEF=35°．
故答案为：35；
（2）由（1）可知∠AEM=∠FEM=12∠AEF，即EM平分∠AEF；
（3）∠MHN−∠FEH=12α，证明如下，
∵AB∥CD，∴∠BEG=∠EGF=α．
∵EH平分∠FEG，∴∠FEH=∠GEH=12∠FEG，∴∠FEH+α=∠GEH+∠BEG=∠BEH．
∵EM平分∠AEF，EH平分∠FEG，∴∠MEH=12∠AEG=12(180°−α)=90°−12α．
∵HN⊥EM，∴∠EHN=90°−∠MEH=90°−(90°−12α)=12α．
∵AB∥CD，∴∠BEH=∠EHF，即∠BEG+∠GEH=∠EHN+∠MHN，
∴α+∠FEH=12α+∠MHN，∴∠MHN−∠FEH=12α．
2．如图1，一块直尺和一块含30°的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图2的数学模型：MN∥AB，∠BAC=60°，∠C=90°，MN分别交AC、BC于点E、F、∠BAC的角平分线AD交MN于点D，H为线段AB上一动点（不与A、B重合），连接FH交AD于点K．
(1)当∠BFH=12∠BFN时，求∠AKF．
(2)H在线段AB上任意移动时，求∠AKF，∠HAK，∠DFH之间的关系．
(3)在（1）的条件下，将△DKF绕着点F以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t0≤t≤36，则在旋转过程中，当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，直接写出此时t的值．
【分析】（1）由三角形内角和定理求出∠B=180°−∠BAC−∠C=30°，由MN∥AB，得到∠BFN=30°，由∠BFH=12∠BFN，则∠BFH=15°，由角平分线和平行线性质得到∠ADE=∠BAD=30°，即可得到答案；
（2）由MN∥AB得到∠HAK=∠FDK，由∠AKF=∠HFD+∠KDF即可得到结论；
（3）分五种情况画图求解即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC=60°，∠C=90°，∴∠B=180°−∠BAC−∠C=30°，
∵MN∥AB，∴∠BFN=∠B=30°，
∵∠BFH=12∠BFN，∴∠BFH=12×30°=15°，
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=30°，
∵MN∥AB，∴∠ADE=∠BAD=30°，
∴∠AKF=∠ADE+∠HFD=∠ADE+∠HFB+∠BFN=30°+15°+30°=75°，
即∠AKF=75°；
（2）∵MN∥AB，∴∠HAK=∠FDK，
∵∠AKF=∠DFH+∠KDF，∴∠AKF=∠HAK+∠DFH；
（3）由（1）知，∠FDK=30°，∠KFD=45°，
∴∠DKF=180°−∠FDK−∠KFD=105°，
如图1，当DF∥CE时，∠CFD=∠ECF=90°，
∵∠CFE=30°，∴此时是旋转了180°−30°−90°=60°，此时，t=60°÷5°=12s；
如图2，当DK∥CF时，

∵∠CFD=∠KDF=30°，∴此时是旋转了180°−30°−30°=120°，此时，t=120°÷5°=24s；
如图3，当KF∥CE时，
∵∠EFK=180°−∠CEF=120°，∴此时是旋转了180°−120°+45°=105°，此时，t=105°÷5°=21s；
如图4，当DK∥EC时，设DK与MN相交于点S，
∴∠KSF=∠CEF=60°，∴∠DFS=∠KSF−∠D=30°，∴此时是旋转了30°，
此时，t=30°÷5°=6s；如图5，当DK∥EF时，
∴∠EFK=180°−∠DKF=75°，∴此时是旋转了180°−75°−45°=150°，
此时，t=150°÷5°=30s；
∴当△DKF的其中一边与△CEF的某一边平行时，t为6或12或21或24或30．
3．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒1°．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．
(1)填空：∠BAN=______°；
(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，且∠ACB=120°，则在灯B射线到达BQ之前，转动的时间为______秒．
【分析】（1）设∠BAN=x°，则∠BAM=2x°，根据∠BAN+∠BAM=180°，可列出关于x的等式，解出x即可求解；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0