专题10.6 二元一次方程组全章十类必考压轴题-最新苏教版七年级下册数学精讲精练

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专题10.6 二元一次方程组全章十类必考压轴题
【苏科版】
必考点1
由方程组的错解问题求参数的值
1．（2022秋·广西崇左·七年级统考期末）甲、乙两人同解方程组ax+by=2,①cx−3y=4．②，甲因看错c的值解得方程组解为x=1y=1，乙求得正确的解为x=2y=−2，求a，b，c的值．
【答案】a=1.5b=0.5c=−1．
【分析】根据x=1y=1是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据x=2y=−2是方程组的解，把解代入ax+by=2,①cx−3y=4．②，可得方程组a+b=2 ①2a−2b=2 ②2c+6=4 ③，解方程组，可得答案．
【详解】解：把x=1y=1代入方程①，把x=2y=−2代入方程组，得
a+b=2 ①2a−2b=2 ②2c+6=4 ③，
①×2得2a+2b=4 ④
④+②得4a=6，
a=1.5.把a=1.5代入①1得1.5+b=2，
b=0.5，
解③得c=−1，
故答案为：a=1.5b=0.5c=−1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，把解代入，得出关于a、b、c的方程组，代入消元法，得出答案．
2．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）甲、乙两人共同解方程组ax−by=−112①ax+by=5②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=2y=3，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=3y=2，试求出a，b的正确值，并计算a2021⋅b2020的值．
【答案】a=−12b=2；−12
【分析】把x=2y=3代入②中，把x=3y=2代入①中，联立方程求解可得到a，b的值，再代入所求的式子运算即可．
【详解】根据题意得：2a+3b=53a−2b=−112，
解得：a=−12b=2，
∴a2021⋅b2020，
=a⋅a2020⋅b2020，
=a⋅(ab)2020，
=−12×(−12×2)2020，
=−12
【点睛】本题主要考查积的乘方，解二元一次方程组，解答本题的关键是对相应知识的掌握与运用．
3．（2022春·河南安阳·七年级统考期中）在解二元一次方程组ax+by=17cx−y=5时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，乙同学因看错了c，从而求得解为x=3y=2，求a+b+c的值．
【答案】8
【分析】根据方程组解的定义得出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值即可解决问题．
【详解】解：∵甲同学因看错了b的符号，从而求得解为x=4y=3，
∴4a−3b=17①4c−3=5②，
由②得：c＝2，
∵乙同学看错了c，求得解为x=3y=2，
∴3a+2b=17③，
①×2＋②×3得：17a＝85，
解得：a＝5，
把a＝5代入①得：20－3b＝17，
解得：b＝1，
∴a+b+c=5+1+2=8．
【点睛】本题考查二元一次方程解的定义，解二元一次方程组，将甲、乙二人的解正确代入方程得到关于a、b、c的方程是求解本题的关键．
4．（2022秋·重庆·八年级重庆一中校考期中）甲、乙两同学同时解方程组mx−3y=12①6x+ny=−5②，甲看错了方程①中的m，得到的方程组的解为x=−2y=1，乙看错了方程②中的−5，得到的方程组的解为x=4y=43，求原方程组的正确解．
【答案】x=32y=−2
【分析】把x=−2y=1代入方程组第二个方程求出n的值，把x=4y=43代入第一个方程求出m的值，确定出原方程组，再求解即可．
【详解】解：mx−3y=12①6x+ny=−5②
把x=−2y=1代②得：-12+n=-5，即n=7；
把x=4y=43代入①得：4m-4=12，即m=4，
故方程组为4x−3y=12③6x+7y=−5④，
③×3-②×2得：-23y=46，即y=-2，
把y=-2代入③得：x=32．
则方程组的解为x=32y=−2．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，解答此题关键是将每一个解代入没有看错的方程中，分别求m、n的值，再解方程组即可．
5．（2022春·江苏常州·七年级校考期中）甲、乙两人解方程组4x−by=−1ax+by=5,甲因看错a,解得x=2y=3,乙将其中一个方程的b写成了它的相反数,解得x=−1y=−2,求a、b的值.
【答案】a=-2,b=3.
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将x=2，y=3分别代入4x-by=-1，可以求出b的值，再将x=-1，y=-2代入求出a的值，据此即可得解．
【详解】解：由于甲看错了方程组4x−by=−1①ax+by=5②中②的a,得到的解为x=2y=3
将这组解代入①,可得4×2-3b=-1，
解得：b=3，
又因为乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，
即方程组变为4x−by=−1①ax−by=5②或4x+by=−1①ax+by=5②
所以①-②消去b和y，得4x-ax=-6，
把乙解得的结果x=−1y=−2代入，
可得-4+a=-6，
求解可得a=-2，
即a=-2，b=3.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义及解一元一次方程，理解题意是解题的关键.
必考点2
根据方程组解的个数求参数或参数取值范围
1．（2022春·浙江·七年级期中）已知关于x、y的二元一次方程组3x+5y=63x+ky=10给出下列结论：当k=5时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程6x+15y=16的解，则k=10；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（x、y均为整数），其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】①将k=5代入，得到方程组3x+5y=63x+5y=10，求解即可做出判断；②解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，把x=23，y=45代入6x+15y=16，即可做出判断；③解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2−203k−15y=4k−5，根据k为整数即可作出判断．
【详解】解：∵当k=5时，方程组为3x+5y=63x+5y=10，此时方程组无解；故①正确；
∵解方程组3x+5y=63x+10y=10得：x=23y=45，
把x=23，y=45代入6x+15y=16，方程左右两边相等，故②正确；
∵解方程组3x+5y=63x+ky=10得：x=2−203k−15y=4k−5，
又∵k为整数，若y是整数，则k−5=4，−4，2，−2，1，−1此时x不是整数，
∴x、y不能均为整数，故③正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
2．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）若关于x，y的方程组x−y=2mx+y=6有非负整数解，则正整数m为（ ）．
A．0，1B．1，3，7C．0，1，3D．1，3
【答案】D
【分析】根据y的系数互为相反数，利用加减消元法求出方程组的解，再根据解为非负整数列出不等式组求出m的取值范围，然后写出符合条件的正整数即可．
【详解】x−y=2①mx+y=6②
①+②得，(m+1)x=8，
解得：x=8m+1，
将x=8m+1代入①得，8m+1−y=2，
解得：y=6−2mm+1，
∵方程组得解为非负整数，
∴8m+1＞0①6−2mm+1≥0②，
解不等式①得：m＞−1，
解不等式②得：m≤3，
∴−1＜m≤3，
∵x，y是整数，
∴m+1是8的因数，
∴正整数m是1，3
故选：D
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解一元一次不等式，根据非负整数解列出不等式组求出m的取值范围是解题的关键，要注意整数的限制条件．
3．（2022秋·广东江门·八年级新会陈经纶中学校考期中）方程y=2x+ky=(k2−7)x+3无解，则实数k的值为__________．
【答案】−3
【分析】利用消元法可得(k2−7)x+3=2x+k，再根据方程无解进行分析即可得．
【详解】解：y=2x+k①y=(k2−7)x+3②，
将②代入①得：(k2−7)x+3=2x+k，
解得(k2−9)x=k−3，
∵方程y=2x+ky=(k2−7)x+3无解，
∴k2−9=0，
利用平方根解得k=±3，
当k=3时，方程为y=2x+3，有无数组解，不符题意，舍去；
当k=−3时，可知方程(k2−9)x=k−3无解，符合题意；
综上，实数k的值为−3，
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组无解、利用平方根解方程等知识点，熟练掌握消元法是解题关键．
4．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）已知关于x、y的方程组2x−y=−1x+2y=5a−8的解都为非负数．
(1)用含有字母a的代数式表示x和y；
(2)求a的取值范围；
(3)已知2a−b=1，求a+b的取值范围．
【答案】(1)x=a−2，y=2a−3
(2)a≥2
(3)a+b≥5
【分析】（1）将a当做已知，解方程组即可；
（2）根据解为非负数得到关于a的不等式组，求解即可；
（3）由2a−b=1可得a=1+b2，结合a≥2解出b的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：2x−y=−1①x+2y=5a−8②
①−2×②可得：−5y=−1−10a+16，解得：y=2a−3
将y=2a−3代入①中可得：2x−2a−3=−1，
解得：x=a−2
∴x=a−2，y=2a−3
（2）因为关于x、y的方程组2x−y=−1x+2y=5a−8的解都为非负数，
可得：a−2≥02a−3≥0，
解得：a≥2；
（3）由2a−b=1，可得：a=1+b2a≥2，
可得：1+b2≥2，
解得：b≥3，
∵a≥2，
∴a+b≥5．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．
5．（2022春·七年级课时练习）当m，n为何值时，方程组{x+3y=52x+my=n
（1）有唯一解；
（2）有无数多个解：
（3）无解
【答案】（1）m≠6；（2）m=6,n=10；（3）m=6,n≠10
【分析】先把①变形得到x=5−3y，代入②使方程变为只含y的一元一次方程，根据y的系数讨论方程组（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解时m，n的取值即可．
【详解】解：解方程组{x+3y=5①2x+my=n②
由①变形得到x=5−3y代入②得到2(5−3y)+my=n，
∴(m−6)y=n−10，
（1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解y=n−10m−6
将此y的值代入x=5−3y中，
得：x＝5m+3n−60m−6，因而原方程组有唯一一组解；
（2）当(m−6)＝0且n−10＝0时，即m=6,n=10时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解；
（3）当(m−6)＝0且n−10≠0时，即m=6,n≠10时，方程无解，因此原方程组无解．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
必考点3
构造二元一次方程组求解
1．（2022春·浙江·七年级期末）对于实数x，y，定义新运算x∗y=ax+by+1，其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若3∗5=15，4∗7=28，则5∗9=（ ）
A．40B．41C．45D．46
【答案】B
【分析】根据定义新运算列出二元一次方程组即可求出a和b的值，再根据定义新运算公式求值即可．
【详解】解：∵x∗y=ax+by+1，3∗5=15，4∗7=28，
∴15=3a+5b+128=4a+7b+1
解得：a=−37b=25
∴5∗9= −37×5+25×9+1=41
故选B．
【点睛】此题考查的是定义新运算和解二元一次方程组，掌握定义新运算公式和二元一次方程组的解法是解决此题的关键．
2．（2022春·湖南邵阳·七年级统考期中）在信息加密传输中，发送方将明文加密成密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，若某种加密规则为：明文m、n对应的密文为m−3n，2m+3n．例如：明文1、2对应的密文是−5、8．当接收方收到密文是6、3，则解密后得到的明文是_____________．
【答案】3，－1
【分析】明文m、n对应的密文为m-3n，2m+3n，当接收方收到密文是6、3时，实际就是转化为二元一次方程组求解问题．
【详解】解：由题意，可得m−3n=62m+3n=3，
解得：m=3n=−1，
故答案为：3，-1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键是理解题意知道传送密码和接收密码的关系列出二元一次方程组求解．
3．（2022春·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程m+1x+2m﹣1y+2﹣m=0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．
【答案】x=−1y=1
【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，
因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以x+2y−1=0x−y+2=0，
解得：x=−1y=1．
故答案为：x=−1y=1．
【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．
4．（2022春·福建龙岩·七年级校考期中）无论k取何值，等式（2x+3y-1）-2k（-4y+x+16）=0恒成立，则x，y要满足的条件是__________．
【答案】x=−4y=3
【分析】将等式移项，然后根据等式恒成立得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：∵2x+3y−1−2k−4y+x+16=0，
∴2x+3y−1=2k−4y+x+16，
∵无论k取何值，等式2x+3y−1−2k−4y+x+16=0恒成立，
∴2x+3y−1=0−4y+x+16=0，
解得：x=−4y=3，
故答案为：x=−4y=3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解答本题的关键．
5．（2022秋·重庆荣昌·八年级校考期中）若一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵3+7=6+4，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，∵2+5≠3+3，∴2353不是“交替数”．
（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．
（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；
（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．
【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．
【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；
（2）根据新定义，即可得出结论；
（3）根据题意知a+ba−b=12×1=6×2=4×3，求得a和b的值，再根据题意c+d是6的倍数，结合a+c=b+d，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．
【详解】（1）根据题意：一个四位正整数abcd满足：a+c=b+d，我们就称该数是“交替数”，
最小的正整数是1，最大的正整数是9，
∵1+0=0+1，9+9=9+9，
∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，
故答案为：1111，9999；
（2）是，理由如下：
∵2+7=3+6，
∴2376是“交替数”；
（3）设这个“交替数”为abcd，k为正整数，
依题意得：a2−b2=12，c+d=6k，且a+c=b+d，
由a2−b2=12，知a+ba−b=12×1=6×2=4×3，且1≤a≤9，1≤b≤9，
即a+b=12a−b=1或a+b=6a−b=2或a+b=4a−b=3，
解得：a=132b=112(舍去)，或a=4b=2或a=72b=12(舍去)，
∵1≤c≤9，1≤d≤9，2≤c+d=6k≤18，
∴k取1或2或3，
当k取1时，即c+d=6，a=4，b=2，
∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c−d=−2，
∴c+d=6c−d=−2，
解得：c=2d=4，
∴“交替数”是4224；
当k取2时，即c+d=12，a=4，b=2，
∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c−d=−2，
∴c+d=12c−d=−2，
解得：c=5d=7，
∴“交替数”是4257；
当k取3时，即c+d=18，a=4，b=2，
∵a+c=b+d，即4+c=2+d，即c−d=−2，
∴c+d=18c−d=−2，
解得：c=8d=10(不合题意，舍去)；
综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．
【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．
必考点4
整体思想解二元一次方程组
1．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的唯一解是x=4y=1，则关于m，n的方程组a1(2m−4)+b1n=c1+b1a2(2m−4)+b2n=c2+b2的解是（ ）
A．m=3n=2B．m=3n=4C．m=4n=2D．m=4n=3
【答案】C
【分析】先将关于m,n的方程组变形为a12m−4+b1n−1=c1a22m−4+b2n−1=c2，再根据关于x,y的方程组的解可得2m−4=4n−1=1，由此即可得出答案．
【详解】解：关于m,n的方程组可变形为a12m−4+b1n−1=c1a22m−4+b2n−1=c2，
由题意得：2m−4=4n−1=1，
解得m=4n=2，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
2．（2022春·浙江杭州·七年级校考期中）已知x+2y=−4m2x+y=2m+1，若x−y=7，则m的值为（ ）．
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】A
【分析】解法一：先将m当作已知数，求解二元一次方程组，然后利用x−y=7求出m的值即可；
解法二：用②-①可得x−y=6m−1，然后利用x−y=7求出m的值即可．
【详解】解：x+2y=−4m①2x+y=2m+1②
解法一：由①×2−②，得3y=−10m−1，
解得y=−10m−13，
把y=−10m−13代入①得x=8m+23，
∵x−y=7，
∴8m+23−−10m−13=7，
所以m=1，
解法二：②−①，得
x−y=6m+1，
∵x−y=7，
∴6m+1=7，
∴m=1．
故答案为：A．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解答本题的关键．
3．（2022·浙江杭州·七年级期中）已知方程组a1x+y=c1a2x+y=c2解为x=5y=10，则关于x，y的方程组3a1x+2y=a1+c13a2x+2y=a2+c2的解是_______．
【答案】x＝2y＝5
【分析】根据方程组解的定义，把x＝5，y＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．
【详解】解：∵方程组a1x+y=c1a2x+y=c2
∵解为：x＝5，y＝10，
∴5a1+10=c15a2+10=c2，
∴5a1−a2=c1−c2
∵3a1x+2y=a1+c13a2x+2y=a2+c2，
∴3a1x+2y=6a1+10①3a2x+2y=6a2+10②，
①−②，得3a1x−3a2x＝6a1−6a2，
∴x＝2，
把x＝2代入①得，y＝5，
∴方程组3a1x+2y=a1+c13a2x+2y=a2+c2的解是x=2y=5，
故答案为：x=2y=5．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解题的关键．
4．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知关于x、y的方程组{mx+ny=72mx−3ny=4的解为{x=1y=2，则3m−4n=________．
【答案】11
【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．
【详解】解：∵关于x，y的方程组{mx+ny=72mx−3ny=4的解为{x=1y=2，
∴{m+2n=7①2m−6n=4②，
①+②得：3m-4n=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，用特殊方法解方程组求代数式求值．
5．（2022春·重庆璧山·七年级校联考期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组3m+5−2n+3=−13m+5+2n+3=7时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把m+5，n+3成一个整体，设m+5=x，n+3=y，原方程组可化为3x−2y=−13x+2y=7
解得：x=1y=2．∴m+5=1n+3=2，∴原方程组的解为m=−4n=−1．
(1)若方程组2x−3y=45x−3y=1的解是x=−1y=−2，则方程组2a+b−3a−b=45a+b−3a−b=1的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组3x+y−4x−y=4x+y2+x−y6=1．
【答案】(1)a=−32b=12
(2)x=1715y=115
【分析】（1）根据题意所给材料可得出a+b=−1a−b=−2，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令m=x+y，n=x-y，则原方程组可化为3m−4n=4m2+n6=1，解出m，n，代入m=x+y，n=x-y，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：m=2815n=25，∴x+y=2815x−y=25，解这个二元一次方程组即可．
【详解】（1）∵方程组2x−3y=45x−3y=1的解是x=−1y=−2，
∴a+b=−1a−b=−2，
解得：a=−32b=12 ；
（2）对于3x+y−4x−y=4x+y2+x−y6=1，令m=x+y，n=x-y，
则原方程组可化为3m−4n=4m2+n6=1，
解得：m=2815n=25，
∴x+y=2815x−y=25，
解得：x=1715y=1115．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
6．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期中）解方程组：
（1）43x−2y+32x−5y=1053x−2y−22x−5y=1；
（2）3x+my=5x+2y=n；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6x1+2x2+x3+x4+x5=12x1+x2+2x3+x4+x5=24x1+x2+x3+2x4+x5=48x1+x2+x3+x4+2x5=96，求2x4+3x5的值.
【答案】（1）x=411y=122；（2）当m≠6时，x=mn−10m−6y=5−3nm−6；（3）229．
【分析】（1）设13x−2y=a，12x−5y=b，方程组变形为关于a与b的方程组，求出解得到a与b的值，即可求出x与y的值；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）先求出x1+x2+x3+x4+x5=31，再利用加减消元法可分别求出x4=17，x5=65，代入计算后即可求得代数式的值．
【详解】解：（1）43x−2y+32x−5y=1053x−2y−22x−5y=1，
解：设13x−2y=a，12x−5y=b，则原方程组可化为4a+3b=10①5a−2b=1②，
①×2+②×3得：23a=23，则a=1，
把a=1代入①得：b=2，
则3x−2y=12x−5y=12，即3x−2y=1①4x−10y=1②，
①×5-②得：11x=4，即x=411，
把x=411代入①得：y=122，
经检验，方程组的解为x=411y=122；
（2）3x+my=5①x+2y=n②，
①－②×3，得(m−6)y=5−3n，
当m≠6时，y=5−3nm−6，
将y=5−3nm−6代入②，得x+2×5−3nm−6=n，
解得x=mn−10m−6，
∴当m≠6时，原方程组的解为x=mn−10m−6y=5−3nm−6；
（3）2x1+x2+x3+x4+x5=6①x1+2x2+x3+x4+x5=12②x1+x2+2x3+x4+x5=24③x1+x2+x3+2x4+x5=48④x1+x2+x3+x4+2x5=96⑤，
①+②+③+④+⑤，得6x1+6x2+6x3+6x4+6x5=186，
则x1+x2+x3+x4+x5=31，⑥
④-⑥，得x4=17，
⑤-⑥，得x5=65，
∴2x4+3x5=2×17+3×65=229．
【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组，利用了换元的思想，熟练加减消元法与代入消元法是解本题的关键．
必考点5
二元一次方程组之行程问题
1．（2022秋·江苏无锡·七年级校联考期末）某景区游船码头派车原定于8点整准时到达景区入口接工作人员，由于汽车在路上因故障导致8:10时车还未到达景区入口，于是工作人员步行前往码头.走了一段时间后遇到了前来接他的汽车，他上车后汽车立即掉头继续前进.到达码头时已经比原计划迟到了20min.已知汽车的速度是工作人员步行速度的6倍，则汽车在路上因故障耽误的时间为____min.
【答案】24.
【分析】正常8：00到景区，出故障后，耽误t分钟，8点t分到景区，他在景区等了10分钟，车没来，就走了a分钟，在8点（10+a）分时遇到了车，他走a分钟的路程，车走a6分钟就走完，也就是在8点（t-a6）时遇到了车，得出关系式10+a=t-a6；
正常时从景区到码头用b分钟，在他遇到车的地点到景区要（b-a6）分钟，也就是8点（t-a6+b-a6）分钟到景区，已知他是8点（b+20）分到的，得出关系式t-a6+b-a6=b+20；联立方程组求解.
【详解】正常8：00准时到达景区入口，汽车在路上因故障，耽误t分钟，8点t分到达景区入口，
工作人员步行前往码头.走了10分钟，车没来，就走了a分钟，在8点（10+a）分时遇到了车；工作人员走a分钟的路程，车走a6分钟就走完，也就是在8点（t-a6）时遇到了车，有10+a=t-a6，
t=10+7a6，-----①
正常时从景区到码头用b分钟，
在他遇到车的地点到景区要（b-a6）分钟，
也就是8点（t-a6+b-a6）分钟到景区，
已知他是8点（b+20）分到的，
所以有t-a6+b-a6=b+20，
t-a3=20，----②
由①②解得：a=12，t=24.
则汽车在路上因故障耽误的时间为24min.
故答案为24.
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的应用，依据题意得出汽车晚到景区的时间具体原因以及汽车所晚的20分钟具体原因得出等量关系是解决问题的关键.
2．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为 千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是： 小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？
【答案】（1）2（a+b）；（2）（2+2ba+1）；（2+2ab+1）；（3）36.
【分析】（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论；
（2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB两地的距离为S千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b），S的二元一次方程组（此处将a+b当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】（1）A、B两地的距离可以表示为2（a+b）千米．
故答案为：2（a+b）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a千米，乙已经走了2b千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需2ba+1小时到达B地，乙还需2ab+1小时到达A地，
所以甲从A到B所用的时间为（2+2ba+1 ）小时，乙从B到A所用的时间为（2+2ab+1）小时．
故答案为：（2+2ba+1）；（2+2ab+1）．
（3）设AB两地的距离为S千米，3小时36分钟＝185小时．
依题意，得： S=2(a+b)2S=185(a+1+b+1)，
令x＝a+b，则原方程变形为S=2x2S=185(x+2)，
解得：x=18S=36．
答：AB两地的距离为36千米．
【点睛】本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022春·湖南益阳·七年级统考期末）如图，中国海监船46，49在距离钓鱼岛220海里处，已知两船的航速如下表所示：
其中，一节等于1海里/时，如果海监46先以经济航速行驶若干小时后以最大航速沿图中箭头方向航线行驶至钓鱼岛，共行驶时间15小时，海监49比海监46迟出发半小时，以最大航速沿同一路线驶向钓鱼岛．问：
(1)两船谁先到达钓鱼岛？说明理由；
(2)海监46经济航行和最大航速航行各多少小时？
(3)设海监46航行时间为t，求两海监船之间的距离S与t之间的函数关系式．
【答案】(1)海监49先到，见解析
(2)海监46经济航速航行和最大航速航行时间分别是10小时和5小时
(3)S=14t0≤t≤0.57.6−1.2t0.5