专题12.1 证明【十大题型】-最新苏教版七年级下册数学精讲精练

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1、注重生活联系，形式活泼多样。初中生的数学思维能力正逐步由直观形象思维向抽象思维发展。这个发展需要一定的过程。
2、注重动手操作，引导学生“做”数学。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，自主探索与合作交流也是学习数学的重要方法。
3、注重“过程”和数学思想方法。新教材通过让学生亲身经历知识的形成过程，使学生的学习过程更多地成为其发现数学、了解数学、体验数学的过程。
专题12.1 证明【十大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc31455" 【题型1 命题的概念】 PAGEREF _Tc31455 \h 1
\l "_Tc24838" 【题型2 判断命题的真假】 PAGEREF _Tc24838 \h 2
\l "_Tc10474" 【题型3 互逆命题】 PAGEREF _Tc10474 \h 2
\l "_Tc17636" 【题型4 三角形内角和的运用】 PAGEREF _Tc17636 \h 3
\l "_Tc11767" 【题型5 三角形外角的运用】 PAGEREF _Tc11767 \h 4
\l "_Tc13293" 【题型6 直角三角形性质的运用】 PAGEREF _Tc13293 \h 5
\l "_Tc13805" 【题型7 平行线性质的运用】 PAGEREF _Tc13805 \h 7
\l "_Tc11766" 【题型8 平行线判定的运用】 PAGEREF _Tc11766 \h 8
\l "_Tc24242" 【题型9 平行公理的运用】 PAGEREF _Tc24242 \h 9
\l "_Tc2342" 【题型10 推理与论证】 PAGEREF _Tc2342 \h 10
【题型1 命题的概念】
【例1】（2022秋·湖南娄底·八年级统考期中）下列语句是命题的是（ ）
（1）两点之间，线段最短；
（2）如果x2＞0，那么x＞0；
（3）如果两个角的和是90度，那么这两个角互余；
（4）过直线外一点作已知直线的垂线．
A．（1）（2）B．（3）（4）C．（1）（2）（3）D．（2）（4）
【变式1-1】（2022秋·浙江杭州·八年级期末）下列句子中，属于命题的是（ ）
A．直线AB和CD垂直吗？B．过线段AB的中点C作AB的垂线
C．同旁内角不互补，两直线不平行D．已知a2=1，求a的值
【变式1-2】（2022春·宁夏固原·七年级校考阶段练习）下列语句：①钝角大于90°；②两点之间，线段最短；③明天可能下雨；④作AD⊥BC；⑤同旁内角不互补，两直线不平行．其中不是命题的是____________．
【变式1-3】（2022春·七年级课时练习）判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．
(1)内错角相等；
(2)对顶角相等；
(3)画一个60°的角．
【题型2 判断命题的真假】
【例2】（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）下列命题中：其中是假命题的个数共有（ ）
①如果a+b=0，那么a=b=0；②如果a=3，那么a=3
③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
④如果∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角；
⑤三角形的内角和等于180°；⑥两个锐角的和是钝角．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式2-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同旁内角相等
C．同位角相等D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
【变式2-2】（2022春·河北保定·七年级统考阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成________________，该命题是_________（填“真命题”或“假命题”）．
【变式2-3】（2022春·山西·七年级统考阶段练习）判断下列命题的真假，如果是假命题，请举一个反例，真命题不需要举例．
（1）钝角的补角是锐角；
（2）一个角的余角小于这个角；
（3）如果a=b，那么a=b．
【题型3 互逆命题】
【例3】（2022秋·四川乐山·八年级统考期末）命题“实数a、b，若a=b，则a2=b2”的逆命题是_________________________，请你举出一个反例_________________________________，说明逆命题是假命题．
【变式3-1】（2022春·全国·八年级专题练习）命题“若−3a>−3b，则a∠C．
(1)若∠B=60°，∠C=36°，则∠DAE=______°．
(2)若∠B=α，∠C=β，探究∠DAE与α、β的数量关系？
【变式6-3】（2022秋·河南驻马店·七年级校考期末）如图1，将两块直角三角板的直角顶点A叠放在一起．
(1)若∠PAQ=45°，则∠CAB= ；若∠CAB=130°，则∠PAQ= ；
(2)猜想∠CAB与∠PAQ的大小有何关系，并说明理由；
(3)如图2，若是两个同样的直角三角尺45°锐角的顶点A重合在一起，猜想∠PAB与∠CAQ的大小又有何关系，并说明理由．
【题型7 平行线性质的运用】
【例7】（2022秋·四川成都·八年级统考期末）已知AB∥CD，现将一个含30°角的直角三角尺EFG按如图方式放置，其中顶点F、G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，若∠EHB=50°，则∠AFG的度数为（ ）
A．100°B．110°C．115°D．120°
【变式7-1】（2022秋·贵州贵阳·八年级统考期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°的三角板的一个顶点在含45°角的三角板的一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30°B．20°C．15°D．14°
【变式7-2】（2022秋·四川乐山·七年级统考期末）如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD交AD于点E．
(1)证明：∠1=∠3；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
【变式7-3】（2022秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于点C，D．
(1)求∠CBD的度数；
(2)在点P运动过程中，试判断∠APB与∠ADB之间的数量关系？并说明理由；
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求出∠ABC的度数．
【题型8 平行线判定的运用】
【例8】（2022春·浙江杭州·七年级期末）下列图形中，能由∠1＝∠2得到AB∥CD的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，已知条件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180∘；⑤∠5+∠6=180∘；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能够判定直线a∥b的是____________．（只填序号）
【变式8-2】（2022春·安徽滁州·七年级校考期末）如图，BD平分∠ABC，点F在AB上，点G在AC上，FC与BD相交于点H，∠3＋∠4＝180°，试说明∠1＝∠2（请通过填空完善下列推理过程）
解：∵∠3＋∠4＝180°（已知），∠FHD＝∠4（ ）．
∴∠3＋∠FHD＝180°（等量代换）．
∴FG∥BD （ ）．
∴ ＝∠ABD （ ）．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝ （ ）．
∴∠l＝∠2（ ）．
【变式8-3】（2022秋·海南海口·七年级校考期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF=∠DEF，∠BDG=∠BGD，DG平分∠BDE．
(1)如图1，当点G在点F右侧时，
①试说明：BD∥EF；
②试说明∠DGE=∠BDG−∠FEG；
(2)如图2，当点G在点F左侧时，（1）中的结论②是否成立，若不成立，请写出正确结论；（不用说理）
(3)如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B−∠DNG=∠EDN，求∠B的度数．
【题型9 平行公理的运用】
【例9】（2022春·河南郑州·七年级统考期末）已知AB∥CD， ∠EAF=13∠EAB， ∠ECF=13∠ECD，若∠E=66°，则∠F为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
【变式9-1】（2022秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD，若∠1=40°，∠2=50°，∠3=65°则∠4=_______．
【变式9-2】（2022春·广东河源·七年级校考期末）如图，已知AB∥EF，GC⊥CF，∠ABC=65°，∠EFC=40°，求∠BCG的度数．
【变式9-3】（2022秋·陕西西安·八年级统考期末）问题提出
（1）如图1，若点A在B处的北偏东38°方向上，在C处的北偏西46°方向上，则∠BAC= ．
问题探究
（2）如图2，直线l1∥l2，且l3分别与l1，l2交于A，B两点，点P在直线AB上，若∠1=15°，∠2=20°，求∠3的度数．
问题应用
（3）某模具公司生产如图3所示的刀片，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），若小刀的刀片上、下平行，则认为该刀片合格，经过测量可得∠1+∠2=90°，你认为这样小刀的模具合格吗？请说明理由．
【题型10 推理与论证】
【例10】（2022秋·八年级课时练习）我们的数学教材中有一个“抢30的游戏”，现在改为“甲、乙二人抢20”的游戏．游戏规则是：甲先说“1”或“1、2”乙接着甲的数往下说一个或两个数，然后又轮到甲再接着乙的数往下说一个或两个数，甲、乙反复轮流说，每次每人说一个或两个数都可以，但不能连续说三个数，也不能一个数也不说．谁先抢到20，谁就获胜．因为甲先说，你认为谁会获胜？请你分析获胜策略、推理说明获胜的道理．
【变式10-1】（2022秋·八年级课时练习）问：在8×8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形（其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格），使得任意两个“+”字形不重叠，且每个“+”字形都不超出棋盘的边界？证明你的结论．
【变式10-2】（2022秋·八年级课时练习）有12名游客要赶往离住地40千米的一个火车站去乘火车，离开车时间只有3小时了，他们步行的速度为每小时6千米，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘5人，汽车的速度为每小时60千米．
（1）甲游客说：我们肯定赶不上火车；（2）乙游客说：只要我们肯吃苦，一定能赶上火车；（3）丙游客说：赶上或赶不上火车，关键取决于我们自己．
亲爱的同学，当你身处其境，一定也有自己的想法，请你就某位游客的说法，用数学知识以理其人，由于难度不同，请你慎重选择．
选择（1）答对只能给3分，选择（2）答对可以给4分，选择（3）答对我们奖赏你满分6分．
【变式10-3】（2022秋·八年级课时练习）2007年9月，在中国举行了第五届女足世界杯，受到了世人瞩目．现假设某组有四个球队，分别为A，B，C，D四个足球队，在小组赛中她们进行循环比赛（即任意两队之间都要比赛一场），赛了若干场后，她们之间的比赛情况如下：
注1：在两队比赛中，以入球数多的一方为胜
注2：假设甲，乙两队比赛中，甲入球数为3，失球数为2（即乙队入球数为2），则我们把甲、乙两队的比赛成绩记为：甲队：乙队=3：2
根据上表，回答下列问题
（1）由于C队已赛了3场，即C队和其他的队都已经比赛过，则他们之间的比赛成绩为C：A= ；C：B= ；C：D= ；
（2）根据表格，D队到目前为止共比赛了 场，其中胜了 场；
（3）根据表格，请问D队到目前为止共入球几个，失球几个，并简单说明理由．比赛
场数
胜的
场数
负的
场数
平的
场数
入球数
失球数
A队
2
0
2
0
3
6
B队
2
1
0
1
4
3
C队
3
2
0
1
2
0
D队