2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（ ）
A．15°B．C．D．
4．已知单位向量满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．由，可求得的值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．如图，三棱柱中，E，F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ）
A．5:6B．3:4C．1:2D．5:7
8．在半径为2的圆上任取三个不同的点且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．
B．
C．当时，取得最小值
D．记，则数列的前项和为
10．已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A．存在点，使得B．存在点，使得
C．的最小值为D．最大值为3
11．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）

A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面截半径为R的球所得的截面圆的周长等于大圆周长的一半，则球心到平面的距离为 .
13．已知圆，过点的直线与圆交于B，C两点，且，则 .
14．已知函数是R上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是等比数列，是常数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．在锐角三角形ABC中，角的对边分别为若，且.
(1)求；
(2)求的最大值.
18．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，,,.
(1)证明：平面；
(2)已知平面与平面的夹角的余弦值为，求.
19．已知函数.
(1)求函数图象上点到直线的最短距离；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若函数与的图象存在公切线，求正实数的最小值.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由，得，则，而，
所以.
故选：D
2．【正确答案】B
【详解】由，得，即，
整理得，
所以.
故选：B
3．【正确答案】C
【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，
由题意可得：，解得，
设该圆锥的母线与底面所成的角为，则，
可得，所以该圆锥的母线与底面所成的角为.
故选：C.
4．【正确答案】A
【详解】单位向量满足，则，
，，
所以.
故选：A
5．【正确答案】B
【详解】因为
又因为，所以
因为，所以
所以解得
故选：B.
6．【正确答案】A
【详解】函数定义域为R，，即是奇函数，
由，得，则，
反之，取，满足，而，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．【正确答案】D
【详解】由题：设面积为，和的面积为，三棱柱高为；；
；总体积为：
计算体积：
①
②
③
由题意可知，④
根据①②③④解方程可得：，；则.
故选：D．
8．【正确答案】D
【详解】在中，由正弦定理，得，即，
所以，又，所以或.
当时，设，则，
由，
得，
所以，
由，得，所以，
即；
当时，.
综上所述，的最大值为.
故选：D.
9．【正确答案】BCD
【详解】由题意可设公差为，则有
由有：，故A错误；
故B正确；
，由二次函数的性质可知：
当时，取得最小值，故C正确；
因为，
所以
所以为等差数列，公差为4，首项为，
所以的前项和为：故D正确.
故选：BCD.
10．【正确答案】BCD
【详解】对于A：设，若时，此时的斜率不存在，
，与不垂直，同理时与不垂直，
当且时，，
若，则，
去分母整理得，，方程无解，故与不垂直，故A错误；
对于B：设，若，则，
即，由，所以方程有解，则存在点，使得，故B正确；
对于C：如图设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，
当且仅当、、三点共线时取等号（在线段之间），故C正确；

对于D：如下图，，当且仅当在的延长线与直线的交点时取等号，故D正确.

故选：BCD
11．【正确答案】ABD
【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，
又正方体中，为棱的中点，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，
，即的轨迹为线段.
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故A正确；
对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，
此时,所以体积最小值为，故B正确；
对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,
，而，,故C错误；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，
,,,所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,
由,,可得外接球半径，
外接球的表面积为，故D正确.
故选ABD.

12．【正确答案】/
【详解】依题意，平面截半径为R的球所得的截面圆的周长为，则该截面圆半径，
所以球心到平面的距离.
故
13．【正确答案】/
【详解】设点，而点，且，则是中点，，
依题意，，解得，
所以.
故
14．【正确答案】
【详解】因为函数是R上奇函数，所以
，
所以，
，
两式相加得：，
即.
故
15．【正确答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由是常数列，设，由数列是等比数列，得，
而，则，解得，
因此，等比数列的公比，，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）不妨设正方形边长为2，则，
由，得，
再由，， 平面 ，得平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）取中点，连结，则，由（1）可知，平面平面ABCD，
平面平面，所以平面，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设平面的法向量为，则
取，记与平面所成角为，则．
17．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，所以，
所以，即.
所以.
因为为锐角三角形，所以.
（2）因为，
所以，
当且仅当时取等号.
所以，解得，
即.
所以，当且仅当时取等号.
即的最大值为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设，因为四边形为菱形，则为、的中点，且，
因为，,，则是边长为的等边三角形，
则，，
因为，所以，即，
因为，、平面，所以平面.
（2）因为平面，以为原点，、所在直线分别为轴、轴，
过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则、、，设，则，且，
，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，化简得，
所以，，解得，，所以，
所以，，即.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设与平行且与相切的直线，与的切点为，
由题设，，则到直线的距离最短，
所以
（2）由，从而恒成立，
令，则.
所以令，
所以则在为减函数，且.
当时，在0,1上为增函数；
当时，在1,+∞上为减函数.
所以；即.
所以.
（3）设点是公切线在上的切点，则切线斜率为
故切线方程为，
设点是公切线在上的切点，则切线斜率为，
故切线方程为，
所以，消去有
令，
当时，在上为增函数，
当时，在上为减函数.
所以最大值为
所以正实数的最小值为