2024-2025学年山东省德州市高二上学期期末考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省德州市高二上学期期末考试数学检测试题（附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，第四象限内点的个数是，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知两个向量，若，则m的值为（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知集合，从集合M中选一个元素作为点的横坐标，从集合N中选一个元素作为点的纵坐标，则落在第三、第四象限内点的个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若y与x线性相关，且线性回归方程为，则可以预测时，该商城手机的销量约为（ ）千部.
A．B．C．D．
4．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中错误的是（ ）
A．该物理量在一次测量中大于100的概率为0.5
B．越小，该物理量在一次测量中落在的概率越大
C．该物理量在一次测量中小于99.9与大于100.1的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
5．在如图所示的圆锥中，底面直径为，母线长为6，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PB的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y（x，）代替，分布列如下：
则（ ）
A．0.35B．0.45C．0.55D．0.65
7．将杨辉三角中的每一个数都换成，得到如图所示的莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果（n为正整数），则下列结论中正确的是（ ）
第0行
第1行
第2行
第3行
…… ……
A．当时，中间的两项相等，且同时取得最大值
B．当时，中间一项为
C．第6行第5个数是
D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在上，点在轴上，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知正方体的棱长为1，点E，O分别是的中点，P为正方体的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．线段CP的长为
B．点P到直线EO的距离为
C．平面与平面间的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值为
10．甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是（ ）
A．不同的站队方式共有120种
B．若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种
C．若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种
D．若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种
11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件B与事件相互独立D．
12．已知抛物线，F为抛物线C的焦点，准线与y轴交于M点，过点F作不垂直于y轴的直线l与C交于A，B两点．设P为y轴上一动点，Q为AB的中点，且，则（ ）
A．当直线AB的倾斜角为时，
B．当时，直线l的倾斜角为或
C．MF平分
D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为 ．
14．甲、乙两位同学进行象棋比赛，采用五局三胜制（当一人赢得三局时，该同学获胜，比赛结束）．根据以往比赛成绩，每局比赛中甲获胜的概率都是，且各局比赛结果相互独立．若甲以获胜的概率不低于甲以获胜的概率，则p的取值范围为 ．
15．的展开式中的系数是 ．
16．在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1、2、3、4外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示i号箱有奖品，用表示主持人打开i号箱子，则 ； .
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
18．为落实“双减”政策，提升课后服务水平，某小学计划实行课后看护工作．现随机抽取该小学三年级的个班级并调查需要课后看护的学生人数，分布如下：
(1)若将上述表格中人数低于人的班级两两组合进行看护，求班级代号为、的两个班合班看护的概率；
(2)从已抽取的个班级中随机抽取个班，记个班中需要课后看护的学生人数低于人的班级数为，求的分布列及数学期望．
19．如图，在直三棱柱中，，E，F分别为线段的中点.

(1)证明：平面；
(2)若二面角的余弦值为，求的长.
20．为了解某一地区电动汽车销售情况，某部门根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y（单位：万台）关于x（年份）的线性回归方程为，且销量y的方差，年份x的方差．
(1)求y与x的相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱；
(2)该部门还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
根据调查数据回答：是否有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关？
参考公式：（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断y与x线性相关较强．
（iii），其中．附表：
21．己知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右两个焦点分别为，直线l过右焦点，且与椭圆交于C、D两点，求面积的最大值．
22．某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务，现统计了最近500天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T（单位：箱）分成了以下几组：，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T（单位：箱）服从的正态分布，经计算近似为近似为150．
①利用该正态分布，求；
②试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数（结果保留整数）．
(2)该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为装卸员工制定了两种不同的工作奖励方案．
方案一：利用该频率分布直方图获取相关概率（将图中的频率视为概率），采用直接发放奖金的方式奖励员工，按每日的可配送货物量划分为三级：时，奖励50元；时，奖励80元；时，奖励120元；方案二：利用正态分布获取相关概率，采用抽奖的方式奖励员工，其中每日的可配送货物量不低于时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如下表：
小张为该公司装卸货物的一名员工，试从员工所得奖金的数学期望角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？
附：，若，则．
答案
1．【正确答案】B
【分析】根据空间向量垂直的充要条件列出方程求解即可.
【详解】因为， ，
所以，即，解得.
故选：B.
2．【正确答案】A
【分析】依题意，找到点的坐标即可解决.
【详解】依题意，可得点的坐标有：
其中落在第三、第四象限内点有
共6个.
故选：A
3．【正确答案】D
【分析】先求样本数据的中心点，代入回归直线方程可得，然后代入可求.
【详解】回归直线过，由题意得，，
将代入，解得，则，
当时，，可以预测时，该商城手机的销量约为千部.
故选：D
4．【正确答案】D
【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】对于A，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量大于100的概率为0.5，故A正确；
对于B，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于100.1的概率与小于99.9的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D
5．【正确答案】D
【分析】先证明平面，再建立空间直角坐标系，得出点的坐标，表示出，即可根据数量积公式，求出答案.
【详解】如图，
设为的中点，连接，易知底面，
因为平面，所以平面底面.
又平面底面，因为点C是底面直径AB所对弧的中点，所以，
所以平面.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，，，
则，，，，，
所以，，
记异面直线AB与CD所成角为，则，
即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
故选：D
6．【正确答案】B
【分析】先根据概率之和为1求出，从而求解概率即可.
【详解】由题意得，化简得，
又且，所以，
所以.
故选：B
7．【正确答案】C
【分析】根据莱布尼茨三角形的数的排列规律，明确每行的数的个数，以及数的分布规律，即可判断A，B，C；结合从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，即可判断D.
【详解】对于A，由莱布尼茨三角形知，当n为奇数时，中间两项相等，且同时取到最小值，
为奇数，故A错误；
对于B，当时，这一行有2025个数，最中间为第1013个数，
即，B错误；
对于C，第6行有7个数，第5个数是，C正确；
对于D，由于从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，
故，D错误，
故选：C
8．【正确答案】A
【分析】根据直角三角形的性质可得出，推导出为等边三角形，求出、，利用双曲线的定义可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】因为，则为线段的中点，
因为，则，则，
因为为的中点，，则，
所以，为等边三角形，
由勾股定理可得，
由双曲线的定义可得，即，
因此，该双曲线的离心率为.
故选：A.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
9．【正确答案】BCD
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求点到线，面与面的距离和线面角.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，
由P为正方体的中心，即为的中点，所以，
则，A错误；
因为，又，
则，所以，，
即点P到直线EO的距离为，故B正确；
，，.
设平面的法向量为，
则，所以
令，得，，所以.
所以点到平面的距离.
，所以，
又因平面，平面，
所以平面，同理平面，
平面，平面，，
所以平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C正确.
由选项C可知平面的一个法向量为，，
设直线与平面所成角为，
则，故D正确.
故选：BCD.
10．【正确答案】ACD
【分析】根据全排列数计算判断A；利用插空法求解判断B；定序问题采用倍缩法进行求解判断C；先使用捆绑法求解，再去掉甲在两端情形即可判断D.
【详解】对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有种，A正确；
对于B，甲和乙不相邻的站队方式有种，B错误；
对于C，甲在乙的左边的不同的站队方式有种，C正确；
对于D，将甲与乙捆绑看做一个整体，再与其他三人站成一排，有种站队方式，
其中甲站在两端的情形有种，所以符合题意的站队方式共有种，D正确.
故选：ACD
11．【正确答案】ABD
【分析】根据全概率公式计算判断A，根据独立事件的乘法公式判断C，根据条件概率公式计算判断BD.
【详解】因为，，，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，
若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，
所以
，故A正确；
因为，所以，故B正确；
所以，所以事件与事件不是相互独立，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
12．【正确答案】ACD
【分析】首先利用已知，得到直线方程，联立方程组，利用弦长公式得出A正确，结合题意，结合焦半径公式求解倾斜角得到B错误，连接，由需证的条件推出容易证明的条件，再证明即可，得到C正确，利用焦半径公式结合题意求出动点坐标，最后得出D正确
【详解】
对于A:当直线倾斜角为时，，过的直线为，设，
联立方程组可得，故A正确.
对于B：化简得，
设的斜率为k，联立方程组，
或成立，故负根舍去，，
解得，则的倾斜角为或，故B错误.
对于C：连接，，欲证平分，则证，
证，证，证即可，
故，联立方程组，得到，
解得代入得出，故C正确.
对于D：由焦半径公式得，由中点坐标公式得
且设，，则，
显然成立，故D正确.
故选：ACD.
13．【正确答案】1
【分析】根据条件，求出，进而得到，即可求出结果.
【详解】因为随机变量服从两点分布，所以，
又，得到，
所以，故，
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】先分别求出甲以获胜的概率和甲以获胜的概率；再由求解即可.
【详解】由题意可得：甲以获胜的概率为，
甲以获胜的概率.
因为，
所以，解得.
又因为，
所以.
故答案为.
15．【正确答案】120
【分析】利用二项式定理得到的展开式中的系数为，从而得到答案为.
【详解】的展开式中的系数为，
故的展开式中的系数是.
故120
16．【正确答案】 /
【分析】分析出：若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，可求得的值；求得，对奖品所在的箱子进行分类讨论，求出的值，再利用全概率公式可求得的值.
【详解】若奖品在3号箱里，主持人只能打开2、4号箱，故；
奖品随机等可能分配到四个箱子中，因此、、、的概率均为，
奖品在号箱里，主持人可打开、、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
奖品在号箱里，主持人只能打开、号箱，故，
由全概率公式可得.
故；
17．【正确答案】(1)
(2)2187
【分析】（1）求即求的系数，利用通项公式求解；
（2）采用赋值法，令和，可解.
【详解】（1）求即求的系数．
．
当，即项时，．
（2）由展开式可知均为正值，均为负值，
故
当时，，
当时，，
所以，
，
故．
18．【正确答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）求出将人数少于人的个班两两组合进行课后看护的不同组合方法种数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.
【详解】（1）解：若将表中人数少于人的个班两两组合进行课后看护，
共种不同的方法，其中班级代号为、的两个班合班看护共种方法．
记表示事件“班级代号为、的两个班合班看护”，则其概率．
（2）解：随机变量的可能取值为、、、，
可得，，
，，
则的分布列为：
所以数学期望为．
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点G，连接FG，，利用棱柱的性质及中位线的性质证明四边形为平行四边形，再根据线面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量夹角公式建立方程求解即可.
【详解】（1）取中点G，连接FG，，三棱柱为直三棱柱，平面.
平面，.又，.
又，平面，平面，平面，
为中点，F为中点，，且，
为中点，，且，四边形为平行四边形，
，平面.
（2）由题意，为直角，即，则.
以为原点，在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：

设，则，
则，
设平面的法向量为，则，即，
令得.易知为平面的一个法向量，
二面角的余弦值为，，
解得，故的长为.
20．【正确答案】(1)0.9375，y与x线性相关较强
(2)有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关
【分析】（1）将相关系数公式适当变形成，代入相关值计算即可判断；
（2）根据题意完成列联表，计算的值，并与对应的小概率值比较即得.
【详解】（1）相关系数为
，
(由y关于x的线性回归方程为可知：，且，)
故y与x线性相关较强．
（2）由题意：
．
由表可得，所以有的把握认为购买电动汽车与车主性别有关．
21．【正确答案】(1)
(2)3
【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程组求解；
（2）设直线l的方程为，联立得，由此利用韦达定理、弦长公式、根据基本不等式求出面积的最大值.
【详解】（1）由题意可得：，
解得：．
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意知直线的不会与x轴重合，
所以设直线CD的方程为，
联立得，
，，
，
，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，
的最大值为3．
22．【正确答案】(1)①0.8186；②1637（天）
(2)小张选择方案二更有利
【分析】（1）①由正态分布概率公式计算可得答案．②根据①计算出的概率乘以2000可得答案；
（2）设小张每日可获得的奖金为X元，求出X的可能取值及对应的概率可得，设小张每日可获得的奖金为Y元，求出Y的所有可能取值及对应的概率可得，比较大小可得答案.
【详解】（1）①由题意，其中，
．
②故该物流公司2000天内日货物配送量在区间（87.8，124.4）内的天数为：
（天）；
（2）易知，
对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X元，则X的可能取值为50，80，120，
其对应的概率分别为0.33，0.57，0.10，
故，
对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为50，100，150，200，
故，
，
所以，
因为，所以从数学期望的角度看，小张选择方案二更有利．时间x
1
2
3
4
5
销售量y（千部）
1
2
3
4
5
6
0.21
0.20
0.10
0.10
班级代号
1
2
3
4
5
6
7
8
需看护学生人数
20
22
27
30
25
23
32
21
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
45
女性
15
总计
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
奖金
50
100
概率
X
P
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
39
6
45
女性
30
15
45
总计
69
21
90