2024-2025学年山东省德州市高三上学期12月月考数学阶段性检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省德州市高三上学期12月月考数学阶段性检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了未知，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、未知（本大题共8小题）
1．已知集合，则满足的非空集合B的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．已知是抛物线上的一点，为的焦点，若，则的纵坐标为（ ）
A．8B．9C．10D．11
3．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．若是方程的一个虚数根，则（ ）
A．0B．-1C．D．-1或
6．已知直线：和曲线：有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，点P是C的右支上的一点（异于顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则（ ）
A．随P点变化而变化B．5
C．4D．2
8．已知定义在上的奇函数满足，当时，，若函数的所有零点为，当号时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共2小题）
9．已知数列是首项为，公比为的等比数列，则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是等比数列D．是等比数列
10．已知是双曲线上任意一点，，是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，且实数的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．函数的图象恒过双曲线的一个焦点
D．设分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则
三、未知（本大题共1小题）
11．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在上单调递增
C．的图象关于点对称
D．若，且在上无零点，则的最小值为
四、填空题（本大题共3小题）
12．已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
13．已知正项数列的前项积为，且满足，则 .
14．已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是 .
五、解答题（本大题共5小题）
15．过椭圆内一点的弦.
(1)若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；
(2)求过点M的弦的中点的轨迹方程．
16．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，证明：．
17．如图，长方形纸片的长为，将矩形沿折痕翻折，使得两点均落于边上的点，若.
(1)当时，求长方形宽的长度；
(2)当时，求长方形宽的最大值.
18．已知椭圆的离心率，点在椭圆C上．A，B分别为椭圆C的上下顶点，动直线l交椭圆C于P，Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求面积的最大值．
19．模糊数学普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测､种群数量变化和天体运动等等.假设在一个模糊数学系统中，用来表示系统在第个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态满足，，其中.
(1)当时，若满足对，有，求；
(2)当时，判断中是否存在连续的三项构成等比数列；若存在，求出连续的三项；若不存在，说明理由.
(3)若，，记，证明.
答案
1．【正确答案】A
【详解】
所以满足的非空集合B有，，，故个数为3，
故选：A
2．【正确答案】B
【详解】由题意得的焦点，准线为直线．
因为，所以到直线的距离为11，则的纵坐标为．
故选：B.
3．【正确答案】D
【详解】根据平面向量的投影向量的规定可得: 向量在向量上的投影向量为：，即，
因，则，，则向量在向量上的投影向量为.
故选：D.
4．【正确答案】B
【详解】函数的图像关于原点中心对称,则，解得，因为，当时，取得最小值.
故选：B
5．【正确答案】A
【详解】方程化为：，依题意，或，
显然，又，即，
所以.
故选：A
6．【正确答案】C
【详解】因为，所以直线恒过定点，
曲线：化简即为：
，
如图所示：
由图可知，若直线与曲线有交点，则直线介于与之间即可，
由圆心到直线的距离等于半径得：
，整理得：，解得：或（舍），
同理，由圆心到直线的距离等于半径得：
，整理得：，解得：（舍）或，
所以.
故选：C
7．【正确答案】B
【详解】双曲线的左右焦点分别是，，延长交于，
是的角平分线，，
在双曲线上，，
，
是的中点，是的中点，
是△的中位线，，
即，
双曲线中，则．
故选：B．
8．【正确答案】C
【详解】解：定义在上的奇函数满足，故图象关于对称，
，
故，
，
即周期为4，又因为当，时，，
函数的所有零点即为的交点，
因为时，对应图象如图，
故共有5个零点，一个为2，另两对都关于对称，
，
故选：．
9．【正确答案】AD
【分析】由题意得数列的通项公式，然后写出每个选项中对应的数列的通项公式，再判断是等差数列还是等比数列.
【详解】由题意得，所以数列是常数列，A正确；数列的通项公式为，则，所以数列是公比为的等比数列，B错误；，所以数列是公差为的等差数列，C错误；，所以数列是公比为的等比数列，D正确.
故选AD.
10．【正确答案】ACD
【详解】依题意，A−2,0，，设Px,y，则，即
则，，，
因此，当且仅当时等号成立，则，
由实数的最大值为1，得即，
对于AB，双曲线的方程为，离心率，A正确，B错误；
对于C，双曲线的焦点为，函数图象恒过点，C正确；
对于D，，令，则，
由余弦定理得
，于是，
因此，两边平方得，而，
解得，又，所以，D正确.
故选：ACD

11．【正确答案】ACD
【详解】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即，解得，
，
且，
对于A，，故A正确；
对于B，，所以，因为在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，若，则，
可得或者，，
或，，
且的半周期为，在上无零点，则的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12．【正确答案】
【详解】甲：，设此范围对应集合；
由，则乙：，设此范围对应集合，
因为甲是乙的必要不充分条件，则是的真子集，
则，所以的取值范围是.
故
13．【正确答案】
【详解】由题意，且，所以，
又，且，
所以，则，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
等边的边长为，则，又，设，
因此，
，
因为，有，则当时，
当时，，
所以的取值范围是.
故
15．【正确答案】(1); (2).
【详解】解：(1)设的坐标分别为，，则,
两式相减得，
为的中点，，，.
直线的方程为,即.
(2)设过点的直线与椭圆交于两点，且它们的坐标分别为，，的中点为，
当直线的斜率不存在时，点的坐标为；
当直线的斜率存在时，即，
则有,两式相减并化简得，
即，又，
,化简为.
综上可得，过点的弦的中点的轨迹方程为.
16．【正确答案】(1)答案见详解
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，则
当时，f′x>0，单调递增，
当时，f′x