2024-2025学年山东省德州市高一上学期期末考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省德州市高一上学期期末考试数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．连续函数在定义域内有关数据如下：，，，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数在内一定不存在零点
B．函数在内一定不存在零点
C．函数在内一定存在零点
D．函数在内一定存在零点
3．函数（且）的图象过定点（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成；一个半径为的扇形，它的周长是 ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在区间上的最大值为，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
7．近年来，中国加大了电动汽车的研究与推广，预计到年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．已知蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式为，其中．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，函数与有四个交点，横坐标依次为，，，且，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为B．的定义域为
C．的值域为D．在其定义域上是增函数
10．若，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
11．函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递减
12．给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”．下列给出的函数为“函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．若角的终边上一点的坐标为，将角的终边按逆时针旋转得到角，则 ．
14．若函数对任意都有意义，则实数a的取值范围是 ．
15．已知函数为幂函数，且，若，则实数a的取值范围是 ．
16．已知函数，则 ；若在上恒成立，则整数t的最小值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．
(1)若，且为第三象限角，求x，y的值；
(2)若，求的取值范围．
18．已知：．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
19．已知幂函数在上满足，函数．
(1)求的值；
(2)当时，记、的值域分别为、，设，，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．
20．已知函数，当时，的最小值为．
(1)求；
(2)若，求a的值及此时的最大值．
21．按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量最大值为万吨．
(1)求的解析式；
(2)按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内？（参考数据，，）
22．设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称x为的一个“准不动点”．已知函数．
(1)若，求的准不动点；
(2)若为的一个“准不动点”，且，求实数a的取值范围；
(3)设函数，若，，使得成立，求实数a的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】利用诱导公式化简可得所求代数式的值,
【详解】.
故选：B.
2．【正确答案】D
【分析】根据零点存在定理判断即可.
【详解】因为，，函数在内并不一定无零点，故A、C错误；
因为，，，
所以函数在内一定存在零点，故B错误，D正确，
故选：D.
3．【正确答案】D
【分析】利用可求出函数的图象所过定点的坐标.
【详解】对于函数（且），由，可得，
又因为，故函数的图象过定点.
故选：D.
4．【正确答案】A
【分析】分析可得，利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，则，，
，故.
故选：A.
5．【正确答案】C
【分析】通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积.
【详解】
可得：扇形面积，
三角形面积，
可得弓形面积，
故选：C
6．【正确答案】A
【分析】由可得出，分析可知，分、两种情况讨论，求出的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】因为，当时，，
又因为函数在区间上的最大值为，
则，
若，则，此时，有，A合乎条件；
若，则，又因为，则，即.
BCD均不合乎题意.
故选：A.
7．【正确答案】C
【分析】由题意可得出，利用对数恒等式与指数运算性质可求得结果.
【详解】由题意可知，，
则.
所以，当放电电流时，放电时间为.
故选：C.
8．【正确答案】D
【分析】画出函数图象，数形结合得到，，，变形后得到，求出值域.
【详解】画出的图象如下：
由题意得，，
令得，或4，故，
其中，
故，
，所以.
故选：D
方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
9．【正确答案】AC
【分析】根据正切函数的周期性、定义域、值域以及单调性，结合复合函数的性质，即可判断和选择.
【详解】对A：的最小正周期为，又，
故的最小正周期为，A正确；
对B：若使得函数有意义，则，即，
解得，故B错误；
对C：，故可得，即的值域为，故C正确；
对D：不妨取，显然，但，
故在定义域上不是单调增函数，D错误.
故选：AC.
10．【正确答案】AB
【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，且，
对于A选项，，，A对；
对于B选项，，则，B对；
对于C选项，因为，所以，，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，因为，所以，C错.
对于D选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，即有最小值，
又因为，所以，D错；
故选：AB.
11．【正确答案】ABD
【分析】首先化简函数，再根据函数的图象求函数的解析式，结合三角函数的性质，即可判断A，B；利用图象平移求函数的解析式，再结合函数的性质，即可判断C，D.
【详解】函数，当，
此时，，
因为，所以，所以，故A正确；
，所以关于点对称，故B正确；
函数图象向左平移个单位长度后得到，
，当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
，当时，，
所以函数在上单调递减，故D正确.
故选：ABD
12．【正确答案】BCD
【分析】依题意，依次判断是否有非零解，即可求解.
【详解】解：对于A项，，故A项错误；
对于B项，由，得，则为“函数”，故B项正确；
对于C项，由，得，
得，显然有非零解，则为“函数”，故C项正确；
对于D项，当时，则，
由，得，
得，得，因为，则，则为“函数”，故D项正确；
故选：BCD
13．【正确答案】/
【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式可求得的值.
【详解】因为角的终边上一点的坐标为，则，
将角的终边按逆时针旋转得到角，则，
故.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】根据题意，转化为在恒成立，分离参数求解即可.
【详解】因为函数对任意都有意义，
所以在恒成立，
即在恒成立，因为在上单调递增，所以，
所以，
故答案为.
15．【正确答案】
【分析】待定系数法求出解析式，得到其定义域和单调性，从而得到不等式，求出答案.
【详解】设，则，解得，
故，定义域为，且在定义域上单调递减，
故，解得.
故
16．【正确答案】 12
【分析】根据代入分段函数求值，画出简图，结合图象分析即可.
【详解】因为，所以，
因为，，所以.
图象如图：
，，，
时，，
时，，或，
时，，
所以时，恒成立，
整数t的最小值为12.
故；12.
17．【正确答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三角函数定义得到，结合同角三角函数关系得到；
（2）利用诱导公式得到，结合三角函数定义和同角三角函数关系求出答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为为第三象限角，所以，，
又，
解得，．
（2）由，
所以，即，
所以
18．【正确答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据题干结合同角三角函数基本关系求解即可；
（2）结合诱导公式化简，进而结合同角三角函数基本关系化简求解即可.
【详解】（1）由
解得：或
由得或
（2）因为，所以．
所以
19．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，再结合进行检验，即可得出实数的值；
（2）求出集合、，根据题意可得出，可得出关于实数的不等式组，可求得实数的取值范围，结合检验即可得解.
【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，
即，解得或.
当时，，则在上为增函数，则，合乎题意，
当时，，则在上为减函数，则，不合乎题意.
综上所述，.
（2）解：由（1）得，
当时，，即，
当时，，即，
由是成立的必要不充分条件，则，显然，
则，解得，
验证当时，，当时，，
所以实数的取值范围为．
20．【正确答案】(1)
(2)，的最大值是5
【分析】（1）将转化为关于的二次函数，经配方得到对称轴，根据求得的范围，结合二次函数图象的单调性性质分段讨论得到的最小值为的解析式；
（2）根据（1）中的分段函数满足时的情况分别讨论得到值，最后结合不含参数的解析式，结合的有界性即得.
【详解】（1）
,
因为，所以
① 当，即时，则当时，取最小值，
的最小值为；
②当，即时，则当时，取最小值，
的最小值为；
③当，即时，则当时，取最小值,
的最小值为.
故.
（2）当时，由解得：，不合题意，舍去；
当时，由，解得：或（舍去），故；
当时，由解得：，不合题意，舍去.
综上可知：，此时，则当时，得．
所以若，则有，此时的最大值是5.
21．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，年化学需氧量排放总量为，求出以及，即可得出的函数解析式；
（2）利用对数指数函数的单调性结合对数运算解不等式，即可得出结论.
【详解】（1）解：设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，
年化学需氧量排放总量为，所以，则，
又，即，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，，
即，
所以，到年，将该地区的化学需氧量排放总量最大值控制在万吨以内.
22．【正确答案】(1)0或1
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得，解方程即可求解.
（2）在上有解，令，可得在上有解，分离参数即可求解.
（3）将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，，可得恒成立，分离参数求解即可.
【详解】（1）若，由可得，，
令，则，解或，
所以或，故的不动点为0或1
（2）由可得，在上有解，
令，由可得，则在上有解，
故，
当时，在上单调递增，
所以，，
解得，故a的取值范围．
（3）由，
则，
又在上单调递增，则，，
则，即
令，，则，从而，
则，又，在上均为增函数，则，
所以，即．
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．