2024-2025学年山东省高三上学期12月月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省高三上学期12月月考数学质量检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．1D．
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．设是空间中的一个平面，是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
6．已知，，，则( )
A．B．C．D．
7．若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
8．若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若.则
D．若，则
10．函数的图象，如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．函数是奇函数
C．的图象关于点对称
D．若在上有且仅有三个零点，则
11．在正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A．平面B．
C．直线与直线所成角为D．平面经过棱的三等分点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知等比数列的前项和为，若，则 ．
13．已知正数满足，则的最小值为 .
14．一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知在中，角的对边分别为，且．
(1)求角；
(2)若为边上一点，且，求的值．
16．已知函数.
(1)证明：函数的图像关于点对称；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17．如图，在四棱锥中，且，底面是边长为的菱形，
(1)平面平面
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值
18．已知函数．（其中e是自然对数的底，）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若恒成立，求整数的最大值．
19．已知无穷数列，构造新数列满足满足满足，若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，若为常数数列，则称为阶等比数列.
(1)已知为二阶等差数列，且，求的通项公式：
(2)若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列.证明：为三阶等比数列：
(3)已知，令的前项和为.证明.
答案
1．【正确答案】D
【详解】由可得：，
所以，
所以.
故选：D.
2．【正确答案】B
【详解】因为，所以，
所以.
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】根据两向量垂直，
可得，解得或；
可推出或,充分性成立，
而或推不出，必要性不成立，
即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．【正确答案】C
【详解】依题意，设等差数列的公差为，
由，得，
又，则，解得，
则.
故选：C.
5．【正确答案】D
【详解】对于A，由，，只有直线与相交时，可得，故A错误；
对于B，由，知或，故B错误；
对于C，由，则，故C错误；
对于D，由，可得，又因为，所以，故D正确．
故选：D.
6．【正确答案】D
【详解】因为，，，
，故，
且，故，
所以．
故选：D.
7．【正确答案】C
【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在上，
由题设，球体半径，则，
所以，，，
中边上的高为，故正四棱锥的侧面积为.
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】当时，，
，
所以在区间上单调递增，
当时，，，
由题意知，在上恒成立，
即在上恒成立，
又因为，
当且仅当，即时取等号，所以，
又因为，所以，
所以实数的取值范围是.
故选：B.
9．【正确答案】BC
【详解】A选项，时，，A选项错误；
B选项，设，根据幂函数的性质可知其在R上单调递增，
，B选项正确；
C选项，若，则，则，
而，根据不等式的性质，，从而，C选项正确；
D选项，满足，但无意义，D选项错误.
故选：BC
10．【正确答案】BCD
【详解】依题意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期为，A错误；
是奇函数，B正确；
，
，故是的对称中心，
故关于对称，C正确；
，，当时，，
依题意，中恰好包含，于是，
解得，D正确.
故选：BCD
11．【正确答案】ABD
【详解】在正方体中，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则，
对于A，，
设平面的一个法向量，
因为平面，
所以平面，A正确；
对于B，因为，
所以，B正确；
对于C，设直线与直线所成角为，
则，又，
所以，C错误；
对于D，在棱上取一点，如下图所示：
则，
设平面的法向量，平面的法向量，
则，解得平面的一个法向量，
又，解得平面的一个法向量，
因为平面平面，所以当时，共面，
此时，即解得，
所以平面经过棱的三等分点，可得D正确．
故选：ABD．
12．【正确答案】
【详解】设等比数列的公比为，显然．
由题意，得，即，所以．
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由，得，
所以，
因为，，所以，
所以，即，
所以，
当且仅当，且，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为.
14．【正确答案】−2
【详解】设函数，，则，；
在点处的切线方程为：，即
在点处的切线方程为：即.
由已知：可得：，化简得：；
代入所求式子.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
即，
所以，即，
因为，所以，所以，即．
（2）不妨设，则，
因为，所以为等边三角形，
则，
由余弦定理得，
所以，解得或（舍去），
所以．
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
所以函数的图像关于点对称.
（2）当时，，
由已知，不等式恒成立，
因为，所以，
以上不等式可化为：，
所以，
整理可得：，
设，因为，所以，
上式可转化为，
因为，因为，
所以，所以，
所以实数的取值范围为.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接交于点,连接,
由于，是的中点，故,
又,平面，
故平面，平面，
故平面平面
（2）过作于点，
由于平面平面，且两平面的交线为,
平面，故平面，
因此为直线与平面所成角的平面角，故,
平面，平面，故，
又平面，
故平面，平面，故，
结合可知为的垂心，
由于底面是边长为的菱形，，故为等边三角形，
因此为的重心，
,
以建立轴，过平面的垂线作为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于，则,故，
则
设,故，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，取，则，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设二面角的平面角为，
则
，
令则,，
由于，
故，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为，因此的最小值为，
18．【正确答案】(1)答案见解析
(2)最大值为1
【详解】（1）函数定义域为0,+∞，．
当时，在0,+∞上是增函数；
当时，由f'x>0，解得，
由f'x