2024-2025学年山东省菏泽市高一上学期期末数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市高一上学期期末数学质量检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．B．C．D．
2．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变
3．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．集合，，，则集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“”成立的.
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知，都是锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．C．D．
10．已知为第一象限角，，则下列各式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
11．已知指数函数，，（，且，），且，.则下列结论正确的有（ ）
A．，
B．若，则一定有
C．若，则
D．若，，则的最大值为
12．已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（ ）
A．B．是偶函数
C．是奇函数D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
14．已知，当时，取得最大值，则 .
15．已知，则 .
16．若、、、均为正实数，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6小题）
17．求下列各式的值：
(1)；
(2).
18．已知，且，求下列各式的值：
(1)；
(2).
19．已知
(1)写出函数的单调区间；
(2)当函数有两个零点时，求的取值范围；
(3)求的解析式.
20．如图，任意角的终边与以为圆心2为半径的圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为（规定当点落在坐标轴上时，）.
(1)求的解析式；
(2)求取最大值时的值；
(3)求的单调递减区间.
21．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值；
(3)若在区间上恰有两个零点、，求.
22．已知.
(1)当时，时，求的取值范围；
(2)对任意，且，有，求的取值范围；
(3)，的最小值为，求的最大值.
答案
1．【正确答案】C
【分析】利用诱导公式化简可得出所求代数式的值.
【详解】.
故选：C.
2．【正确答案】B
【分析】直接利用三角函数伸缩变换法则得到答案.
【详解】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变.
故选：B
3．【正确答案】D
【分析】由基本不等式以及作差法即可求解.
【详解】由题意，则，即，由基本不等式得，
又，即，
所以.
故选：D.
4．【正确答案】B
【分析】解不等式，得出整数的取值，即可得解.
【详解】解不等式，可得，
所以，整数的取值有、、，
又因为集合，，
则，即集合中的元素个数为.
故选：B.
5．【正确答案】C
【分析】由集合的子集的定义和充要条件的定义推导即可.
【详解】解：，则；反之，若，也有，所以“”是“”成立的充要条件.
故答案为C.
本题考查简易逻辑中充要条件的证明，对基础知识扎实的掌握是解题的关键，属于基础题.
6．【正确答案】B
【分析】利用同角三角函数关系得到和，再利用凑角法，正弦和角公式求出答案.
【详解】因为，都是锐角，所以，
故，
又，所以，
所以
.
故选：B
7．【正确答案】A
【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，由对称性得出，，结合函数在上的单调性可得出结论.
【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称，
当时，，则函数在上单调递增，
因为，，
且，则，即，
故选：A.
8．【正确答案】D
【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值.
【详解】由已知可得，解得，
所以，，
故.
故选：D.
9．【正确答案】ABD
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，，
对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对；
对于B选项，，，由不等式的基本性质可得，B对；
对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错；
对于D选项，由不等式的基本性质可得，，即，D对.
故选：ABD.
10．【正确答案】AC
【分析】利用已知和求出、，逐项判断可得答案.
【详解】由得，
代入得，
解得或，
因为为第一象限角，所以，，
所以，，
，.
故选：AC.
11．【正确答案】AC
【分析】利用已知条件求出、的值，可判断A选项；利用对数式与指数式的互化可判断B选项；由指数式与对数式的互化、换底公式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为指数函数，，（，且，），
则，可得，由可得，则，
所以，，，A对；
对于B选项，由，可得，可得出，即，
当时，则，此时，，
当时，则，则，则.B错；
对于C选项，由，可得，
设，则，所以，，，，
所以，，C对；
对于D选项，，
因为，令，令，其中，
则函数在上为减函数，在上为增函数，
当时，；当时，，
所以，的最大值为，D错.
故选：AC.
12．【正确答案】ABD
【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判断A选项；推导出为偶函数，且，可判断B选项；由结合函数的奇偶性可判断C选项；利用函数的周期性可判断D选项.
【详解】对于A选项，令可得，
因为，则，
令，，可得，则，A对；
对于B选项，令可得，
所以，，故函数为偶函数，
令可得，
即，故，
因为函数为偶函数，则函数为偶函数，B对；
对于C选项，因为，
因为函数为偶函数，则函数也为偶函数，C错；
对于D选项，由B选项可知，函数是周期为的周期函数，
因为，，
所以，，D对.
故选：ABD.
思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下：
（1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；
（2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系；
（3）下结论.
13．【正确答案】
【分析】由已知可得对任意的，，可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，对任意的，，则，解得.
所以，实数的取值范围是.
故答案为.
14．【正确答案】/
【分析】利用辅助角公式可得出，其中，，为锐角，根据题意确定与的关系，结合诱导公式可求得的值.
【详解】令，，其中为锐角，
则
，
因为当时，取得最大值，则，
所以，，
所以，，
，故.
故答案为.
15．【正确答案】/
【分析】由对数式与指数式的互化可得出，再利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则，
所以，
.
故答案为.
16．【正确答案】
【分析】从最后两项开始，逐次使用基本不等式，可求得所求代数式的最小值.
【详解】原式
，
当且仅当时，
即当时，等号成立，
故的最小值为，
故答案为.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
17．【正确答案】(1)7
(2)
【分析】（1）直接由分数指数幂的运算性质求解即可.
（2）直接由对数运算性质求解即可.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再利用诱导公式即可求出结果；
（2）利用，再利用正弦的和差公式及，即可得出结果.
【详解】（1），且，则为第四象限角，
所以，
所以.
（2）因为原式
.
19．【正确答案】(1)单调递增区间为，；
(2)
(3)
【分析】（1）根据的解析式及指对数函数性质可得答案；
（2）时有一解求出的范围；时有一解求出的范围可得答案；
（3）根据定义域求出即可.
【详解】（1）函数的单调递增区间为，；
（2）当函数有两个零点时，即有两根.
由在区间，递增，
所以，（）有一解，即；
，（）有一解，即；
综上，所以当函数有两个零点时；
（3）时，，又，
所以，即.
20．【正确答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】（1）利用三角形面积和二倍角公式得到；
（2）利用整体法求出当时，最大，并求出相应的值；
（3）画出的图象，求出单调递减区间.
【详解】（1）由三角函数的定义知，，
所以；
（2）由知，当时，最大，
此时，，即，，
∴最大时，，.
（3）画出的图象如下，的周期，
当时，在上为增函数，在上为减函数.
∴的单调递减区间为，.
21．【正确答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期，可求出的值，再由结合的取值范围可求得的值，即可得出函数的解析式；
（2）由求出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值；
（3）求出函数图象在内的对称轴方程，可得出，得，，利用诱导公式可求得的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值.
【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期满足，则，，
所以，，则，可得，
因为，则，所以，，解得，
因此，.
（2）因为，则，所以，，即，
所以的最大值为，最小值为.
（3）因为，当时，，
令，所以，
因为在区间上恰有两个零点、，
函数图象在区间内的对称轴为直线，
由正弦型函数的对称性可知，点、关于直线对称，则，
所以，
由得，，
所以，
所以.
22．【正确答案】(1)或
(2)
(3)1
【分析】（1）将看成整体，解一个一元二次不等式即得；
（2）利用参变分离法将不等式恒成立问题转化为求对应函数的最小值问题求解；
（3）将绝对值分类讨论得到分段函数，分别就参数的范围进行讨论，得到，求其最大值即得.
【详解】（1）由，可得，
解得或，
所以或；
（2）由，时恒成立则，令.
则当时，由可得：，即得：（时取等号），
当时，，可得：即得.（时取等号）
故，因在上递减，在上递增，
而时；时，，即，
故.
（3）由（）.
可得：，
①当时，在单调递增，所以此时无最值；
②当时，由，.
所以在上单调递增，上单调递减,此时，.
③当时.，，.
所以在上单调递减，在上单调递增，此时，，
综上，，因时，，
故最大值为1.
关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题和含参的分段函数的最小值问题.
解决关键在于对恒成立问题常通过参变分离法，将其转化成求对应函数的最值问题，对于含参的分段函数的最值问题，常常需要就参数进行分类讨论解决.