2024-2025学年山东省济南市高三上学期12月诊断数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省济南市高三上学期12月诊断数学检测试卷（附解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）复数52+i的共轭复数是（ ）
A．2﹣iB．﹣2﹣iC．﹣2+iD．2+i
2．（5分）已知A={−1，12}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值构成的集合是（ ）
A．{﹣1，2}B．{﹣2，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣1，0，2}
3．（5分）已知数列{an}为等差数列，a2，a7为函数f(x)=12x2+lnx−3x+1的两个极值点，则a4+a5＝（ ）
A．1B．3C．5D．3+52
4．（5分）已知点O为△ABC外接圆的圆心，AB→+AC→=2AO→且|AB→|=|AC→|，则向量BA→在向量BC→上的投影向量为（ ）
A．BC→B．BO→C．CB→D．OB→
5．（5分）已知α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，则m⊥β的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．m与β内所有的直线都垂直
B．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
C．m与β内无数条直线垂直
D．l⊥α，l⊥β，m⊥α
6．（5分）把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象关于点(π4，0)中心对称，则函数y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A．f(x)=sin(x2−7π12)B．f(x)=sin(x2+π12)
C．f(x)=sin(2x−7π12)D．f(x)=sin(2x+π12)
7．（5分）已知函数f(x)=2x，0≤x＜32f(x−3)，x≥3，则f（lg22024）＝（ ）
A．2538B．2534C．2532D．253
8．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是R，其导函数f'（x）满足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（ ）
A．1022B．1024C．2046D．2048
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b＞0，c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．a3＞b3B．ac2＞bc2
C．ab+ba＞2D．a﹣sina＜b﹣sinb
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sin（sinx）﹣cs（csx），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．f（x）关于直线x=π2对称
D．当x∈（0，π）时，﹣1＜f（x）＜0
（多选）11．（6分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直且OA＝OB＝OC＝1，M，N分别为线段OB，AC上异于端点的动点，满足OMOB=λ，ANAC=μ，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥O﹣ABC的外接球的表面积是3π
B．当λ＝μ时，线段MN的最小值是22
C．当λμ＝1时，三棱锥O﹣AMN的体积是定值
D．若空间中的点P满足PA⊥PO且PB⊥PC，则满足条件的点P所形成的轨迹长度为63π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知sin(α+π2)=12，则cs2α＝ ．
13．（5分）已知圆锥的表面积为π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 ．
14．（5分）已知△ABC外接圆的半径为2，S是△ABC的面积，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，若不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，则λ的最大值为 ；点P为△ABC外接圆上的任意一点，当λ取得最大值时，PA→⋅PB→的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列{an}为正项数列，且a1＝1，an+12−an2=2n+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝（﹣1）nan+3an，求数列{bn}的前2n项和S2n．
16．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsC+3bsinCa+c=1．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且有c＝1，求△ABC面积的取值范围．
17．（15分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长是1，点E，F，G分别在侧棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F，G四点共面．设直线AE、AG与平面ABCD所成的角分别为α、β．
（1）设平面AEFG与平面ABCD相交于直线l，求证：当BD∥l时，α＝β；
（2）当α+β=π2时，求平面AEFG与平面ABCD所成角的余弦值的最大值．
18．（17分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（ex﹣ax），a∈R．
（1）求函数y＝f（x）的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数y＝f（x）的一条以上述一个定点为切点的切线；
（2）讨论函数y＝f（x）的单调性；
（3）当a＝0时，证明：f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．
19．（17分）一般地，对于无穷数列{an}：a0，a1，a2，…an，…，我们称幂级数f（x）=n=0∞ anxn即f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn+…为无穷数列{an}的母函数．
例如：数列1，3，5，…，2n+1，…的母函数为f（x）＝1+3x+5x2+…+（2n+1）xn+…
附公式：1(1−x)k=n=0∞ Cn+k−1k−1xn=1+Ckk−1x+Ck+1k−1x2+⋯+Cn+k−1k−1xn+⋯，其中|x|＜1．
（1）已知数列{an}，a0＝0，an＝2an﹣1+1（n≥1），求无穷数列{an}的母函数f（x）；
（2）已知无穷数列{an}的母函数为g（x），记Sn＝a0+a1+a2+…+an，请用g（x）表示数列S0，S1，S2，…，Sn，…的母函数G（x）；
（3）已知数列{an}，an＝（n+2）（n+1）2n（n≥0），记Sn＝a0+a1+a2+…+an，求Sn．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）复数52+i的共轭复数是（ ）
A．2﹣iB．﹣2﹣iC．﹣2+iD．2+i
【分析】无求出复数52+i，由此能求出复数52+i的共轭复数．
解：复数52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=2﹣i．
∴复数52+i的共轭复数是2+i．
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模、复数相等的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
2．（5分）已知A={−1，12}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，则实数a的取值构成的集合是（ ）
A．{﹣1，2}B．{﹣2，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣1，0，2}
【分析】由A∩B＝B可得B⊆A，分a＝0和a≠0两种情况讨论，分别求出a的值即可．
解：由A∩B＝B可得B⊆A，
当a＝0时，B＝∅，符合题意，
当a≠0时，B＝{−1a}，
所以−1a=−1或−1a=12，
解得a＝1或a＝﹣2，
综上所述，实数a的取值构成的集合是{0，1，﹣2}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
3．（5分）已知数列{an}为等差数列，a2，a7为函数f(x)=12x2+lnx−3x+1的两个极值点，则a4+a5＝（ ）
A．1B．3C．5D．3+52
【分析】由题意可得a2，a7为导函数方程x2﹣3x+1＝0的两根，由韦达定理可得a2+a7，由等差数列的性质可得a4+a5即可．
解：∵a2，a7是函数f（x）=12x2+lnx﹣3x+1的极值点，∴a2，a7是导函数方程f′（x）＝0的两根，
对函数求导数可得f′（x）＝x+1x−3=x2−3x+1x，
∴a2，a7为方程x2﹣3x+1＝0的两根，
由韦达定理可得a2+a7＝3，
由等差数列的性质可得a4+a5＝a2+a7＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值，等差数列的性质，是中档题．
4．（5分）已知点O为△ABC外接圆的圆心，AB→+AC→=2AO→且|AB→|=|AC→|，则向量BA→在向量BC→上的投影向量为（ ）
A．BC→B．BO→C．CB→D．OB→
【分析】由题意知，△ABC是等腰直角三角形，且BC为外接圆的直径，由此得出向量BA→在向量BC→上的投影向量．
解：O为△ABC外接圆的圆心，AB→+AC→=2AO→，且|AB→|＝|AC→|，
所以△ABC是等腰直角三角形，且BC为外接圆的直径，
所以向量BA→在向量BC→上的投影向量为BO→．
故选：B．
【点评】本题考查了投影向量的定义与应用问题，是基础题．
5．（5分）已知α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，则m⊥β的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．m与β内所有的直线都垂直
B．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
C．m与β内无数条直线垂直
D．l⊥α，l⊥β，m⊥α
【分析】根据空间中各要素的位置关系及充分与必要条件的概念，即可求解．
解：∵m与β内所有的直线都垂直的充要条件为m⊥β，∴A选项错误；
∵α⊥β，α∩β＝l，m⊥l不能得到m⊥β，∴B选项错误；
∵m与β内无数条直线垂直不能得到m⊥β，∴C选项错误；
∵l⊥α，l⊥β，可得α∥β，又m⊥α，∴m⊥β，
但反过来m⊥β，不一定能得到l⊥α，l⊥β，m⊥α，∴D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查空间中各要素的位置关系，充分与必要条件的概念，属基础题．
6．（5分）把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，且y＝g（x）的图象关于点(π4，0)中心对称，则函数y＝f（x）的解析式可能是（ ）
A．f(x)=sin(x2−7π12)B．f(x)=sin(x2+π12)
C．f(x)=sin(2x−7π12)D．f(x)=sin(2x+π12)
【分析】直接利用函数图象的伸缩变换和平移变换求出结果．
解：对于选项A：假设函数为f（x）＝sin（x2−7π12）时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（14x−7π12），再把所得曲线向左平移π3个单位长度，
得到函数y＝g（x）＝sin（14x−π2）的图象，当x=π4时，g（π4）≠0，故A错误；
对于选项B：假设函数为f(x)=sin(x2+π12)时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（x4+π12），再把所得曲线向左平移π3个单位长度，
得到函数y＝g（x）＝sin（14x+π6）的图象，当x=π4时，g（π4）≠0，故B错误；
对于选项C：假设函数为f（x）＝sin（2x−7π12）时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（x−7π12），再把所得曲线向左平移π3个单位长度，
得到函数y＝g（x）＝sin（x−π4）的图象，当x=π4时，g（π4）＝0，故C正确；
对于选项D：假设函数为f（x）＝sin（2x+π12）时，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin（x+π12），再把所得曲线向左平移π3个单位长度，
得到函数y＝g（x）＝sin（x+5π12）的图象，当x=π4时，g（π4）≠0，故D错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7．（5分）已知函数f(x)=2x，0≤x＜32f(x−3)，x≥3，则f（lg22024）＝（ ）
A．2538B．2534C．2532D．253
【分析】将x的值代入函数解析式，即可求解．
解：10＝lg21024＜lg22024＜lg＝11，
f（lg22024）＝23f（lg22024﹣9）=8×2lg22024−9=2538．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
8．（5分）已知函数y＝f（x）的定义域是R，其导函数f'（x）满足f'（x）＝f'（x+1），且有f（0）＝0，f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（22）+…+f（29）＝（ ）
A．1022B．1024C．2046D．2048
【分析】根据已知条件，设出函数，代点求出函数解析式，再结合等比数列的前n项和公式，即可求解．
解：导函数f'（x）满足f'（x）＝f'（x+1），
设f（x）＝ax+b，
f（0）＝0，f（1）＝2，
则b=0a+b=2，解得a＝2，b＝0，
故f（x）＝2x，
f（1）+f（2）+f（22）+...+f（29）＝2+22+23+...+210=2×(1−210)1−2=2046．
故选：C．
【点评】本题主要考查基本初等函数的导数，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞b＞0，c为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．a3＞b3B．ac2＞bc2
C．ab+ba＞2D．a﹣sina＜b﹣sinb
【分析】对A，由不等式的性质可得；对B，取c＝0即可得；对C，由基本不等式可得；对D，设f（x）＝x﹣sinx，根据函数的单调性可得．
解：对于A，因为a＞b＞0，所以a3＞b3，故A正确；
对于B，若c＝0，所以ac2＝bc2，故B错误；
对于C，因为a＞b＞0，所以ab+ba＞2ab⋅ba=2，故C正确；
对于D，设f（x）＝x﹣sinx，f′（x）＝1﹣csx≥0，
所以函数f（x）在R上单调递增，又a＞b＞0，
所以a﹣sina＞b﹣sinb，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查不等关系和不等式，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝sin（sinx）﹣cs（csx），则下列说法正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）是周期函数
C．f（x）关于直线x=π2对称
D．当x∈（0，π）时，﹣1＜f（x）＜0
【分析】由f(π2)≠f(−π2)，可判断选项A；由f（x+2π）＝f（x）可判断选项B；由f（π﹣x）＝f（x）可判断选项C；对于选项D，只需判断当x∈(0，π2]时，﹣1＜f（x）＜0是否成立即可．
解：f(π2)=sin(sinπ2)−cs(csπ2)=sin1−cs0=sin1−1，
f(−π2)=sin(sin(−π2）−cs(cs(−π2）=sin(−1)−cs0=−sin1−1，
则f(π2)≠f(−π2)，
所以f（x）不是偶函数，故选项A错误；
f（x+2π）＝sin（sin（x+2π））﹣cs（cs（x+2π））＝sin（sinx）﹣cs（csx）＝f（x），
所以f（x）是以2π为周期的周期函数，故选项B正确；
f（π﹣x）＝sin（sin（π﹣x））﹣cs（cs（π﹣x））＝sin（sinx）﹣cs（cs（﹣x））＝f（x），
所以f（x）关于直线x=π2对称，故选项C正确：
对于选项D，由f（x）关于直线x=π2对称，只需看当x∈(0，π2]时，﹣1＜f（x）＜0是否成立即可．
当x∈(0，π2]时，0＜sinx≤1，0≤csx＜1，0＜sin（sinx）≤sinl，csl＜cs（csx）≤1，
所以sin（sinx）﹣cs（csx）＞﹣1，
又因为sinx+csx=2sin(x+π4)≤2＜π2，
所以0＜sinx＜π2−csx＜π2，
所以sin(sinx)＜sin(π2−csx)=cs(csx)，
所以﹣1＜f（x）＜0，故选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OC两两垂直且OA＝OB＝OC＝1，M，N分别为线段OB，AC上异于端点的动点，满足OMOB=λ，ANAC=μ，下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥O﹣ABC的外接球的表面积是3π
B．当λ＝μ时，线段MN的最小值是22
C．当λμ＝1时，三棱锥O﹣AMN的体积是定值
D．若空间中的点P满足PA⊥PO且PB⊥PC，则满足条件的点P所形成的轨迹长度为63π
【分析】A选项：根据三棱锥O﹣ABC的外接球是棱长为1的正方体的外接球，得到半径R=32，即可求解；
B选项：利用勾股定理求出MN，再利用二次函数求最值即可：
C选项：利用等体积转换法求解即可；
D选项：先确定点P的轨迹是分别以OA，BC为直径的球相交所得的圆，再求解即可．
解：A选项，三棱锥O﹣ABC的外接球是棱长为1的正方体的外接球，其半径R=32，
所以表面积为4πR2=4π×(32)2=4π×34=3π，所以A选项正确；
B选项，在三棱锥O﹣ABC中，由OA，OB，OC两两垂直可得OA⊥底面OBC，
如图所示，在线段OC上取一点D，使得ODOC=ANAC=μ，即得DN∥OA且DN＝1﹣μ，
再由OA⊥底面OBC，
可得ND⊥底面OBC，而MD⊂平面OBC，
故ND⊥DM，又因为OMOB=λ=μ，
所以DM∥BC且DM=2λ=2μ，
所以可得MN=DM2+DN2=2μ2+(1−μ)2=3μ2−2μ+1=3(μ−13)2+23≥63，所以B选项错误；
C选项，因为λ•μ＝1，所以ODOC=ANAC=μ=1λ，即OD=1λ，
又因为OMOB=λ，所以OM＝λOB＝λ，
再由DN∥OA可得，点N到平面OAM的距离等于点D到平面OAM的距离，
故有VO﹣AMN＝VN﹣OAM＝VD﹣OAM＝VA﹣ODM，
因为OA⊥底面OBC，所以OA即为三棱锥A﹣ODM的高，
从而VO−AMN=VA−ODM=13×S△ODM×OA=13×12×λ×1λ×1=16，是定值，所以C选项正确；
D选项，满足PA⊥PO且PB⊥PC的点P的轨迹是分别以OA，BC为直径的球相交所得的圆，
如图下左所示，其轴截面如下右图所示，
该圆的直径为线段HG，OA的中点E是OA为直径的球的球心，BC中点F是BC为直径的球的球心，
可得EG=12，FG=22，EF=32，从而GI=12×2232=66，
点P所形成的轨迹长度为2π×66=63π，所以D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查立体几何综合问题，属于难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知sin(α+π2)=12，则cs2α＝ −12 ．
【分析】根据二倍角公式即可得．
解：sin(α+π2)=12，csα=12，
则cs2α＝2cs2α﹣1=12−1=−12．
故−12．
【点评】本题考查二倍角公式，属于基础题．
13．（5分）已知圆锥的表面积为π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为 π9 ．
【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由题意列式求解r，进一步求出圆锥的高，代入体积公式得答案．
解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
由题意，πrl+πr2＝π，2πr＝πl，
则r=33，l=233，
∴ℎ=l2−r2=1．
∴圆锥的体积为V=13π×(33)2×1=π9．
故π9．
【点评】本题考查圆锥体积与侧面积的求法，是基础题．
14．（5分）已知△ABC外接圆的半径为2，S是△ABC的面积，a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，若不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，则λ的最大值为 43 ；点P为△ABC外接圆上的任意一点，当λ取得最大值时，PA→⋅PB→的取值范围是 [﹣2，6] ．
【分析】根据余弦定理与三角形的面积公式化简不等式a2+b2+c2≥λS，得到a2+b22ab≥λ8sinC+12csC，结合基本不等式可得a2+b22ab≥1，所以λ8sinC+12csC≤1恒成立，从而可得λ264+14≤1，由此解得−43≤λ≤43，可得λ的最大值，然后证出当λ取得最大值时，△ABC为正三角形，根据外接圆的半径为2，利用正弦定理求出正△ABC的边长，接下来作出△ABC的外接圆，利用平面向量数量积的运算性质化简PA→⋅PB→，利用圆的性质求出PA→⋅PB→的最大值与最小值，即可得到PA→⋅PB→的取值范围．
解：根据余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcsC，
所以不等式a2+b2+c2≥λS可化为2a2+2b2﹣2abcsC≥λ2absinC，
即2a2+2b2≥λ2absinC+2abcsC，整理得a2+b22ab≥λ8sinC+12csC，
因为a、b为正数，a2+b2≥2ab，所以a2+b22ab≥1，当且仅当a＝b时，取等号．
若要使不等式a2+b2+c2≥λS恒成立，则λ8sinC+12csC≤1恒成立，
所以λ264+14≤1，解得λ2≤48，即−43≤λ≤43，可得λ的最大值为43．
当λ=43时，λ8sinC+12csC=32sinC+12csC＝sin（C+π6）＝1，
而C∈（0，π），可知C=π3，结合a＝b，可得△ABC是正三角形．
因为△ABC外接圆的半径R＝2，所以正△ABC的边长等于2Rsinπ3=23．
作出△ABC的外接圆O，设过C点的直径为CE，AB交CE于点D，则D为AB的中点，连接PD，
则PA→⋅PB→=（PD→+DA→）•（PD→+DB→）＝|PD→|2﹣|DA→|2＝|PD→|2−14|AB→|2=|PD→|2﹣3，
点P在圆O上运动，当点P与C重合时，|PD→|＝|CD→|=32|AB|＝3，达到最大值，
当点P与E重合时，|PD→|＝2R﹣|CD→|＝4﹣3＝1，达到最小值．
所以|PD→|∈[1，3]，可得|PD→|2﹣3∈[﹣2，6]，即PA→⋅PB→的取值范围是[﹣2，6]．
故43；[﹣2，6]．
【点评】本题考查了解三角形及其应用、基本不等式、三角恒等变换公式、平面向量数量积的定义与运算性质等知识，考查了计算能力、数形结合的数学思想，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列{an}为正项数列，且a1＝1，an+12−an2=2n+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝（﹣1）nan+3an，求数列{bn}的前2n项和S2n．
【分析】（1）利用累加法求解；
（2）利用分组求和法和并项求和法求解．
解：（1）因为an+12−an2=2n+1，且a1＝1，
所以an2=a12+（a22−a12）+（a32−a22）+…+（an2−an−12）＝1+2×1+1+2×2+1+…+2（n﹣1）+1＝1+2[1+2+…+（n﹣1）]+n﹣1＝1+2×(n−1)n2+n−1=n2，
又因为数列{an}为正项数列，
所以an＝n；
（2）由（1）可知an＝n，
所以bn＝（﹣1）nn+3n，
所以S2n＝（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）+3+32+33+…+32n＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+…+（﹣2n+1+2n）]+3×(1−32n)1−3=1×n+3(32n−1)2=n+32n+1−32．
【点评】本题主要考查了累加法求数列的通项公式，考查了分组求和法和并项求和法的应用，属于中档题．
16．（15分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcsC+3bsinCa+c=1．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且有c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【分析】（1）根据正弦定理化简所给等式，可得sinBcsC+3sinBsinC＝sinA+sinC，结合sinA＝sin（B+C）利用两角和的正弦公式化简，可得3sinB﹣csB＝1，进而可得sin（B−π6）=12，结合B∈（0，π）求出角B的大小；
（2）根据c＝1，利用正弦定理算出a=sinAsinC，结合sinA＝sin（2π3−C），利用三角恒等变换公式化简出a=32tanC+12，然后根据△ABC是锐角三角形，算出角C的取值范围，结合正切函数的性质求出a∈（12，2），再利用三角形的面积公式推导出△ABC的面积S=34a，即可得到△ABC面积的取值范围．
解：（1）由bcsC+3bsinCa+c=1，可得bcsC+3bsinC＝a+c，
根据正弦定理，得sinBcsC+3sinBsinC＝sinA+sinC，
因为△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC，
所以sinBcsC+3sinBsinC＝（sinBcsC+csBsinC）+sinC，
整理得sinC（3sinB﹣csB﹣1）＝0，
结合sinC≠0，可得3sinB﹣csB＝1，即2sin（B−π6）＝1，sin（B−π6）=12．
而B为三角形的内角，可知B−π6=π6，所以B=π3；
（2）△ABC中，c＝1，B=π3，由正弦定理asinA=csinC，
可得a=csinAsinC=sinAsinC=sin(2π3−C)sinC=32csC+12sinCsinC=32tanC+12．
因为△ABC是锐角三角形，
所以0＜C＜π2A=2π3−C∈(0，π2)，解得C∈（π6，π2），可得tanC＞tanπ6，即tanC＞33，
可得1tanC∈（0，3），a=32tanC+12∈（12，2）．
因此，△ABC的面积S=12acsinB=34a∈（38，32）．
【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦定理与三角形的面积公式、正切函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
17．（15分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长是1，点E，F，G分别在侧棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F，G四点共面．设直线AE、AG与平面ABCD所成的角分别为α、β．
（1）设平面AEFG与平面ABCD相交于直线l，求证：当BD∥l时，α＝β；
（2）当α+β=π2时，求平面AEFG与平面ABCD所成角的余弦值的最大值．
【分析】（1）先证明直线AE、AG与平面ABCD所成的角分别为∠EAB，∠GAD，结合BE＝DG，AB＝AD即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面AEFG的法向量，利用向量法结合基本不等式求解即可．
解：（1）证明：由BD∥l，BD⊄平面AEFG，l⊂平面AEFG可得，BD∥平面AEFG，
再由BD⊂平面BB1D1D，平面BB1D1D∩平面AEFG＝EG，
所以BD∥EG，
又因为BE∥DG，
所以四边形BDGE为平行四边形，所以BE＝DG，
在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1，DD1均垂直于平面ABCD，
所以直线AE、AG与平面ABCD所成的角分别为∠EAB，∠GAD，即α＝∠EAB，β＝∠GAD，
又因为BE＝DG，AB＝AD，所以tanα＝tanβ，从而α＝β；
（2）以A为坐标原点，分别以AB→，AD→，AA1→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则E（1，0，tanα），G（0，1，tanβ），
所以AE→=(1，0，tanα)，AG→=(0，1，tanβ)，
设平面AEFG的法向量n1→=(x，y，z)，
则有AE→⋅n1→=x+ztanα=0AG→⋅n1→=y+ztanβ=0，
令z＝﹣1，则有x＝tanα，y＝tanβ，
所以n1→=(tanα，tanβ，−1)，
易知平面ABCD的法向量为n2→=(0，0，1)，
所以csθ=|cs＜n1→，n2→＞|=1tan2α+tan2β+1=1tan2α+tan(π2−α)+1
=1tan2α+1tan2α+1≤12tan2α⋅1tan2α+1=33，
当且仅当tan2α=1tan2α，即α=π4时等号成立，
即平面AEFG与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为33．
【点评】本题考查线面角以及向量法的应用，属于难题．
18．（17分）已知函数f（x）＝（x﹣2）（ex﹣ax），a∈R．
（1）求函数y＝f（x）的图象经过的所有的定点坐标，并写出函数y＝f（x）的一条以上述一个定点为切点的切线；
（2）讨论函数y＝f（x）的单调性；
（3）当a＝0时，证明：f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．
【分析】（1）先确定f（x）的图象经过的所有定点的坐标为（2，0）和（0，﹣2），然后分别求切线即可；
（2）利用导数分情况求解即可；
（3）根据f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0⇔ex（xlnx+x2﹣x）+1≥0，令g（x）＝ex（xlnx+x2﹣x）+1，利用导数求解即可．
解：（1）显然y＝f（x）的图象经过（2，0），当x＝0时，y＝﹣2，
所以f（x）的图象经过的所有定点的坐标为（2，0）和（0，﹣2），
由题知f'（x）＝ex﹣ax+（x﹣2）（ex﹣a）＝（x﹣1）（ex﹣2a），
若以（2，0）为切点，f'（2）＝e2﹣2a，切线为y＝（e2﹣2a）（x﹣2）；
若以（0，﹣2）为切点，f'（0）＝2a﹣1，切线为y＝（2a﹣1）x﹣2；
（2）①当a≤0时，ex﹣2a＞0恒成立，
所以当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增；
②当a＞0时，由f'（x）＝0，得x1＝1或x2＝ln（2a），
当ln（2a）＝1，即a=e2时，f'（x）≥0恒成立，则f（x）在R上单调递增，
当ln（2a）＞1时，即a＞e2时，当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1）单调递增；
当1＜x＜ln（2a）时，f'（x）＜0，f（x）在（1，ln（2a））单调递减；
当x＞ln（2a）时，f'（x）＞0，f（x）在（ln（2a），+∞）单调递增；
当ln（2a）＜1时，即0＜a＜e2时，
当x＜ln（2a）时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，ln（2a））单调递增；
当ln（2a）＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）在（ln（2a），1）单调递减；
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增；
综上所述：当a≤0时，f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当0＜a＜e2时，f（x）在（﹣∞，ln（2a））单调递增，在（ln（2a），1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当a=e2时，f（x）在R上单调递增；
当a＞e2时，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，ln（2a））单调递减，在（ln（2a），+∞）单调递增．
（3）证明：当a＝0时，f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0⇔ex（xlnx+x2﹣x）+1≥0，
令g（x）＝ex（xlnx+x2﹣x）+1，
则g′（x）＝ex（xlnx+x2﹣x+lnx+1+2x﹣1）＝ex（x+1）（lnx+x），
令h（x）＝lnx+x，ℎ′(x)=1x+1，
则h（x）在（0，+∞）上单调递增，又因为h（1）＝1＞0，ℎ(1e)=−1+1e＜0，
所以存在t∈(1e，1)，使得h（t）＝lnt+t＝0，
即lnt＝﹣t，即et=1t，当x∈（0，t）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（t，+∞）时，h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
所以g（x）≥g（t）＝et（tlnt+t2﹣t）+1＝0，
所以ex（xlnx+x2﹣x）+1≥0，也即f（x+2）（lnx+x﹣1）+e2≥0．
【点评】本题考查导数的应用，属于难题．
19．（17分）一般地，对于无穷数列{an}：a0，a1，a2，…an，…，我们称幂级数f（x）=n=0∞ anxn即f（x）＝a0+a1x+a2x2+…+anxn+…为无穷数列{an}的母函数．
例如：数列1，3，5，…，2n+1，…的母函数为f（x）＝1+3x+5x2+…+（2n+1）xn+…
附公式：1(1−x)k=n=0∞ Cn+k−1k−1xn=1+Ckk−1x+Ck+1k−1x2+⋯+Cn+k−1k−1xn+⋯，其中|x|＜1．
（1）已知数列{an}，a0＝0，an＝2an﹣1+1（n≥1），求无穷数列{an}的母函数f（x）；
（2）已知无穷数列{an}的母函数为g（x），记Sn＝a0+a1+a2+…+an，请用g（x）表示数列S0，S1，S2，…，Sn，…的母函数G（x）；
（3）已知数列{an}，an＝（n+2）（n+1）2n（n≥0），记Sn＝a0+a1+a2+…+an，求Sn．
【分析】（1）根据递推式求出an，进而可得无穷数列{an}的母函数f（x）；
（2）利用错误相减法即可求解G（x）；
（3）令已知公式中的k＝3，可得数列{an}的母函数f（x），结合（2）中结论可得数列{Sn}的母函数G（x），进而可得Sn．
解：（1）由an＝2an﹣1+1（n≥1）可得an+1＝2（an﹣1+1），
所以数列{an+1}为公比是2的等比数列，
所以an+1=2n(a0+1)=2n，即得an=2n−1，
所以数列的母函数为f(x)=n=0∞ (2n−1)xn．
（2）由题意得G(x)=S0+S1x+S2x2+⋯+Snxn+⋯①，
那么xG(x)=S0x+S1x2+S2x3+⋯+Snxn+1+⋯②，
①﹣②得（1﹣x）G（x）＝S0+（S1﹣S0）x+（S2﹣S1）x2+（S3﹣S2）x3+…+（Sn﹣Sn﹣1）xn+…
=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn+⋯=g(x)，
所以G(x)=g(x)1−x．
（3）由公式1(1−x)k=n=0∞ Cn+k−1k−1xn=1+Ckk−1x+Ck+1k−1x2+⋯+Cn+k−1k−1xn+⋯，
令k＝3得1(1−x)3=n=0∞ Cn+22xn，
所以2(1−2x)3=2n=0∞ Cn+22(2x)n=n=0∞ (n+2)(n+1)2nxn=n=0∞ anxn，
数列{an}的母函数为f(x)=2(1−2x)3，
由（2）结论知数列{Sn}的母函数为：
G(x)=f(x)1−x=2(1−x)(1−2x)3=−21−x+41−2x−4(1−2x)2+4(1−2x)3
=−2n=0∞ Cn0xn+4n=0∞ Cn02nxn−4n=0∞ Cn+112nxn+4n=0∞ Cn+222nxn
=n=0∞ (−2+4⋅2n−4Cn+112n+4Cn+222n)xn=n=0∞ [2n+1(n2+n+2)−2]xn，
所以Sn=2n+1(n2+n+2)−2．
【点评】本题主要考查数列的新定义，考查数列与函数的综合，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
B
D
C
A
C