2024-2025学年山东省聊城市高一上学期期末数学教学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省聊城市高一上学期期末数学教学质量检测试题（附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（ ）

A．B．
C．D．
6．函数的图象大致为（ ）
A．B． C．D．
7．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．以下说法正确的是（ ）
A．“，”的否定是“，”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为
D．“，”是真命题，则
10．若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．在上单调递增
C．若、，且，则
D．把的图象向右平移个单位长度，然后再把所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则
12．已知函数的定义域为R，对任意，都有，当时，，且，则（ ）
A．，都有
B．当时，
C．是减函数
D．若，则不等式的解集为
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知幂函数的图象通过点，则 ．
14．若，且，则的最小值为 ．
15．在中，，边上的高等于，则 ．
16．定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．函数的值域为，的定义域为．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点．
(1)求的值；
(2)已知为锐角，，求．
19．为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：
为了描述建立平台年数与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：
①；②；③．
(1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；
(2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求t的最小值．
参考数据：，，．
20．已知函数．
(1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断；
(2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形．
21．已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且．
(1)求的值及函数在上的最小值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
22．若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”．
(1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式；
(2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由．
注：为自然对数的底数．
答案
1．【正确答案】C
【分析】利用补集和交集的概念求出答案.
【详解】，故.
故选：C
2．【正确答案】B
【分析】由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项即可求解.
【详解】对于A，是奇函数不满足题意，故A错误；
对于B，若，首先定义域为关于原点对称，
且，所以是偶函数，
又，所以是周期函数，故B正确；
对于C，画出函数的图象如图所示：
由此可知函数不是周期函数，故C错误；
对于D，若，则，所以不是偶函数，故D错误.
故选：B.
3．【正确答案】A
【分析】由的正切值，求出正弦及余弦值，即可得出结果.
【详解】因为，且，
所以，则，.
则.
故选：A.
4．【正确答案】D
【分析】直接判断的范围，再比较大小.
【详解】利用对数函数的性质可得,,
利用诱导公式可得
所以.
故选：D
5．【正确答案】A
【分析】设，由，可求得、的值，由题意得出函数的最小正周期，可求得的值，然后由结合的取值范围可得出的值，由此可得出与时间（单位：）之间的关系式.
【详解】设，
由题意可知，，，解得，，
函数的最小正周期为，
则，
当时，，可得，
又因为，则，故，
故选：A.
6．【正确答案】C
【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再带入特殊点逐一排除即可.
【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称.
因为，
所以函数为奇函数，故排除选项B;
因为，故排除选项A;
因为，故排除选项D.
故选：C.
7．【正确答案】B
【分析】根据三角函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】当时，，
由于是三角形的一个内角，所以，
则，
由于函数在区间上单调，
所以，解得，
即的取值范围为.
故选：B
8．【正确答案】B
【分析】画出函数和的图象，得到，，且，化简得到，利用基本不等式求出最小值.
【详解】画出的图象和的图象，如下：
由题意得，，且，
即，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B
函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
9．【正确答案】ACD
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D.
【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确；
对于B，即，解得，
因为所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为，
则该扇形面积为，故C正确；
对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立.
当时，命题成立；
当时，，解得，
综上可得，，故D正确；
故选：ACD.
10．【正确答案】BC
【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项.
【详解】因为函数为上的增函数，由，可得，
对于A选项，当时，，A错；
对于B选项，因为，则，
所以，，B对；
对于C选项，因为，则，可得，
所以，，
因为对数函数为上的减函数，故，C对；
对于D选项，，D错.
故选：BC.
11．【正确答案】ACD
【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用余弦型函数的单调性可判断B选项；利用余弦型函数的对称性可求出的值，代值计算出的值，可判断C选项；利用三角函数图象变换可判断D选项.
【详解】对于A选项，由图可知，，
函数的最小正周期满足，可得，则，
则，
又因为，可得，
因为，则，所以，，可得，
所以，，A对；
对于B选项，当时，，
所以，在上不单调，B错；
对于C选项，当时，，
由可得，
所以，函数在区间内的图象关于直线对称，
若、，且，则，
所以，，C对；
对于D选项，把的图象向右平移个单位长度，
可得到函数的图象，
再将所得曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
则，D对.
故选：ACD.
12．【正确答案】BCD
【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D.
【详解】令，则，又，所以.
当时，，所以，
又，
所以，即.A错误，B正确.
设，则，
又，所以，所以，
又当时，，当时，，，
所以，即，所以在上单调递减.C正确.
因为，所以，
所以，即，
又在上单调递减，所以，
解得，所以不等式的解集为,D正确.
故选：BCD
13．【正确答案】/0.5
【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值.
【详解】设幂函数的解析式为
∵幂函数过点
∴
∴
∴该函数的解析式为，
∴.
故
14．【正确答案】8
【分析】利用基本不等式和一元二次不等式求解.
【详解】因为若，且，则，
又因为，所以，
令，则，即，解得或（舍去），
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8.
故8.
15．【正确答案】
【分析】由题意得，由此锐角三角函数以及两角和的正切公式即可求解.
【详解】由题意设为边上的高，，
又，所以，所以垂足必定落在线段上面，如图所示：

，，
又，
所以.
故答案为.
16．【正确答案】
【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出.
【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
所以越靠近对称轴函数值越小，
所以由得，
由于，所以，
可得，即时恒成立，
可得，
由于在时单调递增，，
在时单调递减，，
所以恒成立，则实数a的取值范围
故答案为.
结论点睛：对称性的常用结论如下
（1）若函数满足或或，则的一条对称轴为；
（2）若函数满足或或，则的一个对称中心.
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合；
（2）求出集合，利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】（1）解：因为在上单调递减，
所以，当时有最大值，且最大值为，
当时，有最小值，最小值为，
所以．
（2）解：由，得，解得，
所以，，
因为，所以，解得．
故实数的取值范围．
18．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义求出的值，利用诱导公式以及弦化切可求得所求代数式的值；
（2）求出的值，利用两角差的正弦公式求出的值，结合角的范围可求得角的值.
【详解】（1）解：因为角的终边过点，所以，
则，，．
．
（2）解：因为角的终边过点，所以为第四象限角，即，
又因为为锐角，则，可得，
因为，则，
因为，所以．
则
．
所以．
19．【正确答案】(1)模型③，理由见解析，，
(2)12
【分析】（1）根据表中数据的增长速度选出正确的模型，待定系数法求出解析式；
（2）在（1）的基础上，解不等式，求出答案.
【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快．
因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，
模型③符合两个条件，所以选择模型③．
将数据代入可得，解得，
所以，函数为，．
（2）由（1）知，，
则．得，
．
故t的最小值为12．
20．【正确答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用单调性得定义证明即可；
（2）构造，只需证明为奇函数即可.
【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下：
任取，且，
．
因为，且，
所以，，
所以，即，
故函数在上单调递减．
（2）证明：设，
则．
因为函数定义域为，
且，
所以为奇函数．
故的图象关于点成中心对称图形．
21．【正确答案】(1)，最小值为
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据题中信息求出函数的最小正周期，可得出的值，即可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的基本性质可求出函数在上的最小值；
（2）设，可得出，设，可知在上恒成立，可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】（1）解：函数
， 则，
因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且，
所以，函数的最小正周期为，则，
可得．
由，得，所以，，
所以，，故函数在上的最小值为．
（2）解：设，因为，所以．
因为不等式恒成立，
设，
所以在上恒成立．
则，即，
解得，故的取值范围为．
22．【正确答案】(1)，
(2)存在，，
【分析】（1）根据题意以及函数的奇偶性可得出关于、的等式组，即可解得函数、的解析式；
（2）假设存在实数、满足题设要求，根据偶函数的定义结合对数的运算性质可得出，再由函数的值域结合基本不等式可求出的值，进而可得出的值，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为为、的“函数”，
所以①，所以．
因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以②，
联立①②得，，．
（2）解：假设存在实数、使得函数为函数、的“函数”．
则．
①因为是偶函数﹐所以．
即，
则，
整理得．
因为对恒成立，所以．
②．
因为，当且仅当取等号，
所以，
由于的值域为，所以，则，
又，所以．
综上，存在，满足要求．
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.建立平台年数工x
1
2
3
会员人数y（千人）
14
20
29