2024-2025学年山东省临沭市高三上学期12月月考数学质量检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年山东省临沭市高三上学期12月月考数学质量检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
5．在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．过点作圆的两条切线，切点为、，若，则四边形（为圆的圆心）的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知某正四面体玩具可以在棱长为6的正方体玩具盒（不考虑玩具盒的厚度）内任意转动（绕正四面体外接球的球心转动，且为正方体的中心），则该正四面体玩具的表面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在一个等边三角形中，连接各边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，这样就剩下三个小的三角形，对剩下的小三角形不断重复上述步骤，得到如图所示的一系列三角形图案，我们称这一系列三角形图案是谢尔宾斯基三角形．记经过次操作后，剩余三角形的个数为，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．对任意的的最小正周期为
B．存在，使得的图象关于某条直线对称
C．对任意的是偶函数
D．当时，的最小值为
11．已知为定义在上的可导函数，的导数为，，且的图象关于直线对称，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，且，则 ．
13．已知，且，则的最大值是 ．
14．如图，、是某水域的两直线型岸边，，是的角平分线，且．某养殖户准备经过点安装一直线型隔离网（、分别在、上），围成△养殖区．若、都不超过，则隔离网长度的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求、的值；
(2)求在上的值域．
16．设数列的前项和为，且当时，．
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和．
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，△，△均为等边三角形，．
(1)证明：平面平面．
(2)若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．
18．已知椭圆的离心率是，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，是△的内心，求的最大值．
19．若存在一个数，使得函数定义域内的任意，都有，则称有下界， 是的一个下界．
(1)求函数的下界的取值范围；
(2)判断是否是下界为的函数，并说明理由；
(3)若函数，是的一个整数下界，求的最大值．（参考数据：，）
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，因此，.
故选：C.
2．【正确答案】D
【详解】因为，，
因此，.
故选：D.
3．【正确答案】A
【详解】若，则，解得，
所以，“”是“”的充要条件.
故选：A.
4．【正确答案】B
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在上单调递增，
且，则，且该函数在上为增函数，，
当时，；当时，；
当时，；当时，.
因为，
当时，即时，，则或，此时，；
当时，即时，，则或，此时，.
综上所述，不等式的解集是.
故选：B.
5．【正确答案】A
【详解】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中，
即，
所以，，
又因为，则，，其中、均为正数，
且有，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故则的最小值是.
故选：A.
6．【正确答案】C
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
如下图所示：
由圆的几何性质可得，，，，
所以，，所以，，
设，则，
因为。
易知为锐角，则，，
所以，，
因此，.
故选：C.
7．【正确答案】D
【详解】如图，设四面体的棱长为，外接球圆心为，半径为，为底面三角形的外心，
则，，
由，得，解得，
又该正四面体玩具可以在该正方体内任意转动，
则正四面体外接球最大是正方体的内切球，
此时，解得，
所以正四面体的表面积为
故选：D
8．【正确答案】B
【详解】由可得，其中，
令，其中，
则，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，
因为，，
所以存在，使得，即，
且当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
因为，则，则，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，
由可得，所以，可得，
故，
因此实数的取值范围是.
故选：B.
9．【正确答案】BC
【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个黑色三角形均可以得到下一个图形中的3个小黑色三角形，
故，而，
故为等比数列，故；
所以
故选：BC.
10．【正确答案】BCD
【详解】.
A：当时，函数的最小正周期均为，故A错误；
B：当时，，图象关于直线对称，故B正确；
C：，
则，
，
得，所以为偶函数，故C正确；
D：当时，，
当时，函数和同时取到最小值，分别为和0，
所以的最小值为，故D正确.
故选：BCD.
11．【正确答案】AC
【详解】由，则①，又②，
①②得③，则④，
则④③可得，即，
故是周期为的函数，则，
由的图象关于直线对称，则⑤，
由③，故可得，
所以，故A正确；
由⑤可得，即，
由③可得，可得，故B错误；
由②可得，又，
则两式相减可得，，
则可得，即，故C正确；
由，则，又，则，
由，则，又，则，
由，则，又，则，则
由，则，
由，则，则，
则，
由，则是周期为的函数，
故，
故选：AC.
12．【正确答案】
【详解】在椭圆中，，
因为、是椭圆的两个焦点，在椭圆上，
由椭圆的定义可得，故.
故答案为.
13．【正确答案】/
【详解】由，得，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最大值为.
故
14．【正确答案】
【详解】设，，，由题意可得，且，
因为，即，
可得，由题意可知，，，
所以，，由，解得，
所以，，
令，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，则，
由余弦定理可得
，故，
因此，的长的取值范围是.
故答案为.
15．【正确答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，则，
因为曲线在点处的切线方程为，
则，所以，，解得.
（2）由（1）可得，则，
列表如下：
所以，函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
所以，当时，，，
因此，在上的值域为.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，得①.
当时，，得，
得，符合①式，
所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列，
故，所以.
当时，，
又符合上式，
所以.
（2）由（1）得，当为奇数，，
当为偶数，，
所以
.
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)16
【详解】（1）设，取的中点，连接，如图，
则，且，
在中，，
在中，有，所以，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
则，
由，得，
所以，解得，即，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，即，
所以点到平面的距离为，
解得，所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
所以，
所以点到平面的距离为，
又平行四边形的面积为，
所以四棱锥的体积为.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆的离心率是，且点在椭圆上，
则，解得，故椭圆的方程为.
（2）设点、，则，
又因为，
由图可知，，所以，即点，
由椭圆的范围可知，，又，
则，
所以，
设圆分别切、、于点、、，则轴，
由切线长定理可得，，，
因为，
又因为，
所以，，可得，即点，
因此，
，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
19．【正确答案】(1)
(2)是，理由见解析
(3)
【详解】（1）因为函数的定义域为，对任意的，，则，
因为，令，可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，则，
所以，，因此，函数的下界的取值范围为.
（2）令，其中，，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，且，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，，故，
因此，函数是下界为的函数.
（3）当时，，则，
令，则，
当时，，，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，所以，，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，
，
令，其中，
，
所以，函数在上单调递减，所以，，
所以，，且，
因此，整数的最大值为.增
极大值
减
极小值
增
减
极小值
增