2024-2025学年四川省宜宾市高二上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省宜宾市高二上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）已知空间向量a→=（﹣1，1，﹣2），b→=（0，﹣1，1），则a→+b→=（ ）
A．（﹣1，0，﹣1）B．（1，﹣2，3）C．（1，0，1）D．（﹣1，2，﹣3）
2．（5分）已知直线l1：x+2y+1＝0，l2：2x+4y+1＝0，则l1，l2的位置关系是（ ）
A．垂直B．相交C．平行D．重合
3．（5分）抛物线x2＝2y的焦点到准线的距离是（ ）
A．4B．2C．14D．1
4．（5分）设平面向量a→=(m，1)，b→=(2，n)，其中m，n∈{1，2，3}，记“a→⊥(a→−b→)”为事件A，则事件A发生的概率为（ ）
A．14B．18C．29D．19
5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A．120B．1010C．−1010D．−120
6．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ）
A．176升B．72升C．11366升D．10933升
7．（5分）椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|F1F2|，|AF1|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A．55B．12C．15D．13
8．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，1an+1=1an+3，设数列{anan+1}的前n项和为Tn，若Tk＞33101(k∈N∗)，则k的最小值是（ ）
A．16B．17C．18D．19
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．）
（多选）9．（5分）若向量a→=（1，2，0），b→=（﹣2，0，1），则（ ）
A．cs＜a→，b→＞=−25B．a→⊥b→
C．a→∥b→D．|a→|＝|b→|
（多选）10．（5分）已知直线l：3x﹣y+1＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是π6
B．若直线m：x−3y+1=0，则l⊥m
C．点(3，0)到直线l的距离是2
D．过(23，2)与直线l平行的直线方程是3x−y−4=0
（多选）11．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（ ）
A．d＜0
B．S11＞0
C．数列{Sn}中最大项为S11
D．S12＞0
（多选）12．（5分）已知曲线C：x29+y2m=1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若m＝﹣3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝﹣27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2=π2
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为32
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
14．（5分）已知数列{an}为等比数列，a1+a2＝3，a3+a4＝12，则a5+a6＝ ．
15．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 ．
16．（5分）若坐标原点O和点F（﹣2，0）分别为双曲线x2a2−y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→⋅FP→的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
18．（12分）已知直线m：x+2y﹣2＝0，直线l过点A（0，﹣6），且l⊥m于点H．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与x轴相交于B点，求△HAB外接圆的方程．
19．（12分）某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4；第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
20．（12分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0．b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝AB＝2，点E是棱PA上的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若PA=6，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为265，求AEAP的值．
22．（12分）已知点A(−1，32)在椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，E的离心率为32．
（1）求E的方程；
（2）点B与点A关于原点对称，点P是椭圆E上第四象限内一动点，直线PA，PB与直线x＝3分别相交于点M，N，设λ=S△PABS△PMN，当λ∈[1，3）时，求△PAB面积的取值范围．
答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）已知空间向量a→=（﹣1，1，﹣2），b→=（0，﹣1，1），则a→+b→=（ ）
A．（﹣1，0，﹣1）B．（1，﹣2，3）C．（1，0，1）D．（﹣1，2，﹣3）
【分析】由空间向量的坐标运算即可求解．
解：空间向量a→=（﹣1，1，﹣2），b→=（0，﹣1，1），
则a→+b→=（﹣1，0，﹣1）．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
2．（5分）已知直线l1：x+2y+1＝0，l2：2x+4y+1＝0，则l1，l2的位置关系是（ ）
A．垂直B．相交C．平行D．重合
【分析】由题意利用两条直线平行的性质，得出结论．
解：对于直线l1：x+2y+1＝0，l2：2x+4y+1＝0，
由于12=24≠11，故两直线l1，l2的位置关系是平行，
故选：C．
【点评】本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
3．（5分）抛物线x2＝2y的焦点到准线的距离是（ ）
A．4B．2C．14D．1
【分析】利用p的几何意义可求解．
解：抛物线x2＝2y的焦点到准线的距离是p＝1，
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的几何意义，属基础题．
4．（5分）设平面向量a→=(m，1)，b→=(2，n)，其中m，n∈{1，2，3}，记“a→⊥(a→−b→)”为事件A，则事件A发生的概率为（ ）
A．14B．18C．29D．19
【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，古典概率的计算公式，求得结果．
解：∵平面向量a→=(m，1)，b→=(2，n)，其中m，n∈{1，2，3}，记“a→⊥(a→−b→)”为事件A，
事件A等价于a→•（a→−b→）=a→2−a→⋅b→=m2﹣2m+1﹣n＝（m﹣1）2﹣n＝0，
等价于n＝（m﹣1）2，等价于m＝2，n＝1．
而m、n的所有取值共计3×3种情况，
则事件A发生的概率13×3=19，
故选：D．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，古典概率，属于基础题．
5．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（ ）
A．120B．1010C．−1010D．−120
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与AC所成角的余弦值．
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，
则D（0，0，0），E（0，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），
DE→=（0，1，2），AC→=（﹣2，2，0），
设异面直线DE与AC所成角为θ，
则csθ=|DE→⋅AC→||DE→|⋅|AC→|=25×22=1010．
∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为1010．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间向量的应用，转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ）
A．176升B．72升C．11366升D．10933升
【分析】自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，由题意列出方程组，利用等差数列的性质化简后可得答案．
解：自上而下依次设各节容积为：a1、a2、…、a9，
由题意得，a1+a2+a3+a4=3a7+a8+a9=4，
即2(a2+a3)=33a8=4，得a2+a3=32a8=43，
所以a2+a3+a8=32+43=176（升），
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列的性质的灵活应用，以及方程思想，属于基础题．
7．（5分）椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1，F2.若|F1F2|，|AF1|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为（ ）
A．55B．12C．15D．13
【分析】根据题意可知：|F1F2|＝2c，|AF1|＝a﹣c，|F1B|＝a+c，根据|F1F2|，|AF1|，|F1B|成等差数列，可得a与c的关系，进而求出离心率．
解：由题意可知：|F1F2|＝2c，|AF1|＝a﹣c，|F1B|＝a+c，
又因为|F1F2|，|AF1|，|FB|成等差数列，
所以2|AF1|＝|F1F2|+|F1B|，
也即2（a﹣c）＝2c+a+c，所以a＝5c，
则e=ca=15．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆性质与等差数列的综合，属基础题．
8．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，1an+1=1an+3，设数列{anan+1}的前n项和为Tn，若Tk＞33101(k∈N∗)，则k的最小值是（ ）
A．16B．17C．18D．19
【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到an，由此可得anan+1，利用裂项相消法可求得Tn，由Tk＞33101可构造不等式求得k的范围，进而得到最小值．
解：∵1an+1=1an+3，1a1=1，∴数列{1an}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴1an=1+3(n−1)=3n−2，则an=13n−2，
∴anan+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，
∴Tn=13(1−14+14−17+17−110+⋯+13n−5−13n−2+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1，
由Tk＞33101得：k3k+1＞33101，
解得：k＞332，又k∈N*，∴kmin＝17．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的定义与通项公式，裂项求和法的应用，属中档题．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．）
（多选）9．（5分）若向量a→=（1，2，0），b→=（﹣2，0，1），则（ ）
A．cs＜a→，b→＞=−25B．a→⊥b→
C．a→∥b→D．|a→|＝|b→|
【分析】由已知求出两个向量夹角的余弦值，两个向量的模长，即可判断．
解：因为a→=（1，2，0），b→=（﹣2，0，1），
所以cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=−25⋅5=−25，
故A正确，B，C都错误；
|a→|=5，|b→|=5，
所以|a→|＝|b→|=5，
故选：AD．
【点评】本题考查了向量的运算，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知直线l：3x﹣y+1＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是π6
B．若直线m：x−3y+1=0，则l⊥m
C．点(3，0)到直线l的距离是2
D．过(23，2)与直线l平行的直线方程是3x−y−4=0
【分析】对于A．求得直线l：3x−y+1=0的斜率k即可知直线l的倾斜角，即可判断A的正误；
对于B．求得直线m：x−3y+1=0的斜率k′，计算kk′是否为﹣1，即可判断B的正误；
对于C．利用点到直线的距离公式，求得点(3，0)到直线l的距离d，即可判断C的正误；
对于D．利用直线的点斜式可求得过(23，2)与直线l平行的直线方程，即可判断D的正误；．
解：对于A．直线l：3x−y+1=0的斜率k＝tanθ=3，故直线l的倾斜角是π3，故A错误；
对于B．因为直线m：x−3y+1=0的斜率k′=33，kk′＝1≠﹣1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；
对于C．点(3，0)到直线l的距离d=|3⋅3−0+1|(3)2+(−1)2=2，故C正确；
对于D．过(23，2)与直线l平行的直线方程是y﹣2=3（x﹣23），整理得：3x−y−4=0，故D正确．
综上所述，正确的选项为CD．
故选：CD．
【点评】本题考查命题的真假判定，着重考查直线方程的应用，涉及直线的倾斜角与斜率，直线的平行与垂直的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＞S7＞S5，则下列命题中正确的是（ ）
A．d＜0
B．S11＞0
C．数列{Sn}中最大项为S11
D．S12＞0
【分析】根据题意，由S6＞S7＞S5可判断a7＜0，a6＞0，a6+a7＞0，由此依次分析四个选项，即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在等差数列{an}中，若S6＞S7＞S5，则a7＝S7﹣S6＜0，a6＝S6﹣S5＞0，a6+a7＝S7﹣S5＞0，
故d＝a7﹣a6＜0，故选项A正确；
对于B，S11=112（a1+a11）=11×(2a6)2=11a6＞0，B正确，
对于C，由于a6＞0，a7＜0，则数列{Sn}中最大项为S6，C错误；
对于D，S12=122（a1+a12）=122（a6+a7）＞0，D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式，涉及数列单调性，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知曲线C：x29+y2m=1，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．若m＝﹣3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝﹣27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得∠F1PF2=π2
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为32
【分析】当m＝﹣3时，求出双曲线的渐近线的倾斜角判断A；由双曲线的离心率为2，分类求解m值判断B；当m＝3时，求出椭圆的焦点坐标，设P的坐标，利用数量积可以等于0判断C；直接求出焦点三角形面积的最大值判断D．
解：当m＝﹣3时，双曲线方程为x29−y23=1，
所以a＝3，b=3，所以双曲线的渐近线方程为y=±33x，
渐近线y=33x的倾斜角为π6，
则曲线C的两条渐近线所成的锐角为π3，故A正确；
若曲线C的离心率e＝2，则ca=2，
当焦点是在x轴上的椭圆时，0＜m＜9，此时a2＝9，b2＝m，
则ca=1−b2a2=1−m9=2，解得m＝﹣27（舍去），
当焦点是在x轴上的双曲线时，m＜0，此时a2＝9，b2＝﹣m，
则ca=1+b2a2=1−m9=2，解得m＝﹣27．故B正确；
当m＝3时，曲线方程为x29+y23=1，表示焦点在x轴上的椭圆，
此时a2＝9，b2＝3，c=a2−b2=6，则F1，（−6，0），F2（6，0），
设P（x，y），则x29+y23=1，PF1→⋅PF2→
=(−6−x，−y)•(6−x，−y)=x2+y2﹣6
=x2+3−x23−6=23x2−3，
∵﹣3≤x≤3，∴23x2−3∈[﹣3，3]，且当x=±322时，PF1→⋅PF2→=0，满足∠F1PF2=π2，故C错误；
当m＝3时，曲线方程为x29+y23=1，表示焦点在x轴上的椭圆，
此时a2＝9，b2＝3，c=a2−b2=6，则F1，（−6，0），F2（6，0），
△PF1F2面积的最大值为12⋅2c⋅b=bc=32，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
14．（5分）已知数列{an}为等比数列，a1+a2＝3，a3+a4＝12，则a5+a6＝ 48 ．
【分析】根据题意，设数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得答案．
解：根据题意，设数列{an}的公比为q，
由于a1+a2＝3，a3+a4＝12，则有a3+a4a1+a2=q2=4，
所以a5+a6=q2(a3+a4)=4×12=48．
故48．
【点评】本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．
15．（5分）若点P（3，﹣1）为圆（x﹣2）2+y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是 x﹣y﹣4＝0． ．
【分析】由垂径定理可知，圆心C与点P的连线与AB垂直．可求直线AB的斜率，从而由点斜式方程得到直线AB的方程．
解：由（x﹣2）2+y2＝25，
可得，圆心C（2，0）．
∴kPC=0+12−3=−1．
∵PC⊥AB，
∴kAB＝1．
∴直线AB的方程为
y+1＝x﹣3．
即x﹣y﹣4＝0．
故x﹣y﹣4＝0．
【点评】本题考查垂径定理，直线的点斜式方程．圆的标准方程等知识．属于基础题．
16．（5分）若坐标原点O和点F（﹣2，0）分别为双曲线x2a2−y2＝1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→⋅FP→的最小值为 3+23 ．
【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示OP→⋅FP→，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得OP→⋅FP→的取值范围．
解：设P（m，n），则OP→⋅FP→=（m，n）•（m+2，n）＝m2+2m+n2．
∵F（﹣2，0）分别是双曲线x2a2−y2＝1（a＞0）的左焦点，
∴a2+1＝4，∴a2＝3，
∴双曲线方程为x23−y2=1，
∵点P为双曲线右支上的任意一点，
∴m23−n2=1（m≥3），
∴n2=m23−1，
∵OP→⋅FP→=（m，n）•（m+2，n）＝m2+2m+n2，
∴m2+2m+n2＝m2+2m+m23−1=43m²+2m﹣1，
∵m≥3，
∴函数在[3，+∞）上单调递增，
∴m2+2m+n2≥3+23，
∴OP→⋅FP→的取值范围为[3+23，+∞）．
故3+23．
【点评】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．
【分析】（1）由等比数列的通项公式求出公比和首项，由此能求出数列通项公式an
（2）由b3＝8，b5＝32．求出等差数列数列{bn}的公差和首项，从而求出前n项的和Sn
解：（1）设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2，
∴an＝2n．
（2）由（1）得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32．
设{bn}的公差为d，则b1+2d=8b1+4d=32，解得b1=−16d=12
从而bn＝﹣16+12（n﹣1）＝12n﹣28，
所以数列{bn}的前n项和Sn=n(−16+12n−28)2=6n2﹣22n．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和前n项和的求法，是基础题，
18．（12分）已知直线m：x+2y﹣2＝0，直线l过点A（0，﹣6），且l⊥m于点H．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与x轴相交于B点，求△HAB外接圆的方程．
【分析】（1）由l⊥m，可得直线l的斜率，利用点斜式即可求得直线l的方程；
（2）求出点B和H的坐标，设出△HAB外接圆的一般方程，将三点代入可得关于D，E，F的方程组，解之即可求解．
解：直线m：x+2y﹣2＝0的斜率为−12，
因为l⊥m，所以直线l的斜率为2，
又直线l过点A（0，﹣6），
所以直线l的方程为y﹣（﹣6）＝2（x﹣0），即y＝2x﹣6．
（2）由x+2y−2=0y=2x−6，解得x=145y=−25，
可得点H的坐标为（145，−25），
直线m：x+2y﹣2＝0，令y＝0，则x＝2，所以B（2，0），
设△HAB外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
所以36−6E+F=04+2D+F=019625+425+145D−25E+F=0，解得D=−2E=6F=0，
所以△HAB外接圆的方程为x2+y2﹣2x+6y＝0．
【点评】本题主要考查直线方程与圆的方程求法，属于中档题．
19．（12分）某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4；第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5．
（1）求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
（2）求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式可得；
（2）由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得．
解：（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1，
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则P(E)=P(A1⋅B1)=0.5×0.4=0.2；
（2）分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，事件F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，
则P（A）＝0.5×0.6＝0.3，P（B）＝0.6×0.5＝0.3，P（C）＝0.4×0.5＝0.2，
所以P(F)=P(A⋅B⋅C)+P(A⋅B⋅C)+P(A⋅B⋅C)
＝0.3×0.7×0.8+0.7×0.3×0.8+0.7×0.7×0.2
=0.434=217500．
【点评】本题主要考查了互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
20．（12分）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn（n∈N*），{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0．b2+b3＝12，b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{a2nbn}的前n项和（n∈N*）．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式及其已知q＞0，b2+b3＝12，解得q，可得bn．设等差数列{an}的公差为d，根据b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4，列出方程组解得a1，d，即可得出an．
（2）a2nbn＝（6n﹣2）•2n＝（3n﹣1）•2n+1，利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出数列{a2nbn}的前n项和．
解：（1）∵数列{bn}是首项为2的等比数列，且公比q＞0，
∵b2+b3＝12，∴2（q+q2）＝12，q＞0，
解得q＝2，
∴bn＝2n．
设等差数列{an}的公差为d，
∵b3＝a4﹣2a1，S11＝11b4，
∴a1+3d﹣2a1＝23，11a1+11×102d＝11×24，
解得a1＝1，d＝3．
∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．
（2）a2nbn＝（6n﹣2）•2n＝（3n﹣1）•2n+1．
∴数列{a2nbn}的前n项和Tn＝2×22+5×23+…+（3n﹣1）•2n+1，
∴2Tn＝2×23+5×24+…+（3n﹣4）•2n+1+（3n﹣1）•2n+2，
相减可得：﹣Tn＝8+3（23+24+…+2n+1）﹣（3n﹣1）•2n+2＝8+3×8(2n−1−1)2−1−（3n﹣1）•2n+2，
化为：Tn＝（3n﹣4）•2n+2+16．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，PB＝PD＝AB＝2，点E是棱PA上的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；
（2）若PA=6，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为265，求AEAP的值．
【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的判断证明BD⊥平面PAC即可；
（2）建系转化为空间向量的计算即可．
（1）证明：连接BD，记BD∩AC＝O，再连接PO，如图所示，
因为四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，所以O是BD的中点，BD⊥AC，OD=12BD=1，AO=12AC=3，
在△PBD中，PB＝PD＝2，O是BD的中点，OD＝1，所以PO⊥BD，PO=PD2−DO2=3，
又BD⊥AC，AC∩PO＝O，AC，PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
又BD⊂平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD；
（2）解：若PA=6，AO=3，PO=3，所以PA2＝AO2+PO2，所以PO⊥AC，
以O为坐标原点OA，OB，OP，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
所以A(3，0，0)，B（0，1，0），D（0，﹣1，0），P(0，0，3)，
所以AP→=(−3，0，3)，DA→=(3，1，0)，
设AE→=λAP→=(−3λ，0，3λ)(0≤λ≤1)，所以BE→=BA→+AE→=(3−3λ，−1，3λ)，
设平面PAD的一个法向量n→=(x，y，z)，所以n→⋅AP→=−3x+3z=0，n→⋅DA→=3x+y=0，令x＝1，解得y=−3，z＝1，
所以平面PAD的一个法向量n→=(1，−3，1)，
设直线BE与平面PAD所成角的大小为θ，
所以sinθ=|cs＜n→，BE→＞|=|n→⋅BE→||n→|⋅|BE→|=231+3+1×(3−3λ)2+(−1)2+(3λ)2=265，
解得λ=12，所以AEAP=12．
【点评】本题考查了空间线面关系的证明和向量法在空间角和距离上的综合应用，属于中档题．
22．（12分）已知点A(−1，32)在椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，E的离心率为32．
（1）求E的方程；
（2）点B与点A关于原点对称，点P是椭圆E上第四象限内一动点，直线PA，PB与直线x＝3分别相交于点M，N，设λ=S△PABS△PMN，当λ∈[1，3）时，求△PAB面积的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得3a2+14b2=1①，e=ca=32②，a2＝b2+c2③，由①②③解得a，b，c，进而可得椭圆E的方程．
（2）由对称性可得点B的坐标为（1，−32），设点P（x0，y0），由点P在第四象限，推出x0∈（0，2），由λ=S△PABS△PMN=12|PA||PB|sin∠APB12|PM||PN|sin∠MPN=|x0+1||3−x0|×|x0+1||3−x0|，λ∈[1，3），且点P在椭圆E上，推出y0的取值范围，由点到直线的距离公式可得点P到直线AB的距离d，进而可得S△PAB=12|3x0+2y0|，再求范围，即可得出答案．
解：（1）因为点A(−1，32)在椭圆上，
所以3a2+14b2=1，①
又因为椭圆E的离心率为32．
所以e=ca=32，②
又因为a2＝b2+c2，③
由①②③解得a＝2，b＝1，c=3，
所以椭圆E的方程为x24+y2＝1．
（2）因为点A（﹣1，32）与点B关于原点对称，
所以点B的坐标为（1，−32），设点P（x0，y0），
因为点P在第四象限，
所以x0∈（0，2），
因为λ=S△PABS△PMN=12|PA||PB|sin∠APB12|PM||PN|sin∠MPN=|PA||PB||PM||PN|=|PA||PM|×|PB||PN|
=|x0+1||3−x0|×|x0+1||3−x0|，λ∈[1，3），
因为点P在椭圆E上，有−116≤y0＜0，
直线AB的方程为y=−32x，
点P到直线AB的距离d=|3x0+2y0|7，又|AB|=7，
所以S△PAB=12×|AB|×d=12|3x0+2y0|，
因为53≤x0＜2，−116≤y0＜0，
所以53−113≤30+2y0＜23，
所以S△PAB=12|3x0+2y0|∈[53−116，3），
所以△PAB的面积的取值范围为[53−116，3）．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
D
D
B
A
C
B