2024-2025学年天津市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年天津市高三上学期12月月考数学检测试题（附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为（ ）
A. 23πB. 33πC. 63πD. 93π
7．已知函数给出下列结论：
①的周期为；
②时取最大值；
③的最小值是；
④在区间内单调递增；
⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号题（ ）
A．①②B．①③C．①③④D．①②③
8．在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图像的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题（本大题共6小题）
10．是虚数单位，复数 .
11．若的展开式中的系数为，则实数的值为 .
12．已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则
13．袋中装有大小､形状完全相同的2个白球和4个红球，每次抽取1个球.若无放回的抽取，已知第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率是 ；若有放回的抽取，则在3次抽取中恰有2次抽到白球的概率是 .
14．已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 .
15．已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ．
三、解答题（本大题共5小题）
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
17．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.
（i）求的解析式及值；
（ii）求在上的值域.
18．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是PD的中点.
(1)求证：平面平面PAD；
(2)求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
(3)求B点到平面EAC的距离.
19．已知椭圆 的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线与椭圆C交于A，B两点.
①若直线过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值；
②若直线过定点，且，在x轴上是否存在点使得以TA，TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性；
(3)若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围.
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意，所以.
故选：C.
2．【正确答案】A
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3．【正确答案】D
【详解】函数定义域为，
则函数为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项C；
又，排除选项AB；
故选：D
4．【正确答案】D
【详解】对于A，若，，则或，则m，n相交、平行、异面都有可能，A错误；
对于B，若，则与相交或平行，B错误；
对于C，若，则，又，则或，C错误；
对于D，由，得或，若，则存在过的平面与相交，
令交线为，则，而，于是，；若，而，则，
因此，D正确.
故选：D
5．【正确答案】C
【详解】，
，
，则,
故.
故选：C.
6．【正确答案】B
设圆柱、圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为r2+(3)2=r2+3.又圆柱与圆锥的侧面积相等，所以2πr⋅3=πrr2+3，解得r=3，所以圆锥的体积V=13π×32×3=33π，故选B.
7．【正确答案】B
【详解】因为
.
①因为，所以①正确；
②因为，所以②错误；
③当，即时，
取最小值，且最小值是，所以③正确；
④当时，由
知在区间内并不单调，故④错误；
⑤把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，
可得到函数，故⑤错误.
故正确的是①③.
故选：B.
8．【正确答案】A
【详解】

由题意可得：，
，
设，
则,
又三点共线，所以，
解得，
所以，
故选：A
9．【正确答案】A
【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图像的一部分，
可得，且，所以圆柱的底面直径，
设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，因为离心率为，可得，
所以，由勾股定理得，解得.
故选：A.
10．【正确答案】/
【详解】已知
所以.
故
11．【正确答案】
【详解】法一：展开式第项
时，，，，.
故2.
法二：展开式中，要想凑出，必须取三次方，也取三次方，于是算下系数就有，.
故2.
12．【正确答案】
【详解】圆0，即，圆心，
因为圆关于直线对称，所以，解得，
所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离，
所以．
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】设第一次抽到白球为事件，第二次抽到白球为事件，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为，
因为，，
所以.
若有放回的抽取，设在3次抽取中抽到的白球个数为，则服从二项分布，即，所以.
故答案为: ;.
14．【正确答案】
【详解】因为上有且仅有2个零点，
所以，
所以.
故
15．【正确答案】
【详解】根据题意，可得，
由点是中点，可得，
所以，
向量在向量上的投影向量，
因为，所以，
所以向量在向量上的投影向量的模为：
，
当且仅当，即时取等号，
所以向量在向量上的投影向量的模的最小值为.
故①；②.
16．【正确答案】(1)
(2)（i）；（ⅱ）
【详解】（1）由，且C是三角形的内角，则，
因为，由正弦定理得，
所以.
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得或.
（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以.
17．【正确答案】(1)
(2)（i）；1；（ii）.
【详解】（1）由图可知，，，所以，.
将点代入得，.
又，所以，
所以.
（2）（i）将的图象向左平移个单位长度，
得，
再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
所以，
所以；
（ii）因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
故在上的值域为.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）由题可知，以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示
则
所以
所以即,
所以即,
又,平面PAD,所以平面PAD,
又平面，所以平面平面PAD.
（2）设平面的法向量为，则
，即，
令，则，所以，
由题意知，平面，平面ACD的法向量为,
设平面EAC与平面ACD夹角的，则
，
所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为.
（3）由（2）知，平面的法向量为，
设B点到平面EAC的距离为，则
，
所以B点到平面EAC的距离为.
19．【正确答案】(1)；
(2)①；②.
【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为，
再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得：
，因为，所以解得，
再由椭圆的一个顶点为，可得，
所以由，
即椭圆C的标准方程为；
（2）①直线过椭圆右焦点可得：，即，
所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得：
，
设两交点，则有
所以，
又椭圆左焦点到直线的距离为，
所以，
解得：或（舍去），即；
②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点，且，可知直线方程为，
与椭圆联立方程组，消去得：，
由，且，解得，

设两交点，中点，则有
所以，
即，整理得，
又因为，所以，则.
20．【正确答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1），
，
，
当时，，
切点坐标为，
又，切线斜率为，
曲线在处切线方程为：
.
（2），，
，，
，，
①当时，成立，
的单调递减区间为，无单调递增区间.
②当时，令，
所以当时，，在上单调递减
时，，在上单调递增
综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3），
，
，
令，，
由已知可得：
且，
的单调区间是
，x>0，
时，恒成立，
，，
令，，即证，，
成立，
的单调递减区间为，
，
恒成立，
综上：的取值范围是.