2024-2025学年重庆市高二上学期1月期末数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年重庆市高二上学期1月期末数学检测试题（附解析），共22页。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若函数满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．-1
2．已知为奇函数，则在处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．设、是两个不同的平面，直线，则“对内的任意直线，都有”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知为等差数列，，.若数列满足，记的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知是公比为的等比数列，为其前项和.若对任意的，恒成立，则（ ）
A．是递增数列B．是递减数列
C．是递增数列D．是递减数列
6．已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C（A，B，C均不重合）三点的圆的半径不可能为（ ）
A．B．C．1D．2
7．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lkandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，则（ ）
A．若，则从开始出现数字2；
B．若，则的最后一个数字均为；
C．可能既是等差数列又是等比数列；
D．若，则均不包含数字4.
10．设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A．轴B．C．D．
11．已知有两个不同的极值点，则（ ）
A．B．
C．D．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
13．若数列满足，（），则 .
14．若函数在上存在唯一的零点，函数在上存在唯一的零点，且，则实数的取值范围为 ．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知函数在上是增函数.为自然对数的底数
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：，其中
16．类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知曲面的方程为.

(1)已知直线过曲面上一点，以为方向向量，求证：直线在曲面上（即上任意一点均在曲面上）；
(2)已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值.
17．已知椭圆，过外一点作的两条切线，分别交轴于两点.
(1)记的倾斜角分别为.若，求的轨迹方程.
(2)求面积的最小值.
18．已知函数，将曲线绕原点逆时针旋转，得到曲线.
(1)证明：存在唯一的实数，使得曲线是某个函数的图形，并求出；
(2)取，设是曲线图象上任意一点，将曲线绕点逆时针旋转，得到函数曲线，设函数的极小值为，求的单调性.
19．已知定义在上的函数，其导函数为，记集合为函数所有的切线所构成的集合，集合为集合中所有与函数有且仅有个公共点的切线所构成的集合，其中，.
(1)若，判断集合和的包含关系，并说明理由：
(2)若（），求集合中的元素个数:
(3)若，证明：对任意，，为无穷集.
1．A
【分析】根据给定条件，结合复合函数求导法则两边分别求导，再赋值计算即得.
【详解】由两边分别求导得：，
当时，，
所以.
故选：A
2．A
【分析】
根据奇函数定义求出函数表达式，再结合导数和切线相关知识求解切线方程即可.
【详解】因为
，
所以，
因为为奇函数，所以对恒成立，
所以，代入函数表达式得，
所以，则，
所以在处的切线方程为，即.
故选：A
3．A
【分析】利用线面垂直的定义、面面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】因为、是两个不同的平面，直线，
若对内的任意直线，都有，根据线面垂直的定义可知，
，，
所以，“对内的任意直线，都有”“”；
若，因为，对内的任意直线，与的位置关系不确定，
所以，“对内的任意直线，都有”“”.
因此，“对内的任意直线，都有”是“”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．B
【分析】求出等差数列的通项公式，可求得数列的通项公式，推导出数列为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求出的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，所以，，
，，
所以，，
则，所以，数列为等差数列，
因此，.
故选：B
5．B
【分析】先根据等比数列前项和,结合恒成立，得出的取值范围，得到 是递减数列.
【详解】是公比为的等比数列，为其前项和,
恒成立,恒成立,
若，则可能为正也可能为负，不成立
所以,
当是递减数列,
当是递减数列,
故选:B.
6．A
【分析】设出圆的方程，利用给定条件用m表示圆的半径，并求出半径的取值范围即得.
【详解】依题意，设点，则是方程的两个实根，
，，
显然点，当时，曲线过原点，点与点之一重合，不符合题意，则，
设过三点的圆方程为，由，得，
显然是的两个根，于是，
又，联立解得，又，
因此，而当或时，，
所以过三点的圆的半径的取值范围是，BCD均可能，A不可能.
故选：A
7．D
【分析】设正项等比数列的公比为，推导出，，可得出，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】设正项等比数列的公比为，则，
所以，
，
则，则，可得，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
8．B
【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率.
【详解】由题意可得、，，
则以为圆心且过的圆的方程为，
令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即，
则，即，
有，则，
又，即有，即，
代入，有，即，
即在椭圆上，故，
化简得，由，
即有，
整理得，即，
有或，
由，故舍去，即，
则.
故选：B.

方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率．
9．BCD
【分析】由外观数列的定义可判断A和②；举例子可判断③；由反证法，结合外观数列的定义可判断④.
【详解】对于A，当时，
由外观数列的定义可得：，，，故A错；
对于B，由外观数列的定义可知，每次都是从左向右描述，
所以第一项的始终在最右边，即最后一个数字，故B正确；
对于C，取，则，
此时既是等差数列又是等比数列，故C正确；
对于D，当时，
由外观数列的定义可得：，，，.
设第一次出现数字4，
则中必出现了4个连续的相同数字.
而的描述必须包含“个，个”，显然的描述不符合外观数列的定义.
所以当时，均不包含数字4，故D正确.
故选：BCD
关键点睛：本题考查数列的新定义、根据数列的递推关系式写出数列中的项及利用递推关系式研究数列的性质.解题关键在于理解数列的新定义，明确数列的递推关系式.
10．AC
【分析】设切线求交点根据两根之和判断A选项；特殊值法判断B,C选项；根据定义数形结合判断D选项.
【详解】对于A选项：设,
,,
过点A切线为：①,
过点B切线为:②,
①②得
化简可得
轴,A选项正确.
设
过A点的切线为,过B点的切线为,交点为
AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；
,所以,D选项错误;
作抛物线准线的垂线 ,连接
则
显然 ,所以
又因为由抛物线定义,得,故知 是线段 的中垂线,得到则
同理可证：,，
所以，即,
所以 ,即.
故选:AC.
11．BCD
【分析】
求出函数的导数，由题意可知有2个正数根，从而可得根与系数的关系，结合判别式求得a的范围，即可判断A；求出的表达式，构造函数，结合函数的单调性，即可判断B；求出的表达式，结合根与系数的关系式，即可判断C；将化简为，再结合导数的几何意义判断，即可判断D.
【详解】由题意得，
由于有两个不同的极值点，
即有2个正数根，则，，
故需满足，解得，
对于A，，A错误；
对于B，，故，
令，，
即在上单调递减，故，
即，B正确；
对于C，
，C正确；
对于D，
，
可看作曲线上两点连线的斜率，
由于，，故不妨设，
由于，，则曲线在处的切线斜率为1，
由于，故连线的斜率小于1，即，
所以，即，D正确，
故选：BCD
难点点睛：解答本题的难点时选项D的判断，解答时结合根与系数的关系将转化为，再结合导数的几何意义判断，即可判断该选项.
12．
【分析】先根据与相切，确定的值，再根据直线与相切，确定的值.
【详解】因为与相切.
，设切点坐标为，则切线方程为.
因为切线过原点，所以：，故切点为，所以.
对函数，，由，
根据得切点纵坐标为：，
根据得切点纵坐标为：，
由，又由题可知.
故
关键点点睛：先根据的切线过原点，求出的值；求时，要注意切点即在曲线上，也在切线上，根据纵坐标相等列方程求解.
13．3268
【分析】
由数列递推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.
【详解】由题意可得，作差得，
故
，
故3268
14．
【分析】根据可求得单调递增，得到，可解得；由可知单调性，结合可确定，由此解得；取交集即可得到的范围.
【详解】恒成立，单调递增，
又在上存在唯一的零点，，
即，解得：；
，又，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，即，
解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为.
关键点点睛：本题考查根据函数零点求解参数范围的问题，解题关键是能够结合零点求得单调性，从而确定在区间端点处的符号，由此构造不等式组求得参数范围.
15．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）转化为导函数恒成立问题，分离参数法处理即可.
（2）先用二次函数求和公式化简原式，再利用放缩法证明即可.
【详解】（1）由题意得函数在上是增函数，可得在上恒成立，
而，必有恒成立，
当时，恒成立，
当时，化简得，
而，
令，，令，，
故在单调递减，在上单调递增，
则此时，可得此时，
当时，因，恒成立，
综上.
（2）欲证，
则需证即可，
由将上述不等式整理可得：
即证，
因即，
故即证即可，
令，其中，而，
故在上单调递增，
因，，
故，即得证，
综上必有，
即原不等式得证.
关键点点睛：本题考查用导数解决恒成立与证明不等式，第一小问解题关键是分析题意，转化为恒成立问题，采用分离参数法求解，第二小问解题关键是分析题意，利用求和公式，转化为易证明的不等式问题，再利用放缩法证明即可.
16．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可.
（2）设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出答案.
【详解】（1）设是直线上任意一点，而为直线的方向向量，则有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，即点，
显然，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，所以直线在曲面上.
（2）直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，则有，
从而存在实数，使得，即，
则，解得，即点，
由点在曲面上，得，
整理得，
依题意，对任意的实数有恒成立，
因此，且，解得，或，
不妨取，则，或，即，或，
又直线的方向向量为，
所以异面直线与所成角的余弦值均为.
17．(1)
(2)4
【分析】（1）设，，过点直线方程设为，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0，结合韦达定理，求解点轨迹方程．
（2）根据点斜式可得的坐标，即可根据三角形面积公式得表达式，结合韦达定理，以及二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）设,，过点直线方程设为．
由，解得．
相切．
化简得：．
，
点轨迹方程为．
（2）由（1）知：直线的斜率满足，
且，，
在直线中，令，则，
因此,
故,
所以
,
由于，
当且仅当时，取等号，故面积的最小值为4.
方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用表示出来，然后再利用二次函数的性质求解最值．
18．(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）分析题意，转化为交点问题处理即可.
（2）分析题意，转化为一元函数，求导数研究即可.
【详解】（1）若存在是某个函数的图形，则的方程为，顺时针旋转后，
得到，由题意得与有唯一公共点，
即与有唯一交点，可得一定是单调函数，
且，探得，此时一阶导取得最小值，
故得一定是的拐点，
设，得，
故得，解得，即，故存在唯一的实数，
使得曲线是某个函数的图形得证.
（2）对于，故设，，
设曲线绕点旋转点为，
设，可得，，
则旋转中心为原点时，会变为，
而现在旋转中心为，设的极小值为，
则，
由题意知取，则，而，
设，
，令，，
令，，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然，，得，
由零点存在性定理得一定存在作为零点，
令，，令，，
故在单调递减，在单调递增.
思路点睛：借助参数方程解决旋转问题，
对于，故设，，
设曲线绕点旋转点为.
19．(1)，理由见解析
(2)1
(3)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求出函数所有的切线所构成的集合，联立方程，然后判断解得个数，判断集合和的包含关系.
（2）根据题意，出函数所有的切线所构成的集合，联立方程，根据判别式，求集合中的元素个数.
（3）根据题意，依据单调性和极值证明.
【详解】（1）函数在点（）处的切线斜率为，
切线方程为，
联立和可得，即，解得，
即函数所有的切线与函数有且仅有1个公共点，故.
（2）函数在点（）处的切线斜率为，
切线方程为，
联立和可得，
即有且仅有一个解，易知该解为，
由于方程的判别式，
故，此时，即集合中的元素个数为1.
（3）设，函数在点处的切线斜率为，
切线方程为.
设，函数在点处的切线斜率为，
切线方程为.
令，即，解得，
令，即，
即，令，，
，当且仅当时取到等号，
故在上严格增，，，，
故存在唯一的使得.
下证当时，.
当时，，：，联立和可得，即.
令，，，当且仅当，时取到等号，
故在上严格增，，故有唯一解，即.
当，时，联立和可得，
即.
令，，，
令，解得，.
极大值，
极小值，
极大值.
当，，严格减，，
若，则，，即有个解.
当，，严格增，，
若，则，，即有个解.
当，，
则，即有个解.
当，，
则，即有个解.
故当时，共有个解.
故对任意，，：，
其中，
由于函数具有周期性，同理可以证明存在，使得对任意，，：，根据的任意性可知为无穷集.
本题重点考察函数导数的几何意义，求出切线方程，利用单调性极值综合应用问题.
0
－
0
＋
0
极大值
极小值
极大值