数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课后作业题

这是一份数学第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用课后作业题，文件包含人教A版高中数学必修第二册通关练16解三角形图形类问题原卷版doc、人教A版高中数学必修第二册通关练16解三角形图形类问题解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
解三角形图形类问题
一、单选题
1．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考期中）如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中利用正弦定理得结合平方关系求解即可
【详解】在中，，解得又 所以
故选：B.
2．（2022春·四川成都·高一校联考期中）如图，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先用余弦定理求出，进而求出，再使用进行求解.
【详解】在三角形BCD中，由余弦定理得：，
因为，所以角C为锐角，所以，
在三角形ABC中，
故选：A
3．（2022春·安徽合肥·高一合肥市第八中学校考期中）如图，在中，是边上的点，且，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题中条件，在中先由余弦定理求出，利用同角三角函数关系求出，利用正弦定理可求出，然后在中利用正弦定理求解
【详解】解：设，则，
在中，由余弦定理可得，，
所以 ，
在中，由正弦定理得，，
则 ，
所以，
在中，由正弦定理得，，则
，
故选：D
【点睛】此题考查了正、余弦定理，同角三角函数的关系等知识，考查了计算能力，考查了数形结合的思想，属于中档题.
4．（2022春·浙江温州·高一校联考期中）在中，为边上一点，，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理求得，继而求出，再根据三角形外角定理，结合两角和的正弦公式，求得答案.
【详解】如图示：
在 中，由正弦定理得： ,
故 ,而,故只能是锐角，
故，
所以
，
故选：C
5．（2022春·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）在梯形中，，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得, 两式相除化简即得解.
【详解】解：令
.
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得,
两式相除得
所以.
故选：A
6．（2022春·福建泉州·高一校联考期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（ ）
A．1B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出.
【详解】设，在中，由正弦定理可得①，
由可得，则，，
在中，由正弦定理可得②，
①②两式相除，得，即，
整理得，化简得，故.
故选:C
【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题.
二、多选题
7．（2022春·北京昌平·高一校考期中）（多选）如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且．若点D在外，，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．
C．四边形面积的最大值为
D．四边形面积无最大值
【答案】ABC
【分析】由正弦定理化简原式可得，得，从而.
利用面积公式及余弦定理，列出，通过三角函数的值域求出面积最大值即可.
【详解】因为，由正弦定理得：
，
所以，整理得，
所以．因为，
所以，故，
所以，因此A和B正确，
四边形面积等于

．
因此C正确，D错误．
故选：ABC.
8．（2022春·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期中）如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（ ）
A．B．BD=2
C．D．△CBD的面积为
【答案】AC
【解析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，利用余弦定理求得的值，再计算，由同角的三角函数关系求出，根据直角三角形边角关系求出，，的值，再计算的面积从而得解．
【详解】解：由，得：，
又角为钝角，
解得：，
由余弦定理，得：，
解得，可知为等腰三角形，即，
所以，
解得，故正确，
可得，
在中，，得，可得，故错误，
，可得，可得，故正确，
所以的面积为，故错误．
故选：AC．
【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利用求三角形的面积．
9．（2022春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期末）已知中，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．的面积为
C．
D．在的外接圆上，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用余弦定理计算，利用余弦定理计算，判断A；根据面积公式计算三角形的面积，判断B；利用正弦定理计算，判断C；设，用表示出，，得出关于的三角函数，从而得到的最大值，判断D.
【详解】在三角形中，由余弦定理，
，故，故正确；
在中，由余弦定理得：，
，故正确；
由余弦定理可知：，，
平分，，
，
在三角形中，由正弦定理可得：，
故，故不正确；
，，，，
，
为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，
显然当取得最大值时，在优弧上．
故，设，则，，
，
，，
，其中，，
当时，取得最大值，故正确．
故选：．
10．（2022春·浙江杭州·高一学军中学校考期中）在中，若，角的平分线交于，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的面积是B．若，则的外接圆半径是
C．若，则D．的最小值是
【答案】ACD
【分析】A、B、C选项由已知结合正弦定理和差角公式及同角的基本关系进行变形即可判断，D选项用角表示出结合三角恒等变换以及均值不等式即可判断.
【详解】因为，角的平分线交于，所以，，所以，，
由正弦定理得，
所以，
所以，故A正确；
因为，所以，设的外接圆半径是，由正弦定理，，所以，故B错误；
因为，由正弦定理，因为和互补，所以，所以，故C正确；
设，则，
因为，
所以
若，则，
若，则
，令，，
，当且仅当，即或时，则或，故或（舍去），
综上：当为等边三角形时，的最小值是，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
三、填空题
11．（2022春·吉林·高一吉林毓文中学校考期中）在四边形中，已知，，，，，则的长为______．
【答案】##
【分析】在中，利用余弦定理可构造方程求得，由角度关系知；在中，利用余弦定理可解得结果.
【详解】
在中，由余弦定理得：，
即，解得：（舍）或；
，，，又，，，
在中，，.
故答案为：.
12．（2022春·广东茂名·高一化州市第一中学校考阶段练习）在中，点D在边上，，则的长为_______．
【答案】5
【分析】设，则，则在直角三角形中可得，在中，由余弦定理可得，再由，可得，解方程可求出的值，从而可得的长
【详解】如图，在中，，设，则．
在中，因为，所以．
在中，，
则．
因为，所以，
即，解得，所以的长为5．
故答案为：5
13．（2022春·江苏扬州·高一校考阶段练习）如图所示，在中，，则的长是_______．
【答案】．
【分析】过作于点，通过解直角三角形可得结论．
【详解】过作于点，如图，
因为，所以，
又，所以，所以，而，则，
所以．
故答案为：．
14．（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）在中，为边上一点，.若的面积为，则_____，________.
【答案】
【分析】根据面积公式得到，，再利用余弦定理求，再求出，在中，用余弦定理可求.
【详解】解：，则，
，
故，.
根据余弦定理：，
故
在中，.
在中，
所以
故答案为：；.
【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式，意在考查学生的计算能力；基础题.
15．（2022春·北京·高一校考期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．
【答案】
【分析】直接利用正弦定理和三角函数的值，即可得答案．
【详解】设则，，，，
如图所示：
过点作，在中，
所以，解得，
所以，
在中，利用正弦定理，
，整理得．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题关键掌握正弦定理在几何中的基本运用．
16．（2022春·福建厦门·高一福建省同安第一中学校考阶段练习）如图，在凸四边形中，，为等边三角形．则当四边形的面积最大时，______．
【答案】
【分析】设，则，易得，，建立四边形的面积，由三角函数的性质求解.
【详解】设，则，
由题意可知的面积．
在中，根据余弦定理，
可得，
则的面积，
所以四边形的面积．
当时，四边形的面积最大，
此时，．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用分割法建立，由三角函数的性质而得解.
17．（2022春·黑龙江黑河·高一校联考期中）三角形中，是边上一点，，，且三角形与三角形面积之比为，则__________.
【答案】
【分析】根据角平分线定理可得，再两次利用余弦定理即可得答案；
【详解】因为为的平分线，故.
又，整理得，
所以，故.
又，则.
故答案为：.
【点睛】本题考查角平分线定理和余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
18．（2022春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a．b，c，若csA＝，B＝2A．b＝3，若点M在边BC上，且AM平分∠BAC，则△ABM的面积为____________．
【答案】
【分析】由平方关系求出，由二倍角公式求得，由正弦定理求得，用诱导公式求出，由正弦定理求出，用三角形内角平分线定理求出，由三角形面积公式计算即得．
【详解】∵csA＝，B＝2A．b＝3，
∴，，
由得，
∵，∴，∴，
∴，
∴．
由正弦定理得．
又平分，∴，又，
∴，
∴．
故答案为：
19．（2022春·河南安阳·高一统考期末）如图，在中，，点在边上（与不重合），延长到，使得，若（为常数），则的长度为________.
【答案】2
【分析】在中，运用余弦定理求得，根据向量的线性表示得，继而由向量的数量积运算求得，由此求得m，继而有，设，由B、C、D三点共线，解得，从而求得答案.
【详解】解：因为，
所以，即，
所以，
又在中，，
所以，
又，所以，
又，所以，即，
所以，解得（舍去），
所以，
设，所以，即，
又B、C、D三点共线，所以，解得，所以，
所以，
又在中，，所以是正三角形，
所以，
故答案为：2.
四、解答题
20．（2022·高一单元测试）如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，，，已知，，°
(1)求的值；
(2)求sinC的值；
(3)若D为边BC上一点，且cs∠ADC=，求BD的长.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理即可求解.
（2）由正弦定理即可求解.
（3）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出DO和BO即可.
【详解】（1）由余弦定理得：＝7
∴
（2）由正弦定理：得.
（3）如图所示：
过A作AO⊥BC于O，在Rt△ABO中，AB＝，∠B＝300，
∴，，在Rt中，=.
∴
∴
∴
21．（2022春·山东滨州·高一统考期末）如图，在圆内接四边形ABCD中，，，，的面积为.
(1)求AC；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式可得，再根据余弦定理求解可得；
（2）根据内接四边形可得 ，再根据正弦定理求解即可
【详解】（1）因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由余弦定理得，，
，所以.
（2）因为ABCD为圆内接四边形，且，所以.又，由正弦定理可得，，故.因为，所以，所以.
22．（2022春·上海普陀·高一上海市晋元高级中学校考期末）三角测量在三角学与几何学上是一种借由测量目标点与固定基准线的已知端点的角度，测量目标距离的方法.如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图，其中，由于实际情况，其它的边和角无法测量，以下为可测量数据：①；②；③.请根据以上数据求出的面积.
【答案】
【分析】根据正弦定理可得，再根据两角和的正切公式求解，进而得到求出的面积即可．
【详解】解：在中，由正弦定理，可得
所以，
因为，，
所以，
故．
23．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.
(1)若，求的长；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；
（2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.
【详解】（1）解：在中，，且，所以.
因为，，所以.
在，由正弦定理可得，
所以.
（2）因为，所以，
所以，即：，可得.
在中，由余弦定理可得，
所以，解得或（舍去）.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得
所以的周长为.
24．（2022春·福建宁德·高一统考期末）在中，角所对的边分别为，.
(1)判断的形状，并加以证明；
(2)如图，外存在一点D，使得且，求.
【答案】(1)直角三角形，证明见解析
(2)5
【分析】（1）根据正弦定理以及正弦的和角公式即可求解，或利用余弦定理求解；
（2）根据正弦定理以及余弦定理即可求解，或作，求出DF，结合中垂线性质即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得
又，所以
化简得：，，
所以，，
所以，是直角三角形
方法二：
在中，由余弦定理得
整理得，
所以， 是直角三角形
（2）方法一：
在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题（1）知，.
在中，由余弦定理得
.
所以.
方法二：
作 ，垂足为 ， ，垂足为,则，
在中
所以，为的中垂线
所以
25．（2022·高一单元测试）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，且．
(1)求角的大小；
(2)若点在边上，满足，且，，求BC的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角结合同角三角函数公式，得角A，B的正切值关系，又由三角形内角关系结合诱导公式及和差角公式，得角B的正切值，根据范围求解即可；
（2）解法一：利用平面向量数量积及几何关系，将所求线段长转化为向量的模长求解，根据（1）的结论，选角B的两临边作基底向量，按照数量积运算求解；解法二：利用邻补角互补结合余弦定理解三角形，列方程求解即可.
【详解】（1）解：∵，
由正弦定理得，则
∵，，
∴，即
∴，即．
整理，得，即
解得或
∵，∴C为钝角，为锐角，
∴，即
（2）解：（方法一）由题意，得
∵，∴
∴．
∵，，
∴
整理，得
∴．
∴或（舍）
故．
（方法二）由知，是的中点
∴设，
在中，，，
由余弦定理得：，即①
又∵，∴
在和中，由余弦定理得：，即②
由①②得：，解得或（舍）
故.
26．（2022春·浙江温州·高一统考期末）在①，②，③， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中并求解． 问题： 如图， 在中， 角所对的边分别为是边上一点， ， ， 若_________，
(1)求角A的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：用余弦定理可得；选②：由内角和定理化简，再由二倍角公式可得；选③：由正弦定理边化角可得；
（2）由已知结合（1）可求，再由正弦定理可得b、c比值，利用余弦定理可表示出a，然后由已知和余弦定理可解.
【详解】（1）选①：由题知；
选②：，因为，，
所以；
选③：由正弦定理边化角可得：，同②可得.
因为，所以
（2）因为，，
所以由解得
所以
所以
记
则，即
因为，所以
所以，得
所以
因为，所以，所以
27．（2022春·辽宁葫芦岛·高一校联考阶段练习）如图，在△ABC中，，，，点D在线段AB上．
(1)若，求的值；
(2)若，求CD的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理求得，可得，再由正弦定理即可求得答案；
（2）由求得，再由余弦定理求得答案案.
（1）
在△ABC中，由余弦定理可得，
而 ，所以．
在△BCD中，由正弦定理可得，
解得．
（2）
因为，所以，
在△BCD中，由余弦定理可得，
所以．
28．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第三十一中学校联考期中）如图，在中，，，且点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的值，求出和，利用正弦定理可求得的长；
（2）由已知可得出，结合三角形的面积公式以及已知条件可求得、的长，利用余弦定理可求得的长，进而可求得的长，再利用三角形的面积公式可求得结果.
（1）
解：，，则，
，解得，，
，，
在中，由正弦定理可知得.
（2）
解：由得，所以，
因为，，所以，，
在中，由余弦定理得，
即，得，所以，
.
29．（2022春·福建厦门·高一厦门一中校考阶段练习）在平面四边形ABCD中，，，.
(1)若△ABC的面积为，求AC；
(2)若，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用三角形面积公式有，可求，由余弦定理即可求；
（2）设，在中，在△中应用正弦定理有，即可求，得解.
【详解】（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，
.
（2）设，则，
在中，，易知：，
在△中，由正弦定理得，即，
，可得，即.
.
30．（2022春·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考阶段练习）在平面四边形中，为等边三角形，设.
(1)求四边形面积的最大值，以及相应的值；
(2)求四边形对角线长度的最大值，以及相应的值.
【答案】(1)；；
(2)；
【分析】（1）由三角形面积公式结合余弦定理列式计算，将四边形面积转化为三角函数的值域问题求解；（2）由正弦定理与余弦定理列式计算，然后转化为三角函数的值域求解.
【详解】（1）由题意，为等边三角形，∴，
在中，，
∴，，
∴四边形面积为
，
因为，∴，即时，
四边形面积最大，此时
（2）设，由正弦定理得，
由余弦定理得，，
∴，，
当，即时，，
即的最大值为.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
31．（2022春·北京·高一中关村中学校考阶段练习）市政部门要在一条道路路边安装路灯，如图所示截面中，要求灯柱AB与地面AD垂直，灯杆为线段BC，，路灯C采用锥形灯罩，射出光线范围为，A､B､C､D在同一平面内，路宽米，设.
(1)求灯柱AB的高；
(2)市政部门应该如何设置的值才能使路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？（结果精确到0.01）
【答案】(1)
(2)，最小值约为米
【分析】（1）在中，表示出，由正弦定理求得，即可在中由正弦定理求得答案；
（2）在中，由正弦定理表示出BC，继而可得的表达式，结合三角函数的性质，即可求得答案.
(1)
在中，，
由，得，
在中，，由，
得.
(2)
中，由，得,
∴

,
∵，∴，∴当时，取得最小值,
故路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小，最小值约为米.
32．（2022春·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）在平面四边形中，，，．
(1)若的面积为，求；
(2)记，若，，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式可求得，然后利用余弦定理可求得的长；
（2）求得，，在中利用正弦定理可得出关于的等式，即可解得的值.
(1)
解：，解得，
由余弦定理得，因此，.
(2)
解：在中，，
在中，，
由正弦定理得，即，
所以，，即，故.
33．（2022春·北京·高一北京市第十二中学校考期末）已知中，点在边上，，，
(1)若，求的值；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由求得，结合已知可得为正三角形，利用余弦定理求得，再由正弦定理即可求得答案.
（2）由余弦定理可求得，设，转化为有正实根的问题，分类讨论求得参数t的范围，即可求得答案.
(1)
由可得，由于，
故为正三角形，而，故 ,
则 ,
故 ,
所以 ,则；
(2)
设，则，
所以 ，
,
故，设，
则，即有正实根，
当时， 不合题意，舍去；
当时，若方程有两正实根，则 ，
解得 ，此时，
故方程有两异号根时，，解得，
当时，方程为，两根为0和4，符合题意，
综合上述，,
故的最小值为,则的最小值为.
34．（2023·高一单元测试）如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设，求面积的最大值及此时的值.
【答案】（1）；（2）时，取得最大值为
【分析】（1）在中，，，由余弦定理即可求边长PC；
（2）在中，利用正弦定理，得到，，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.
【详解】（1）在中，，，
由，
得，解得；
（2）∵，∴，
在中，由正弦定理得，即，
∴，又，，
记的面积为，则，
∴时，取得最大值为.
【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.