高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线教学设计及反思，共6页。
课例编号
2020QJ11SXRA041
学科
数学
年级
高二
学期
一
课题
双曲线的应用（2）
教科书
书名：高中数学人教A版选择性必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
赵蒙
北京市第二中学
指导教师
雷晓莉
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：进一步用代数方法解决几何问题，解决简单的直线与双曲线的综合问题，提升分析问题与解决问题的能力．
教学重点：分析并解决直线与双曲线的综合问题．
教学难点：分析并解决直线与双曲线的综合问题．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
4
分钟
10
分钟
8
分
中
3
分钟
内
容
回
顾
问
题
探
究
深
入
探
究
课
堂
小
结
内容回顾
问题1 如何研究直线与椭圆的位置关系？
将直线方程与椭圆方程联立，形成一个方程组，研究方程组解的情况，即可判断直线与椭圆的位置关系．
追问1 由直线方程和椭圆方程联立形成的方程组，我们该如何研究它的解的情况？
由直线方程与椭圆方程联立形成的方程组，是二元二次方程组．
一般地，我们可以通过消元，得到关于（或关于）的一元二次方程，通过一元二次方程研究二元二次方程组．
追问2 具体来说，如何利用一元二次方程的判别式判断直线与椭圆的位置关系？
设直线l：Ax＋By＋C＝0，椭圆C：，
由消去y，得Mx2＋Nx＋P＝0．
记一元二次方程Mx2＋Nx＋P＝0的判别式为Δ，则
Δ＞0 ⇔ 直线与椭圆C有两个不同的公共点；
Δ＝0 ⇔ 直线与椭圆C有且只有一个公共点；
Δ＜0 ⇔ 直线与椭圆C没有公共点．
追问2 当直线与椭圆相交时，如何求两个交点的坐标？
设直线l：Ax＋By＋C＝0与椭圆C：相交于、两点．
由消去y，得Mx2＋Nx＋P＝0．
则Δ＞0，且是方程Mx2＋Nx＋P＝0的两根．
由方程Mx2＋Nx＋P＝0，解出，
分别代入直线方程，得，即得、．
追问3 当直线与双曲线相交时，如何求交点的坐标呢？
与直线和椭圆相交时，求交点的方法类似，这也是本节课要探讨的问题．
例1 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求．
问题2 如何求直线被双曲线所截得的线段的长？
首先，将直线方程与双曲线方程联立，得到一个一元二次方程组；
其次，解方程组，得到两个交点的坐标；
最后，根据两个交点的坐标，及两点间的距离公式求出直线被双曲线所截得的线段的长．
追问1 本题中，怎样表示直线？
直线的倾斜角为，则斜率为，
而双曲线的右焦点为，
直线可用点斜式方程表示为．
追问2 怎样求直线与双曲线的两交点？
将直线方程与双曲线方程联立，得
将代入，
消去，整理，得，
解方程，得，．
将，的值代入①，得，．
于是两点的坐标分别为，．
追问3 由两点的坐标，如何求？
利用两点间的距离公式，可得
追问4 不求两点的坐标，能否求出？
可以
设，，
则

追问4 不求两点的坐标，能否求出？
是方程的两根，
由一元二次方程根与系数的关系，
可知，，
则，
可得．
由一元二次方程根与系数的关系，可得，的表达式，利用，求解很多问题．（例如直线被双曲线截得的线段的中点和长度等）
解题过程中，经常要用到．
追问5 如何求线段的中点？
设，，线段的中点，
则是方程的两根，
由一元二次方程根与系数的关系，可知，
由中点坐标公式，，
则在直线上，，
则线段的中点．
追问6 如何求△的面积？
已求得，再求出边上的高，即可求得面积．
直线的一般式方程为，
则原点到直线的距离为，
则．
追问7 求△的面积，还有其他方法吗？
利用△，△与△的关系,其中△，△有一条长度为3的公共边．
注意，，，
设，，
则，
所以，
由，得，
则．
例2 已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？为什么？
问题3 如何判断点能否作为线段的中点？
将直线方程与双曲线方程联立，消元得到一元二次方程，借助根与系数的关系，表示出线段的中点坐标，再判断点的坐标能否写成这种形式．
追问1 本题中，怎样表示过点的直线？
经过点的直线有两种类：
直线的斜率不存在时，直线方程为；
直线的斜率为时，直线方程为．
追问2 过点的直线一定与双曲线有两个公共点吗？
不一定，直线与双曲线只有一个公共点．
追问3 过点的直线满足什么条件,才能与双曲线有两个公共点？
由
消去，并整理得：
．
当且时，方程组有两解，
此时，直线与双曲线有两个公共点．
追问4 怎样表示线段的中点呢？
,
当且时，
设，，线段的中点，
则，，
而，
故．
追问5 至此，如何判断点能否作为线段的中点？
我们已经求得，
令，解得．
而当时，方程即，．
则当时，直线与双曲线无公共点，不符合题意．
所以，点不是线段的中点．
课堂小结
1．直线与双曲线的综合问题
2．整体思想的应用
3．用代数方法解决几何问题
课后作业
1．直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之和为6，求离心率．
2．已知直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．