数学选择性必修 第一册3.3 抛物线教学设计及反思

这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线教学设计及反思，共7页。
课例编号
2020QJ11SXRA044
学科
数学
年级
高二
学期
一
课题
抛物线应用（1）
教科书
书名：高中数学人教A版选择性必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
苏萌萌
北京市第二十五中学
指导教师
雷晓莉
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：使学生熟练掌握抛物线的几何性质——范围、顶点、离心率、对称性等.
教学重点：初步掌握有关抛物线的解题方法,培养学生分析问题、解决解题的能力.
教学难点：坐标法在解决解析几何问题中的应用.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3
分钟
5
分钟
7
分
中
5
分钟
3
分钟
复
习
引
入
问
题
探
究
类
比
探
究
性
质
推
广
巩
固
练
习
小
结
问题1 抛物线的简单几何性质都有哪些？各种标准方程形式下的几何性质分别是什么？
我们已经学习了抛物线的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程、范围、对称轴、顶点、和离心率
问题2 经过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.
追问1：这条抛物线的对称轴是什么？
开口方向与轴的正方向相同，抛物线在轴右侧，对称轴为轴.
追问2：如何证明一条直线平行于轴？
直线斜率为0，直线上任意两点纵坐标相等，等等.
因此，本题可证明点，点的纵坐标相等.
追问3：如何求点，点的纵坐标？
点为直线与抛物线的交点，需要构建直线方程与抛物线方程间的联系.
点为直线与抛物线准线的焦点，需要构建直线方程与准线方程间的联系.
因此，我们从点与焦点弦的关系出发，通过设直线的方程，从而表示点.
追问4：如何设直线的方程便于计算？
不妨将过焦点的直线方程设为，从而避免直线斜率是否存在的分类讨论.
下面我们来具体计算：
设，设直线的方程为，与抛物线方程联立，
得，
所以.即.
直线的方程为，
因为，
所以直线的方程为.
令，得点纵坐标为.
所以.所以直线平行于轴.
即直线平行于抛物线的对称轴.
方法提炼：本题揭示了处理解析几何问题的核心方法——坐标法.求解中将直线与轴平行问题转化为两点纵坐标相等，借助根与系数的关系，整体代换进行求解.
在顺利完成本题的解答后我们又想到，这个结论在一般的抛物线方程中是否仍然成立？
问题3 经过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，经过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴.
分析：我们以抛物线为例进行证明.
依然用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图所示的直角坐标系，只要证明点的纵坐标与点的纵坐标相等即可.
方法一 如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.
设，设抛物线的方程为，①
设过焦点的直线方程为，②
联立①②，消去，可得.
所以.
即.
直线的方程为，
因为，
所以直线的方程为.
令，得点纵坐标为.
所以.
所以直线平行于轴.
即直线平行于抛物线的对称轴.
其他抛物线形式也可以类似得到证明，请同学们课下完成.
追问1：你还有其他证明方法吗？
从点与抛物线的关系出发，通过设点的坐标，得到直线，直线方程，联系抛物线方程和准线方程，从而表示点，点.
追问2：点坐标如何表示？
因为点是抛物线上的点，所以.
追问3：为什么用含有的式子表示点坐标？
因为本题要求证的是平行关系，只需证明纵坐标相等，因此我们倾向于用纵坐标表示点坐标.
方法二 如图，以抛物线的对称轴为轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为， 设点的坐标为，
则直线的方程为，①
抛物线的准线方程是.②
联立②③，可得点的纵坐标为.
因为焦点的坐标是，
当时，直线的方程为③
联立①④，消去，可得，
所以.
即.
所以.
于是平行于轴.
当时，易知结论成立.
所以，直线平行于抛物线的对称轴.
方法提炼：问题3是抛物线的一个性质，由这个性质我们发现经过抛物线的焦点和顶点的直线很重要.本题的求解采用了坐标法，通过代数运算解决问题，把平行关系转化为坐标间的关系.
问题4 过抛物线焦点的一条直线与它交于，经过点作垂直准线于点，求证三点共线.
追问1：如何证明三点共线？
（1）且有公共点：但是要考虑斜率是否存在.
（2）且有公共点：此方法更普遍适用.
追问2：如何证明？
如果向量，那么向量与向量共线的充要条件是：存在唯一实数，使得.
这个充要条件可以用坐标表示：设，则.
因此我们只需证明与的坐标满足此关系.
追问3：如何求与的坐标？
需要先求得点，点坐标.
追问4：如何求解点的坐标？
追根溯源，点是过点作准线的垂线得到的垂足，因此点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同.
因此问题又转化为以点坐标出发，联系直线与抛物线的关系，表示点和点坐标的问题.
我们不妨循着问题3方法二的思路，具体计算：
设点的坐标为，
则.
所以.
当时，易知结论成立.
当时，直线的方程为.
联立 消去，可得，
所以.
即.
将代入，得.
所以.
因为，
所以.
又与有公共点，
所以三点共线.
本题也可以通过斜率的相等来求证，请同学们课下完成.
小结：解析几何的核心方法——坐标法
用代数法解决几何问题，其核心的解题方法是坐标法．所谓坐标法，就是建立平面直角坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何问题转化为代数问题，利用代数工具、方法研究并获得结论，然后再解释几何对象的过程．因此，用坐标法解决圆锥曲线问题时，建立在几何直观基础上的运算是有效解题的关键，这里的运算具有“数形结合”的特征，而不仅仅是代数运算.