高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线教案及反思，共6页。
课例编号
2020QJ11SXRA044
学科
数学
年级
高二
学期
一
课题
抛物线应用（2）
教科书
书名：高中数学人教A版选择性必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2020年5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
苏萌萌
北京市第二十五中学
指导教师
雷晓莉
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：掌握求轨迹问题的一般步骤.
教学重点：坐标法在解决圆锥曲线问题中的应用.
教学难点：与抛物线有关的实际问题.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
问题1 如图，已知定点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，轴于点，于点，与相交于点，求点的轨迹方程.
追问1：什么是轨迹方程？
符合一定条件的动点所形成的图形,或者说符合一定条件的点的全体所组成的集合,叫做满足该条件的点的轨迹.
因此我们知道，要求得点的轨迹方程，需要我们先研究点的运动规律满足的等量关系，再通过设点的坐标来表示该等量关系.
追问2：点满足的几何条件是什么？
点在上，因此点的坐标满足直线的方程.
追问3：直线的方程如何求？
我们知道两点确定一条直线，因此我们需要求出点的坐标.
追问4：点的坐标是什么？
点的横坐标与点的横坐标相同，是.
点的纵坐标与点的纵坐标相同， 因此我们需要求出点的坐标.
追问5：点的坐标是什么？
点的横坐标与点相同，点的纵坐标未知，需要我们设出.
但因为点在线段上运动，因此点的坐标满足方程，因此问题的解决的关键是要先将直线的方程写出，从而表示点的坐标，进一步得到点的坐标，直线方程，以及点的运动轨迹.
下面，我们先设出点，点的坐标，在两点各自满足的方程之间实施转化与联立，具体计算一下：
解：设点，其中，则点的坐标为.
由题意，直线的方程为.①
因为点在上，将点的坐标代入①，
得，②
所以点的横坐标满足②.
直线的方程为，③
因为点在上，所以点的坐标满足③.
即.④
将②代入④，消去，得.
即.
我们用表示，代入到上面满足的关系式
所以点的轨迹方程为.
方法提炼：解决求轨迹问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把未知的点设出；
(3)找出满足的条件，比如距离、角度的关系等等；
(4)把点坐标代入到上面的条件中；
(5)把代入点坐标后的条件进行化简，从而得到所需问题的答案.
知识拓展：本题中，设点关于轴的对称点为，则方程，此时图形关于轴对称，与之对应的轨迹是常见的抛物拱.抛物拱在现实中有很多原型，如拱桥，卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分.

问题2 如图，吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一段，宽为，高为.根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程.
追问1：如何求抛物线的标准方程？
观察图形，抛物线的焦点在轴上，开口与轴正方向相同，因此我们不妨设抛物线方程为.
追问2：如何求？
观察图形，写出抛物线上点的坐标，例如利用点，点坐标，即可用待定系数法求解.
我们具体计算一下：
解：设抛物线的方程为.
因为点在抛物线上，
所以.
所以.
解得.
所以这条抛物线的方程为.
小结：求解与抛物线相关的实际应用问题时，我们应认真审题，找出有关的抛物线，建立适当的坐标系，并根据建系的情况（例如焦点的位置，开口方向等特征），设出抛物线的标准方程，依据已知条件求出系数的值，再将求得的值带入到所设方程求得抛物线的标准方程，利用抛物线的标准方程可以解决很多实际实际问题.
比如来看问题3：
问题3 图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.水面下降后，水面宽多少？
追问1：拱桥满足哪种曲线方程？
观察图形不难发现，本题中的抛物线形拱桥应该满足抛物线的标准方程.这个方程是在平面直角坐标系中得到的.
追问2：如何建立适当的平面直角坐标系？
由抛物线标准方程的推导过程我们可以知道，让抛物线的顶点与原点重合，焦点在轴上.
让我们来分析一下这道题：
本题要解决的实际问题是在抛物线形拱桥中，当水面下降1m，求水面宽度的变化，在建立平面直角坐标系后，可以将问题转化为：当减少1时，求的变化，问题中涉及与的关系需要我们求出抛物线的方程才能得到解答.
追问3：如何求抛物线的标准方程？
观察抛物线的标准方程，我们知道，它只含有一个待定的系数 p ，因此类比前面问题的求解方法，我们在设出抛物线的标准方程后，需要找到该抛物线上一点的坐标代入求解.观察图形我们可以看到，水面下降前与抛物线的接触点有2个，用其中任意一个点的坐标都可以确定 p 的值，从而得出抛物线的标准方程.
我们具体计算一下：
如图所示，在抛物线形拱桥上，以拱桥的顶点为坐标原点，
水平方向为轴，竖直方向为轴，建立平面直角坐标系.
设该抛物线的方程为.
因为拱顶离水面，水面宽，
所以点在抛物线上.
将代入抛物线方程，
得.
即.
所以.
所以.
水面下降后，水面与抛物线的接触点的纵坐标由变为，
所以.
即.
所以水面下降后，水面宽为.
方法提炼：本题以实际问题为载体，给出了现实生活中的“抛物拱”，是抛物线的具体应用.处理本题时，我们需要利用待定系数法求解抛物线方程，解题中利用点的坐标，曲线与方程的对应关系，先建立适当的平面直角坐标系是解决问题的关键.除此之外，在应用数学模型解决实际问题时，还应注意变量的取值范围和单位.
本节课小结
1. 求轨迹问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把未知的点设出；
(3)找出满足的条件，比距离、角度关系等等；
(4)把点坐标代入到上面的条件中；
(5)把代入点坐标后的条件进行化简，从而得出所需问题的答案.
2. 我们应多关注圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题时的作用，例如在本节课的学习中，我们将抛物线形拱桥转化为抛物线模型，利用抛物线的方程及性质，通过建立适当的平面直角坐标系，将实际距离准确地转化为点的坐标，同时因为有了坐标系我们可以更好地用抛物线的标准方程对图形进行阐述，便于计算和性质研究.在得到代数计算的结果后，我们可以将代数结论与几何问题相结合，回到实际问题情境，解决实际问题.