山西省忻州市2025届九年级上学期综合素养（三）数学试卷(含答案)

这是一份山西省忻州市2025届九年级上学期综合素养（三）数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
2．用配方法解方程时,配方结果正确的是( )
A.B.C.D.
3．如图,管中放置着三根同样的绳子,,,小明和小张两人分别站在管的左右两边,各随机选取该边的一根绳子,若每边每根绳子被选中的机会相等,则两人选中同一根绳子的概率为( )
A.B.C.D.
4．在下列一元二次方程中,没有实数根的是( )
A.B.
C.D.
5．已知的直径为5,若,则点P与的位置关系是( )
A.点P在内B.点P在上C.点P在外D.无法判断
6．抛物线经过平移后得到抛物线,其平移方法是( )
A.向右平移3个单位,再向上平移3个单位
B.向右平移4个单位,再向下平移3个单位
C.向左平移3不单位,再向上平移3个单位
D.向左平移4个单位,再向下平移3个单位
7．小亮新买了一盏亮度可调节的台灯(图①),他发现调节的原理是当电压一定时,通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗,台灯的电流是电阻的反比例函数,其图象如图②所示.下列说法正确的是( )
A.电流随电阻的增大而增大
B.电流与电阻的关系式为
C.当电阻R为时,电流I为
D.当电阻时,电流I的范围为
8．如图,点A,B,C在上,,连接BO并延长,交于点D,连接,.若,,则的长为( )
A.4B.5C.6D.
9．如图,在正方形中,点E是的中点,以点C为圆心,长为半径作弧,交于点F,连接,.若则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
10．雪花也称银粟,是天空中的水汽经凝华而来的固态降水,多呈六角形,是一种美丽的结晶.美术课要求绘制雪花,小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系,绘制菱形,且顶点B的坐标为,点A在第一象限,,将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转,每次旋转,旋转第一次得到四边形(点与点A重合),则旋转第2024次得到的点的坐标是( )
A.B.C.D.
二、填空题
11．若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是______.
12．有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶,分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液.小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个,则抽到的2个都是酸性溶液(稀硫酸溶液、稀盐酸溶液)的概率是______.
13．如图,是等边三角形,且OA与x轴重合,点B是反比例函数图象上的点,则的周长为______.
14．一个圆锥的母线长为5,侧面展开图的面积是,则该圆锥的底面半径为______.
15．如图,正方形中,点E是的中点,与关于所在直线对称,连接,将线段绕点C顺时针旋转得到线段,连接,射线交于点.若,则线段的长为______.
三、解答题
16．解下列方程：
(1)；
(2).
17．如图,已知,是一次函数和反比例函数的图象的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出关于x的不等式的解集.
18．如图,AB为的直径,弦,垂足为点P,直线BF与AD延长线交于点F,且.
(1)求证：直线BF是的切线；
(2)若,,求的半径.
19．年9月日,太原马拉松赛在迎泽大街太原火车站鸣枪开跑,一场城市运动盛会就此拉开帷幕.在志愿者招募阶段,婷婷和娜娜踊跃报名,致力成为太马志愿者一员.他们申请了后勤接待部A.综合协调部B.宣传推广部C.问询志愿者部D四种岗位中某一种岗位的志愿者,被随机分配到以上岗位中的任意一种的可能性相同.
(1)“婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是_____事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)；
(2)请用画树状图法或列表法,求婷婷和娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的概率.
20．如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为米,宽为米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为a米.
(1)当通道宽a为米时,花圃的面积________；
(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于,如果可以,试求出此时通道的宽.
21．“三等分角”是数学史上一个著名的问题,但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角置于直角坐标系中,边在x轴上、边与函数的图象交于点P,以P为圆心、以为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连接得到,则.要明白帕普斯的方法,请研究以下问题：
(1)设,,求直线对应的函数表达式(用含a,b的代数式表示)；
(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q.请说明Q点在直线上,并据此证明
22．如图,某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练,水面边缘点E的坐标为,运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线.在跳某个规定动作时,运动员在空中最高处A点的坐标为,正常情况下,运动员在距水面高度5米之前,必须完成规定的翻腾、打开动作,并调整好入水姿势,否则就会失误,运动员入水后,运动路线为另一条抛物线.
(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式,并求出入水处点B的坐标.
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时,恰好距点E的水平距离为4米,问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由.
(3)在该运动员入水点的正前方有M,N两点,且,,该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为,若该运动员出水点D在MN之间(包括M,N两点),则k的取值范围是______.
23．在等腰和等腰中,,,将绕点C逆时针旋转,连接,点O为线段的中点,连接,.
(1)如图1,当点B旋转到边上时,请直接写出线段与的位置关系和数量关系；
(2)如图2,当点B旋转到边上时,(1)中的结论是否成立？若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由.
(3)若,,在绕点C逆时针旋转的过程中,当时,请直接写出线段的长.
参考答案
1．答案：C
解析：A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形,故此选项符合题意；
D、是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项不符合题意；
故选C.
2．答案：B
解析：移项,得,
配方,,
则.
故选：B.
3．答案：C
解析：画树状图如下：
由树状图可知,一共有9种等可能性的结果数,其中两人选中同一根绳子的结果数有3种,
∴两人选中同一根绳子的概率为,
故选：C.
4．答案：D
解析：A.这里,,,
方程有两个不相等的实数根,不合题意；
B.这里,,,
,
方程有两个不相等的实数根,不合题意；
C.这里,,,
方程有两个不相等的实数根,不合题意；
D.这里,,,
,
方程没有实数根,符合题意,
故选：D.
5．答案：C
解析：,
∵,
点P在外,
故选C.
6．答案：D
解析：,
∴该抛物线的顶点坐标是,
∵的顶点坐标是,
∴平移的方法可以是：将抛物线向左平移4个单位,再向下平移3个单位.
故选：D.
7．答案：D
解析：设反比例函数解析式为：,把代入得：
,则,故B选项错误；
∵
∴当电阻越大时,该台灯的电流也越小,故A选项错误；
当时,,故C选项错误；
由图形观察,当电阻时,电流I的范围为,故D选项正确；
故选：D.
8．答案：C
解析：如图,延长交于点E,
为的直径,点C在上,
,
,
,
平分,
,O为中点,
,,
,
,
设的半径为x,则,,
,
,解得,
,
故选：C.
9．答案：A
解析：∵四边形ABCD为正方形,
∴,,
∵点E是的中点,以点C为圆心,长为半径作弧,交于点F,
∴,
∴
∴,=4,
∴
故选A.
10．答案：C
解析：∵,
∴旋转周期为6个,
,
∴旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同,
如图,旋转第二次得到菱形,
过作轴于H,连接交于K,
四边形是菱形,
,,,
的坐标是,
,
,
,
,
,
,
,
,
的坐标是.
点的坐标是.
故选：C.
11．答案：
解析：由于反比例函数的图象在第二、四象限，
则，
解得：.
故答案为：.
12．答案：
解析：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示,列表如下：
由表可知共有12种可能的结果,其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种,
则抽到的2个都是酸性溶液的概率为.
故答案为：.
13．答案：12
解析：如图,设的边长为a,过B点作轴于点M.
又∵是等边三角形,
∴,,
∴点B的坐标为,
∵点B是反比例函数图象上的点,
∴,
解得(负值舍去),
∴的周长为：.
故答案为12.
14．答案：4
解析：设底面半径为R,则底面周长为：,
圆锥的侧面展开图的面积为：,
故答案为：4.
15．答案：/
解析：如图,连接,
∵,点E是的中点,
∴,
∴,
∵与关于所在直线对称,
∴,,,
∴,
∵线段绕点C顺时针旋转90°得到线段,
∴,,
∴,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为：.
16．答案：(1),
(2),
解析：(1),
,,,
,
方程有两个不相等的实数根,
,
,；
(2),
移项得,,
提取公因式得,,
或,
,.
17．答案：(1),
(2)
(3)或
解析：(1)∵,是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点,
∴,得,
∴,
∴,解得n=2.
∴点,
∴,
解得：,
∴一次函数解析式为,
即反比例函数解析式为,一次函数解析式为；
(2)设直线与y轴的交点为C,当时,.
∴点C的坐标是.
∴；
(3)观察函数图象得,不等式时,x的取值范围为：或,
故答案为：或.
18．答案：(1)见解析
(2)2
解析：(1)证明：,
而.
,
,
,
,
直线是的切线；
(2)连接,如图,
,
,
在中,,
即的半径为2.
19．答案：(1)随机
(2)
解析：(1)婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是随机事件,
故答案为：随机；
(2)列表如下：
由表可得,共有种等可能的结果,其中婷婷、娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的结果有4种,
.
20．答案：(1)800(米2)
(2)5米.
解析：(1)由图可知,花圃的面积为；
当米时,面积(米2)
故答案为：800(米2)；
(2)由已知可列式：,
解得：,(舍去).
答：所以通道的宽为5米.
21．答案：(1)
(2)见解析
解析：(1)由题意可知轴,轴,
可知点M的坐标为,
设直线的解析式为,
把点M的坐标代入,
可得：,
解得：,
直线的解析式为；
(2)证明：由题意得,
当时,,
点Q在直线上,
由题意可知轴,轴,
,
四边形是矩形,
,,
,
,
轴,
,
,
,
,
,
,
；
22．答案：(1)；
(2)不会失误,见解析
(3)
解析：(1)设抛物线的解析式为,
将代入解析式,得,
空中运动时对应抛物线的解析式为,
令,则,
解得(舍去),,
的坐标为；
(2)当距点E水平距离为4米时,对应的横坐标为.
将代入中,得.
,
该运动员此次跳水不会失误；
(3)由题意知,当抛物线经过点M时,k最大.
∵,
∴.
∵,
∴,
此时抛物线解析式为,
将点代入得,
解得,
由题意知,当经过点N时,k最小.
同理可求得,
∴.
23．答案：(1),
(2)成立,证明详见解析
(3)或
解析：(1),,
理由：,
与是直角三角形,
是AB的中点,
,,
,
,
,,
,,
,
在中,,
,
故,.
(2)成立.
证法一：延长交于点F,连接
和是等腰三角形,
,,
∴四边形是矩形
,,
是的中点
,,
,,
∵在中,O是中点
,则
,.
证法二：延长到点M,使得,连接,,,
是的中点
,,
和是等腰三角形,
,,
,,
,,
,,
,.
(3)如下图,当BC在AC左侧时,,
过E作,与它的延长线交于H,连接DE,
∵和为等腰直角三角形,
∴,,
∴,
∴在中,,,
∴,
在中,,
由(2)中的证法2可证得,,
∴为等腰直角三角形,
∴在中,；
如下图,当BC在AC右侧时,0°,
过E作,与它交于H,连接DE,
∵和为等腰直角三角形,
∴,,
∴,
∴在中,,,
∴,
在中,,
∴.
综上所述或.
娜娜
婷婷
A
B
C
D
A
B
C
D