湖南省株洲市第三中学2024-2025学年高一上学期期末质量检测考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省株洲市第三中学2024-2025学年高一上学期期末质量检测考试数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了已知集合，则，函数的定义域为，已知是第四象限角，且，则，若，设，则的大小关系为，已知，则下列不等式恒成立的是，已知函数，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________.
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
3.已知是第四象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
4.若，设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5.若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.若函数的图象的两个对称中心的最短距离为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且为自然对数的底数，则下列命题中真命题的个数为（ ）
①的最大值为1；
②；
③；
④方程有唯一实数根.（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知函数若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.在区间上单调递增
B.的图象关于点对称
C.若，则的最小值为
D.若，则
11.已知奇函数的定义域为，且，若对于任意的且，都有
，则（ ）
A.的图象关于直线对称
B.4为函数的一个周期
C.在区间上单调递减
D.当且时，恒有
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.计算：__________.
13.鲁洛克斯三角形（又称勒洛三角形）是一种特殊三角形，具有神奇的性质，在机械加工业上有广泛的应用，它可以用来制作车轮、钻出方形孔等，分别以正三角形的顶点为圆心，边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形就是鲁洛克斯三角形.如图是一个鲁洛克斯三角形，其中的长度为，则中间正三角形的面积为__________.
14.已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是__________，若这四个零点有如下关系，，则的取值范围是__________.
四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题满分13分）
已知角，角的终边过点.
（1）求与的值；
（2）求的值.
16.（本题满分15分）
设函数.
（1）若，证明：函数为奇函数；
（2）若，对任意，使得成立，求实数的取值范围.
17.（本题满分15分）
近年来，伴随着骑行运动的蓬勃兴起，越来越多的体育爱好者投身于骑行的行列中，“2024环太湖国际公路自行车赛”更是为广大骑行爱好者提供了一场精彩绝伦的体育盛宴.科学研究表明：骑行运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为调整阶段.现一体重为60千克的专业骑行运动员进行4小时骑行训练，假设其稳定阶段是速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），调整阶段由于体力消耗过大，速度变为的减速运动（表示该阶段所用时间）.调整阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
（1）请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
（2）该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？
18.（本题满分17分）
已知函数的图象关于点对称，
且函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的值域；
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在区间上的根从小到大依次为，，求的值.
19.（本题满分17分）
已知定义域为的函数，若存在实数，使得对任意，都存在满足，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，并说明理由；
①；②.
（2）若函数在区间上具有性质，求实数的取值范围；
（3）若存在唯一的实数，使得函数，在区间上具有性质，求实数的值.
2024年高一第一学期期来质量捡测考试
数学参考答案
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1.A 【解析】，故选A.
2.C 【解析】由题意得，解得，故选C.
3.B 【解析】，由是第四象限角得，故选B.
4.C 【解析】，故选C.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
C
B
C
B
A
C
D
BC
ACD
ABD
5.B 【解析】在区间上单调递增，且存在零点，得，故选B.
6.A 【解析】设函数的最小正周期为，由题意可知，可得，
则，故选A.
7.C 【解析】由题意可知又分别是定义在上的奇函数和偶函数，
则解得，故①错误；，故②错误；
，故③正确；
，
，解得，故④正确.故选C.
8.D 【解析】在上单调递减，且，而在上单调递增，要使存在最小值，结合分段函数的图象可得：，即，故选D.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.BC 【解析】对于A，，但与不能比较大小，故A不一定成立；
对于B，，故B成立；对于C，由题意得，故C成立；
对于D，由，但符号不确定，故D不一定成立.
10.ACD 【解析】选项A：令，解得，故的单调递增区间为，取，则在区间上单调递增，故选项A正确；选项B：令，则，
取，则有，因此的图象关于点对称，故选项B不正确；
选项C：若，则在和处分别取最大值和最小值，因此，故，选项C正确；
选项D：若，则是函数的零点，
故，选项D正确.
11.ABD 【解析】选项A：因为是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，由，得的图象关于直线对称，由对称性可知，函数的图象关于点成中心对称，故A正确；
选项B：由与，得，
所以，则4为函数的一个周期，故B正确；
选项C：因为对于任意的且，都有，所以在区间上单调递减，又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，所以在区间上单调递减，因为的图象关于直线对称，则在区间上单调递增，故C错误；
选项D：由上可知点是的对称中心，又因为，所以，故D正确.
三､填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12.6 【解析】原式.
13. 【解析】设中间正三角形的边长为，则有，解得，所以.
14. （第1空2分，第2空3分）
【解析】由图象可知，要使函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，则需.
由二次函数的对称性可知，，由对数函数的图象及性质可知，，则
，函数在上递减，在上递增，故其值域为.
四､解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1）.
由三角函数的定义，.
（2），
，
，
，
所以.
16.【解析】（1）当时，函数，
因为，则，所以的定义域为，
对任意，有，
所以是奇函数.
（2）当时，在上单调递增，证明如下：
证明：（法一）当时，恒成立，故函数定义域为，
任取，且，则，
因为，
所以在上单调递增.
（法二）当时，函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
从而函数在上单调递增.
因为对任意恒成立，所以恒成立，
①当时，显然成立；
②当时，得.
综上所述，实数的取值范围为.
17.【解析】（1）由题意写出速度关于时间的函数
代入与公式可得
即
（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中；
②调整阶段，
则有，
当且仅当，即时，等号成立，
所以调整阶段中体力最低值为，
由于，
因此该运动员在时，体力达到最低值，为.
18.【解析】（1）由题意，函数，因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以最小正周期，可得，
因为函数的图象关于点对称，所以图象过点，可得，
所以，因为，所以，所以函数.
（2），
令，
则，所以原函数可化为，
因为对称轴是直线，所以当时，，
当时，，
即的值域是.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，
（法一）由方程，可得，所以，或，
即或，
因为，且，
所以，符合题意，
所以.
（法二）对于方程，方程的根可以转化成在区间上的零点，由的图象可知函数有6个零点，且相邻的两个零点关于对称轴对称.
令，得，
因为，所以这五条对称轴分别为，
所以
.
19.【解析】（1）①函数不具有性质.理由如下：
对于，取，对于任意，有，所以不存在满足，所以函数不具有性质.
②函数具有性质.理由如下：
因为的定义域与值域均为，
所以对于任意，有，
则必存在，使得，即成立.
所以函数具有性质.
（2）因为函数在区间上具有性质，
所以对任意，都存在使得，即，可得，
因为，所以，又，所以，
即解得，
所以实数的取值范围为.
（3）由题意，对于任意，存在满足，所以，
由，则，设的值域为，则.
（i）：当时，的值域为，此时，
解得，不符合题意；
（ii）：当时，图象的对称轴为，开口向上且，
值域为，此时，解得，不符合题意；
（iii）：当时，的对称轴为，开口向下，
①当，即时，
，值域为，
所以，得到
由的唯一性，得，解得或（舍去），
②当，即时，
，值域为，
所以，得到
由的唯一性，得，解得，不符合题意.
③当，即时，
，值域为，
所以，得到
由的唯一性，得，解得，符合题意.
综上所述，或.