湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学（B卷）试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学（B卷）试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试范围：必修一、二，选择性必修一~选择性必修二5.2）
时量：120分钟 满分：150分
得分：______
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.已知（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A.B.1C.D.
3.在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若，则（ ）
A.B.C.D.
4.在下列函数中，周期为的函数是（ ）
A.B.
C.D.
5.有一道数学难题，学生甲解出的概率为，学生乙解出的概率为，学生丙解出的概率为，若甲、乙、丙三人独立去解答此题，则（ ）
A.三人都解出的概率为B.没有人能解出的概率为
C.恰有一人解出的概率为D.恰有两人解出的概率为
6.在正四棱台中，，，，则（ ）
A.B.2C.D.
7.已知等比数列的前项和为，，，数列满足：，
且数列的前项和为，若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中、有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.当变化时，指出方程表示的曲线的形状，下列说法正确的是（ ）
A.存在实数使得方程表示轴B.存在实数使得方程表示圆
C.不存在实数使得方程表示椭圆D.存在实数使得方程表示双曲线
10.如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ）
A.点到平面的距离为
B.与所成角的余弦值为
C.三棱锥的外接球的体积为
D.直线与平面所成角的正弦值为
11.已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（ ）
A.B.
C.为奇函数D.为奇函数
选择题答题卡
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列的前项和为，，则______.
13.曲线在处的切线方程为______.
14.如图，在平面直角坐标系中，设，，，为椭圆的四个顶点，为线段靠近原点处的三等分点，若点关于直线的对称点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）已知的三个顶点分别为，，.
（1）求的面积；
（2）求的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
16.（本小题15分）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆.
17.（本小题15分）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
得分
答案
，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题17分）已知双曲线与直线：有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.
（1）求直线的方程（用，表示）；
（2）当点运动时，求点（的横坐标为的横坐标，的纵坐标为的纵坐标）的轨迹的方程；
（3）已知点，若直线不过点且与曲线相交于，两点，并且有，问是否存在直线使得的面积为72？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.
19.（本小题17分）若正整数数列满足：对任意的，都有恒成立，则称数列为“差增数列”.
（1）若1，，，8为“差增数列”，写出所有可能的，；
（2）若“差增数列”满足：，，求的最大值；
（3）对所有可能的“差增数列”，记（表示数集中的最大值），求的最小值.
2024年高二第一学期期末质量检测考试
数学（B卷）参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.C【解析】集合，，则.
2.B【解析】由，得，所以复数的虚部为1.
3.B【解析】，，，.
4.C【解析】A.，周期为；B.，周期为；C.，周期为；D.，周期为，故选C.
5.D【解析】三人都解出的概率为，A错；没有人能解出的概率为，B错；恰有一人解出的概率为，C错；恰有两人解出的概率为，D正确.
6.A【解析】在正四棱台中，，
.（或几何法）
7.D【解析】设等比数列的公比为，易知，由题意可得，
解得，则，，
所以，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
B
C
D
A
D
A
ACD
ABD
BC
则，
所以原不等式可转化为对任意的实数恒成立，即恒成立，
解得.
8.A【解析】当时，：，：，此时交点为；
当时，由直线：，斜率为，
由直线：，斜率为，，
又：，直线恒过，
：，直线恒过，
若为，的交点，则，
所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点、点.
综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点，
则圆心为的中点，圆的半径为，
故的轨迹方程为，即，
又，，易知，在该圆内，
又由题意可知圆上一点满足，取，
则，满足.
下面证明任意一点都满足，即，
，
又，
，
，
又，
，
如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立，
即的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ACD【解析】当时，方程表示轴，所以A对；
由，得，且，所以B错；
当，时，方程可写成，
若为椭圆则且，不存在，所以C对；
当或时，方程表示双曲线，D对.
10.ABD【解析】因为菱形中，为的中点，所以，
即将沿折起后，，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，
，.
对于A，设平面的法向量为，则取，得，
所以点到平面的距离为，A正确；
对于B，与所成角的余弦值为，B正确；
对于C，取的中点为，则，所以为三棱锥
的外接球球心，，C错误；
对于D，设直线与平面所成的角为，则，D正确.
11.BC【解析】对于A，因为的对称中心为，则，
将变为得，变形得，故A错误；
对于B，由A知，，结合已知，，
即，令，得，故B正确；
对于C，的图象可由的图象向左平移1个单位长度后，再向下平移2个单位长度，
由的图象关于中心对称知，的图象关于中心对称，即为奇函数，故C正确；
对于D，由，令，得，
即，.
令，定义域为，所以，
所以为偶函数，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【解析】设等差数列的公差为，
由（或用性质法）.
13.【解析】，则，，
故所求切线方程为，即.
14.或【解析】由直线的方程为，直线的方程为，二者联立解得两线交点，再得点，代入椭圆方程化简可得，解得或，所以或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1），
边所在直线的方程为，即，
点到直线：的距离为，
所以.
（2）设圆的方程为，
由题意得，，，
所求圆的方程为，
即，
所求圆的圆心坐标是，半径.
（或用解三角形方法求三角形面积，酌情给分）
16.【解析】（1）由题意知，
由轴，知，，
由，知，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）联立得，
解得，.
设，，
由，在抛物线上知，.
又，，
所以，，，，
所以，，
所以，，
所以，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆.
（其他解法酌情给分）
17.【解析】（1）如图，取的中点为，连接，，设，连接，
易知四边形为正方形，
，
，，，
，
为的中点，，
因为，，平面，平面，
又平面，平面平面.
（2）易知，又，，，平面，
平面，
如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则取得，
设平面的法向量为，
则取，得，
设平面与平面所成的角为，则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
（其他解法酌情给分）
18.【解析】（1）将代入，
整理得，
因为，是双曲线与直线的唯一公共点，
所以，即，
解得点的坐标为，即，其中，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为，
即.
（2）由（1）可得，，所以，
即，，所以，
即，其中.（没有扣1分）
（3）易知直线的斜率不为0（若直线的斜率为0，易知，与矛盾），
设直线的方程为，，，
则由得，其中，
由，可得，
所以，
，
由，，
代入并化简，得，
所以，（不合题意，舍去），
所以直线恒过定点，
设定点为，则可得的面积
，
并由，得，
，解得或，
所求直线的方程为或.
19.【解析】（1）依题意，因为数列1，，，8为“差增数列”，则
注意到，故所有可能的，为
或或或
（2）由题意知，当时，
，
即，，
当时，，当时，，
则当时，，
故正整数的最大值为65.
（3）令，由题知，，
则，
此时有
，
故，
另一方面，当，，…，，，，…，时，
取，则，，，
且，
所有综上，的最小值为511567.