山西省朔州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

这是一份山西省朔州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了本卷主要考查内容， 点在平面直角坐标系中位于， 已知函数满足，当时，，则， 已知，，，则，，的大小关系为， 函数的定义域为，若满足， 已知，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
4.本卷主要考查内容：必修第一册.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】，
故选：C.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数与对数函数的性质解不等式求出集合，利用交集的运算求出结果.
【详解】∵，
，
∴.
故选：A.
3. 已知，则的最大值为（ ）
A B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解.
【详解】由题意得，，即，
当且仅当，即或时等号成立，
所以的最大值为.
故选：B
4. 函数的减区间为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再由复合函数的单调性求解.
【详解】令，解得或，则的定义域为，
令在上单调递减，
又在上单调递减，所以在上单调递增，
在上单调递增，所以在上单调递减，
故选：A.
5. 点在平面直角坐标系中位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据终边相同的角确定角度与弧度所在的象限，从而得，，即可知点在平面直角坐标系中的象限位置.
【详解】解：因为，，故2023°为第三象限角，故，
因为8与终边相同，又，故8是第二象限角，故，则点在第三象限.
故选：C.
6. 已知函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得是以6为周期的函数，结合已知条件即可求解.
【详解】因为，所以是以6为周期的函数，
所以，
故选：D.
7. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角恒等变换及对数运算性质化简，利用三角函数及对数函数的性质判断范围，从而得解.
【详解】
，
，
，
则.
故选：C.
8. 函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数.若是高斯函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判定函数的单调性，然后根据条件建立方程组，可知是方程在上的两个不等实根，令，则在上有两个不等实根，令，建立关于的不等式组，解之即可．
【详解】在上单调递增，则
所以是方程在上的两个不等实根，
令，则，
所以在上有两个不等实根，
令，对称轴，
则，即，解得．
故选：B．
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用常见函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.
【详解】A选项中：设，其定义域为，，故为偶函数，
且幂函数在上是减函数，故A正确；
B选项中，设，其定义域为，，则为偶函数，
且，则其在上单调递减，故B正确；
C选项中，设，其定义域为，则，
故是偶函数，且函数在上单调递减,
函数在定义域上为增函数，
所以 上单调递减,故C正确；
D选项中，设，是，
且其定义域为，关于原点对称，故其为奇函数，故D错误.
故选：ABC.
10. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AC，利用完全平方公式与三角函数的基本关系式即可求得所求，从而得以判断；
对于B，结合选项A中结论，判断得，从而求得的取值范围，由此判断即可；
对于D，利用选项C中的结论求得，进而求得，据此解答即可.
【详解】对于A，因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，由选项A知，
因为，所以，故，
所以，即，故B正确；
对于C，由选项B可知，，，所以，
因，
所以，故C错误；
对于D，因为，，
所以，故，故D正确.
故选：ABD.
11. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得到的函数为偶函数，则的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数图象变换规律求出变换后的解析式，再根据偶函数性质求出可得答案.
【详解】
，
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
因为该函数为偶函数，所以，所以.
当时，；当时，，
故选：AC.
12. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于轴对称
B. 在区间上单调递增
C. 的最大值为
D. 无最大值
【答案】AC
【解析】
【分析】利用偶函数的性质可判断A；利用特值及单调性的定义可判断B；利用基本不等式可判断CD.
【详解】因为的定义域为，
又，
所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，故A正确；
因为，
又，所以，故B错误；
因为是偶函数，所以的最大值即为在上的最大值.
当时，，当且仅当时等号成立，
所以，故C正确，D错误.
故选：AC.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数的定义域，即可求出结果.
【详解】令，所以，
即函数的定义域为.
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由偶函数的性质及在区间上单调递增，分别解不等式，，进而可得出答案.
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，
又在区间上单调递增，
由，得，解得.
由，得，解得或.
所以，即或解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
15. 已知，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用两角和与差的正弦函数，展开已知表达式，求出，；然后得到结果.
【详解】∵，∴．①
∵，∴．②
①+②，得．③
①②，得．④
③÷④,得．
故答案为：.
16. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数图像知函数最小值为0，从而转化为二次函数对恒成立，通过二次函数过定点，讨论其对称轴所在位置从而求解.
【详解】函数最小值为0，
设，
所以只要满足恒成立，
函数对称轴为，且，
①，即时，满足题意；
②，即时，
需满足，
即，得，
此时实数的取值范围是.
综上，实数的取值范围是
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17. 已知全集.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求出集合，利用集合的运算即可求出结果；
（2）由题意转化为恒成立，利用二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
，
若，
所以；
【小问2详解】
因为“”是“”充分条件，所以恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，
所以，解得或，
即实数的取值范围是.
18. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由函数的图象，可得，，得到，再由，求得，即可求解；
（2）由不等式，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数的图象，可得，，
可得，所以，即，
又由，即，
可得，即，
因为，可得，所以.
【小问2详解】
由不等式，可得，可得，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
19. 已知函数且.
（1）求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）定义域为，奇函数，证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得定义域；根据函数奇偶性的定义判断并证明的奇偶性；
（2）不等式化简后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.
【小问1详解】
令，解得，则的定义域为.
因为，
所以为奇函数；
【小问2详解】
，即.
因为.
令，易得在上单调递增.
当时，在上单调递减，则，解得
当时，在上单调递增，则，解得.
综上，当时，实数的取值范围是；当时，实数的取值范围是.
20. 已知函数的相邻两个对称中心间的距离为.
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简求解，利用三角函数的性质求出单调递减区间；
（2）根据三角函数图象变换规律得到，由题意可求得，，由利用两角差的正弦公式即可求解.
【小问1详解】
，
因为的相邻两个对称中心间的距离为，所以，解得，
所以.
令，解得，
所以的单调递减区间是；
【小问2详解】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，
所以，即，
又，所以，又，
所以，所以，
所以
.
21. 已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知列出关于的方程，求解即可；
（2）化简，令，然后结合二次函数的性质分类讨论求最大值即可.
【小问1详解】
，
解得或；
【小问2详解】
.
令，所以.
当，即时，在上单调递减，
所以；
当，即时，在上单调递增，
所以；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以.
综上所述，.
22. 已知函数.
（1）若，求的值域；
（2）若，存在实数，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先得到解析式，令结合二次函数的性质求出函数的值域；
（2）首先可得在上单调递增，则问题转化为在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，根据一元二次方程根的分布得到不等式组，解得即可.
【小问1详解】
若则，令，
令，二次函数开口向上，对称轴为，
所以当时，
所以的值域为；
【小问2详解】
因为，所以在上单调递增，
所以当的定义域为时，的值域为，
即，
即在上有两个不同的实数解，
即在上有两个不同的实数解，
令，所以在上有两个不同的实数解，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.