湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了复数，下列求导运算正确的是，已知函数，则，对于数据，则下列说法正确的是，下列选项中，说法不正确的是等内容，欢迎下载使用。
2025年1月
时量：120分钟 满分：150分 命题：张天飞 审定：何玲
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知为等差数列的前项和，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知点，若过的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为（ ）
A. B. C.或 D.
5.如图，平行六面体中，与交于点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数，则（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知点，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A.2 B.1 C. D.
8.若数列满足且，则称数列为“幂数列”.已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（ ）
A.1024 B.1023 C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于数据，则下列说法正确的是（ ）
A.极差为6 B.平均数为5.25
C.30百分位数为3 D.众数为6
10.下列选项中，说法不正确的是（ ）
A.若，则
B.向量共线的充要条件是
C.命题“”的否定是“”
D.设等比数列的前项和为，则“”是“”的充要条件
11.已知双曲线的左，右焦点分别为，过点的直线与的左支相交于两点，若，且，则（ ）
A.
B.
C.双曲线的渐近线方程为
D.直线的斜率为4
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.过点，且圆心与已知圆相同的圆的方程为__________.
13.已知，则通项公式__________.
14.已知函数，若存在实数且，使得，则的最大值为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）已知锐角三个内角所对的边分别为，且，若，求的面积.
16.（本小题满分15分）已知数列满足：.
（1）若，求证：为等差数列.
（2）求数列的前项和.
17.（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，侧棱底面分别在棱上，平面.
（1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
18.（本小题满分17分）设.
（1）求在处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）证明：对于任意正整数都有恒成立.
19.（本小题满分17分）已知椭圆焦距为2，离心率是.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为.
①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值；
②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
明德中学2024年下学期期末考试
高二年级数学试卷
参考答案：
2025年1月
8.【详解】正项数列是“幂2数列”，
，又，
，解得或（舍去），
，
，即，
又，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
D
D
D
C
D
题号
9
10
11
答案
AC
ABC
BC
，
所以.
故选：D.
11.【详解】由，设，由，得，
则，而，解得，因此，
，对于A，，A错误；对于B，显然，则，B正确；
对于C，令，在中，由，得，
则，即，因此双曲线的渐近线方程为，
C正确；对于D，由，结合对称性，图中位置可互换，则直线的斜率为错误.
故选：BC
12. 13.
14.根据题意作出函数的图象，如图所示，
令，解得或，令，解得或或，
由题意可知：与有三个交点，则，
此时，且，
所以，
令，
则恒成立，
所以在单增，
的最大值为，
即的最大值为.
15.【详解】（1）
，所以函数的最小正周期.
（2）因为，所以.
因为A是锐角三角形的内角，所以或（舍去），
所以.又，所以的面积.
16.【详解】（1）因为，所以，
即，又，
所以是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）可得，则，
所以，
所以
.
17.【详解】（1）由题意：底面是正方形；连接交于点，连接；
因为平面，平面平面平面，
所以；又是中点，故是中点；
以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系；
不妨设，则.
由题意，是的中点，则；故；
设平面的法向量为，则；
令，得；
记与平面所成角为，则，
故；
故与平面所成角的余弦值为.
（2），故，
故；又平面，
平面，故平面；
故平面的法向量；
平面的法向量；
记平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
18.【详解】（1）已知，则，
则，又，
所以切线方程为，即.
（2），所以，
令，解得，
可知当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，
所以.
（3）由（2）可知当时，，即，
令，可得，
从而
，
，
即，
则对于任意正整数都有恒成立.
19.【详解】（1）依题意有，解得，所以椭圆的方程为；
（2）①设，则，
联立，
由弦长公式可得：
同理可得：，
所以
令，则
当的最小值是；
②
，由代替，得，
当，即时，，过点.
当，即时，，
，
当时，，经验证直线过点，
综上，直线恒过点.