江苏省卓越高中联盟2025届高三上学期12月月考数学试卷（解析版）

这是一份江苏省卓越高中联盟2025届高三上学期12月月考数学试卷（解析版），共18页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，解得，所以，
又，
所以.
故选：C
2. 设，，其中为虚数单位，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以，整理得，解得或；
因为是或的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3. 在三角形中，，，向量在向量上的投影向量为，为上一点，且，则（ ）
A. 4B. C. D. 5
【答案】B
【解析】由题得向量在向量上的投影向量为
，
所以，又，故，
因为，所以，
所以，
所以
，
所以.
故选：B.
4. 在正六棱台中，，点是底面的中心，若该六棱台的体积为84，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，取上底面中心为，取中点，连接，
则由正六棱台结构特征可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
所以该六棱台上下底面面积为，
且，
又该六棱台的体积为84，则，
所以，
即该六棱台的高为，
所以，
所以，
设异面直线与所成角为，
则
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以，所以，
所以
则
.
故选：D
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过椭圆的上顶点作直线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：

因为，BF1+BF2=2a，
所以的周长为，则，
又，所以，，则.
又，
所以.
所以椭圆的离心率为.
故选：A
7. 已知函数在区间上有极大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以，
因为函数在区间上有极大值，
令，因为在上单调递减，
所以在区间上有零点，且零点左侧函数值大于，右侧函数值小于，
所以，解得，
此时设在区间的零点为，
则当时，即，所以在上单调递增，
当时，即，所以在上单调递减，
则在处取得极大值，符合题意；
所以实数的取值范围是.
故选：B
8. 若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由可得，即，
当时，，不等式在上显然成立；
当时，令，则在上恒成立，
由，在上，所以在上单调递增，
又时，，，所以只需在上恒成立，
即恒成立．
令，则，即在上单调递增，
其中，
故，
所以此时有．
综上，．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A.
B. 在区间上有且仅有2个零点
C. 是奇函数
D. 在区间上单调递减
【答案】ACD
【解析】对于A，函数的图象关于直线对称，
则，即
因为，所以取，则，故A正确；
对于B，，
令，得，所以，
当时，；当时，；当时，，
所以在区间上只有一个零点，故B错误；
对于C，因为，
所以为奇函数，故C正确；
对于D，当时，，
因为在上单调递减，所以在区间上单调递减，故D正确．
故选：ACD．
10. 已知正四棱锥的棱长均为2，下列说法正确的是（ ）
A. 平面与平面夹角的正弦值为
B. 若点满足，则的最小值为
C. 在四棱锥内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体表面积的最大值为
D. 点在平面内，且，则点轨迹的长度为
【答案】BCD
【解析】如图，
对于A，∵正四棱锥的棱长为2，
∴正四棱锥的高为，
设点P为AB中点，根据正四棱锥的性质，得，，
则平面与平面的夹角为，则，故A错误；
对于B，∵，，
根据空间向量基本定理可得点P在平面MAD上，
∴当平面时，最小，
此时根据等体积法可求出，即
可求得，即的最小值为，故B正确；
对于C，设正方体棱长为，则正方体的体积为，
正方体可以在正四棱锥内部任意转动，所以正方体对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径，
设内切球的半径为r，正四棱锥的体积为，
根据另一个体积公式，可得，
∴正方体对角线，，
∴正方体表面积，故C正确；
对于D，如图，以A为原点，AB，AD所在直线为，轴，
过点A向上作垂线为轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，
设，∵，
∴，即，
化简整理可得，∴点的轨迹是在平面ABCD内以为圆心，半径为的圆在四边形ABCD内的部分（圆弧）如图，
由于，
则点Q的轨迹长度为，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为为偶函数，则，两边求导得，所以为奇函数，
因为，，
所以，则，所以，
即的周期，因为为定义域为R的奇函数，所以，
则，故B错误；
在中，令，可得，
所以，故A正确；
由，令，可得，
则，则，即，
所以，故D错误；
在中，令，得，
在中，令，得，
两式相加得，即，故C正确．
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知直线：分别与曲线，都相切，则的值为______．
【答案】
【解析】设直线与曲线的切点为x1,y1，与曲线的切点为x2,y2，
对求导得，所以，即切点，
所以；
对求导得，
所以或（舍去），
所以.
故答案为：.
13. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】由题可得在上恒成立，且在上单调递减，
所以，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为______．
【答案】
【解析】由题知，圆的半径，，圆的半径，
设的中点为，连接，所以，
因为，，
所以四边形为矩形，则为的中点，且，
设，则，所以，
因为，所以，
所以，即，
整理得，
所以点在以为圆心，以为半径的圆上.
因为，所以，
设与圆交于点，取的中点，连接，则，，
在和中，且，
所以与相似，所以，即，
所以，
当且仅当三点共线且垂直于轴时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在中，，．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）点在边上，且，若，求的面积．
解：（1）由可得，
所以，
所以，
所以，
所以．
因为，所以，
又，
所以，
化简可得，故，
又因为，所以，
所以，
所以为直角三角形；
（2）由（1）得，，且为直角三角形，
设，则，，．
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
故．
16. 设函数的表达式为（且）．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数，求的值．
解：（1）的定义域为，且，
，
为上的奇函数．
（2）由（1）知，为上的奇函数，即，
令取，得，
，，
，
令，得，即，
，
即．
17. 已知圆：，过点的直线交圆于，两点．
（1）若，求此时直线的方程；
（2）过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上．
（1）解：设Ax1,y1，Bx2,y2，
当直线的斜率不存在时，：，
联立，解得，，则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设：，
由，得，则，
联立，可得，
则，解得，
所以，解得，
故直线的方程为或．
（2）证明：设，圆为，圆心为C0,1，
则以线段为直径的圆的方程为，
化简可得，
上述方程与圆的方程相减得，
因直线过点，
则，
所以，
所以点在直线上．
18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设.
①若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
②在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
（1）证明：在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，
建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因，则，，
所以，，
①设平面的法向量为，由，，
得：，可取，
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或，
②如图，假设在线段上存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，，
由得，即，
亦即（*），
因为，所以方程（*）无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上.
19. 已知函数．
（1）若1是的极值点，求的值．
（2）若，试问是否存在零点？若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．
（3）若有两个零点，求满足题意的的最小整数值．（，）
解：（1）函数，求导得，
由1是的极值点，得，解得，
此时，显然在上单调递增，
当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，因此在时取得极值，
所以.
（2）①当时，由（1）可知，此时不存在零点；
②当时，函数在上单调递增，
又，，且在上的图象是不间断的，
则存在唯一的，使得，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，由，得，
则，
令，则，设，求导得，
令，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
则，函数在上单调递减，
于是，即当时，，因此，
则，即函数无零点，
所以函数不存在零点．
（3）由（2）知，当时，无零点，又，依题意，，
当时，在上单调递增且图象是不间断的，
又，，则存在唯一的，使得，
当时，，当时，，
函数在上递减，在上递增，，
由，得，则，
由有两个零点，得，令，
求导得，当时，恒成立，
函数在上单调递减，且图象是不间断的，，，
则，设，求导得，
函数在上单调递增，于是，
当时，，，，，
又函数在上单调递减，在上单调递增且图象连续不间断，
因此在与上分别存在一个零点，即恰有两个零点，
所以正整数的最小值为4.