四川省眉山市区县高中学校2025届高三上学期一诊模拟联考月考数学试卷（解析版）

这是一份四川省眉山市区县高中学校2025届高三上学期一诊模拟联考月考数学试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】命题“，”为全称量词命题，
它的否定是存在量词命题，即，，
故选：B.
3. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设则
，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，，，则，充分性成立；
若，可能，，此时，所以必要性不成立．
综上所述，“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
5. 关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】x的不等式对一切恒成立，
当时，不等式对一切恒成立，
当时，时，则有，解得，
所以k的取值范围是.
故选：D
6. 在中，点在直线上，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以

故选：A.
7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】由图可知，即，又，所以，
又关于对称，
且，
因为且，所以，解得，所以，
所以，解得，所以，
所以.
故选：A
8. 已知函数f(x)＝ax＋ex－(1＋ln a)x(，a≠1)，对任意x1，x2∈[0,1]，不等式|f(x1)－f(x2)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. B. [2，e]
C. [e，＋∞)D. (e，＋∞)
【答案】C
【解析】依题意，①
因为，
当时，对任意的，，，，恒有；
当时，，，，，恒有；
所以在是单调递增函数.
那么对任意的，，不等式恒成立，
只需，②
因为 ，，
所以，即，即，
所以，从而有，而当时，①显然成立.
故选:C
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（ ）
A. 每一个直角三角形的面积为B.
C D.
【答案】ACD
【解析】如图：
设，，则，
所以.
所以，.
对于A选项：每个直角三角形的面积为：，故A正确；
对于B选项：，故B错误；
对于C选项：，故C正确；
对于D选项：，故D正确.
故选：ACD
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 在上单调递增
C. 在上有2个零点
D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称
【答案】AC
【解析】函数
．
选项A：，，故最大值为2，A正确；
选项B：时，，不单调递增，故B错误；
选项C：时，，可知当以及时，即以及时，在上有2个零点，故C正确；
选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，不关于原点对称，故D错误.
故选：AC．
11. 设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，f4-x=fx，则对于任意的，下列说法正确的是（ ）
A. 都是的周期B. 曲线y=gx关于点对称
C. 曲线y=gx关于直线对称D. 都是偶函数
【答案】BC
【解析】由是奇函数，故有，
即有，
故，则，即，故关于对称，
由f4-x=fx，则，即，
故关于2,0中心对称，
由，则，又，
故，即有，
则，故，
即，故，故周期为.
对A：当时，，故A错误；
对B：由周期为，故，
又，故，故，
故曲线y=gx关于点对称，故B正确；
对C：由周期为，故，
又，故，
故曲线y=gx关于直线对称，故C正确；
对D：由B得，故，又周期为，
故有，故，又，
即都是奇函数，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k=_________
【答案】
【解析】由题知，
，
又，
所以，.
故答案为：
13. 已知钝角的面积是，且，，则__________．
【答案】
【解析】三角形面积公式为,所以，若为钝角时，则,由余弦定理，，解得；若为锐角时，则，由余弦定理，，解得，此时，为直角边1的等腰直角三角形，不符合题意．综上，.
14. 已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是_________
【答案】
【解析】由题知，的定义域为，
且，
所以为偶函数，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
由对称性可知在上单调递减，
所以，
令，
若仅有一个实数根，则，
此时，解得或，有两个根，不符合，舍去；
若有两个实数根，由对称知，，
需要满足和均有两个解，
即和均有两个解，
由，，解得，
又，故.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
（1）解：已知，
当时，；
当时，，
则，
显然时，，满足上式，
综上，；
（2）证明：由上知:，
故，
易知单调递增，
时，，
又，即，证毕.
16. 如图，已知三棱锥中，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）点满足，求平面与平面所成角的余弦值.
（1）证明：因为为的中点，所以.
因为，
所以和为全等的等边三角形.
所以.又因为为的中点，所以.
又因为，平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：不妨设，由（1）知，和分别为等边三角形，所以.
又因为为的中点，所以.
在Rt中，.
在中，，所以.
所以两两互相垂直.
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.由题知，
所以，，.
设平面的一个法向量为.
则，即，令，则，
所以，.
设平面的一个法向量为.
则，即，令，则，
所以，.
设平面与平面所成角为，则.
17. 记的内角所对的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
解：（1）由 得，而三角形内角，
故sinB>0,得，而为三角形内角，或
（2）由得，
又，∴， ，故 ，
由（1）得，故，
∴，而为三角形内角， ∴.
又即，
又，而为三角形内角，故，
.
18. 目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看．
（1）已知小李第1天观看了虚拟主播直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；
（2）若未来10天内虚拟主播直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为．
①判断为何值时，最大；
②记，求．
解：（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为，
所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为.
（2）①由已知服从二项分布，所以，
由，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
综上，当时，最大.
②因为，所以或，
当时，，
当时，，
，
.
19. 已知函数.
（1）当时，记函数导数为，求的值.
（2）当，时，证明：.
（3）当时，令，的图象在，处切线的斜率相同，记的最小值为，求的最小值.
（注：是自然对数的底数）.
（1）解：当时，，
∴，
∴；
（2）证明：当时，，∴，
令，则，
当时，h'x0，
∴在上单调递增，
∴，得证；
（3）解：当时，，
，所以，，
所以在上递增，，上递减，
由题意，，得，，
由得到，记，
则，
，所以，，
∴在上递减，在上递增.∴，
设，则,故在上为增函数，
当时，，
∴.