上海市静安区2025届高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试卷（解析版）

这是一份上海市静安区2025届高三上学期期末教学质量调研（一模）数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2024.12
一､填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分.
1. 设集合，则__________.
【答案】
【解析】集合，所以.
故答案为：
2. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】由不等式，得，即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
3. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】，
因为其为纯虚数，则且，解得.
故答案为：.
4. 设是等差数列，，则该数列的前8项的和的值为__________.
【答案】36
【解析】在等差数列中，，则公差，
所以.
故答案为：36
5. 到点距离之和为10的动点的轨迹方程为__________.
【答案】
【解析】依题意，，
则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，
由，得，
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：
6. 在中，已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】在中，由正弦定理得，而，
因此，即，所以.
故答案为：
7. 已知物体的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系，则该物体在时刻的瞬时速度为__________.
【答案】2
【解析】函数，求导得，则，
所以所求瞬时速度为2.
故答案为：2
8. 若用替换命题“对于任意实数，有，且等号当且仅当时成立”中的，即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.则__________.
【答案】（答案不唯一，可以为或其它字母表示的表达式）
【解析】取正数，则，当且仅当时取等号，
因此，即，
于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立”.
显然，取.
故答案为：
9. 以双曲线的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则的值为__________.
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为，离心率，右焦点，
依题意，，所以.
故答案为：
10. 如图所示，小明和小宁家都住在东方明珠塔附近的同一幢楼上，小明家在层，小宁家位于小明家正上方的层，已知.小明在家测得东方明珠塔尖的仰角为，小宁在家测得东方明珠塔尖的仰角为，则他俩所住的这幢楼与东方明珠塔之间的距离__________.
【答案】
【解析】分别过点作的垂线，垂足分别为，
则根据正切函数的定义得，，
则，解得.
故答案为：.
11. 记.若函数y=fx是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为__________.
【答案】
【解析】因为二次函数为偶函数，
则该函数的对称轴为直线，可得，
令，，
则
因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为.
故答案为：.
12. 已知是从大到小连续的正整数，且，则的最小值为__________.
【答案】100000
【解析】设，依题意，，，
由，得，解得，因此，
则，，所以的最小值为100000.
故答案为：100000
二､选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题､14题各4分，第15题､16题各5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.
13. 设，则“”是“且”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】正向来看，取，则，满足，但不满足a>0且，故充分性不成立，
反向来看，，则，故必要性成立，
所以前者是后者的必要不充分条件.
故选：B.
14. 污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A. 小时B. 小时
C. 小时D. 小时
【答案】B
【解析】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为，
根据题意可得，即，解得.
因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时.
故选：B.
15. 我国古代数学著作《九章算术》中将四个面都是直角三角形的空间四面体叫做“鳖臑”.如图是一个水平放置的.现将沿折起，使点移动到点，使得空间四面体恰好是一个“鳖臑”，则二面角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】中，.
不妨设，则，
空间四面体是一个“鳖臑”，则和都是直角三角形，
若，则中，，由勾股定理得，
此时不是直角三角形，不合题意；
所以，在中，，由勾股定理得，
此时满足是直角三角形，，
由，，二面角的平面角为，
中，，，
所以二面角的大小为.
故选：D.
16. 在四棱锥中，，则该四棱锥的高为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】设平面的一个法向量，
则，令，则，即，
所以该四棱锥的高.
故选：C.
三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 设函数.
（1）求函数单调区间；
（2）求不等式的解集.
解：（1），
令，解得或者，
令，解得或，
所以，该函数的严格单调增区间为和，严格单调减区间为和.
（2），即，
，即，利用穿根法解得.
所以解集为.
18. 已知向量，且.
（1）求及；
（2）记，求函数的最小值.
解：（1）由题意得，
由于
则
，
因为，所以.
（2）
因为，则，则当，即时，该函数取得最小值.
19. 如图所示，正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形.
（1）求正三棱锥的体积；
（2）设分别是线段的中点.
求证：①平面；
②若平面交于点，则四边形是正方形.
（1）解：由正三棱锥的侧面是边长为2的正三角形，得正三棱锥为正四面体，
取正的中心，连接，延长交于，连接，则平面，
是的中点，，，
则，
所以正三棱锥的体积.
（2）证明：①由分别是线段的中点，得，而平面，平面，
所以平面.
②由平面交于点，得面平面，而平面，
平面，则，而是中点，则是的中点，
因此，而，则四边形是平行四边形，
又，于是为菱形，而，
平面，则平面，又平面，
因此，于是，所以四边形是正方形.
20. 如图的封闭图形的边缘由抛物线和垂直于拋物线对称轴的线段组成.已知，拋物线的顶点到线段所在直线的距离为.
（1）请用数学符号语言表达这个封闭图形的边缘；
（2）在该封闭图形上截取一个矩形，其中点在线段上，点抛物线上.求以矩形为侧面，为母线圆柱的体积最大值；
（3）求证：抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在同一条直线上.
（1）解：如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
则曲线过点，所以，故，所以，曲线的方程为，
线段AB的方程为，
（2）解：设Ex,y，则.
以CF为母线的圆柱的底面半径满足，所以，
所以圆柱的体积 .
所以，
所以，当时，其体积取得最大值；
（3）证明：因为函数的导函数，
所以，抛物线上任意一点的切线斜率为，
设是抛物线上两条相互垂直的切线，切点分别为，
则其方程分别为，
且，
消去，解得，
因为，得.
故抛物线的任何两条相互垂直的切线的交点都在直线上.
21. 如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.
①对任意的，有；
②对于任意的，若，则.
求证：
（1）是型函数；
（2）型函数在上为增函数；
（3）对于型函数，有（为正整数）.
证明：（1）记；
对任意的，有；
对于任意的，
若，
则，
即
故函数是型函数.
（2）设，且，则.
因此
，
可知在上为增函数.
（3）因为，
所以