江苏省无锡市澄宜六校2025届高三上学期12月阶段性联合测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省无锡市澄宜六校2025届高三上学期12月阶段性联合测试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共计40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
则.
故选：D.
2. 已知为虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，则，
所以，
所以，可得，所以，则，
因此，
故选：B.
3. “直线与圆相交”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线与圆相交，
则圆心到直线的距离满足，故，
由于能推出，
当不能得到，
故“直线与圆相交”是“”的充分不必要条件，
故选：A
4. 已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】为单调递增的数列，故，
解得，
故选：C
5. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】由于直线与曲线相切，
设切点为，且，所以，
则切点的横坐标，则，即.
又，所以，即，
当且仅当时取等号，所以的最小值为1.
故选：D
6. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，若C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据椭圆定义可得，又，故，
因此，故，故，
故选：D
7. 在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】∵在等比数列中， ，
∴公比，
∴时， ；时， .
∵，
∴，，，
∴，
又当时，，
∴使不等式成立的的最大值为.
故选：C
8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. D. 4
【答案】B
【解析】由于，，成等差数列，则，
由正弦定理可得
故,
，
由于，因此，
故
当且仅当，取等号，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 在内有3个极值点
D. 当时，与的图象有3个交点
【答案】ABD
【解析】由图可知，，周期，则，故AB正确；
由，得，即，
得，，即，，
因为，所以，则；
对于C，由，得，
因为函数在上有2个极值点，
则在内有2个极值点，故C错误；
对于D，利用五点作图法画出函数y=fx与的图象，
由图可知，当时，与的图象有3个交点，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A. 关于直线对称B. 关于点对称
C. 的周期为4D.
【答案】BCD
【解析】对于A，由f2x+1为奇函数
可得，
故关于1,0对称，故A错误，
对于B，由于gx+2为奇函数，故，故关于点2,0对称，B正确，
对于C，由和gx=f'x可得，
令，故，故，因此，
结合关于1,0对称可得，
故的周期为4，C正确，
对于D，由于，故，
且，由于，令，则，
，故D正确，
故选：BCD
11. 如图，在平行四边形中，，且，为的中线，将沿折起，使点到点的位置，连接、、，且，则（ ）
A. 平面
B. 与所成的角为
C. 与平面所成角的正切值是
D. 点到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】对于A选项，在平行四边形中，，且，
因为，则，且，则，
因为为的中点，则，且，
将沿折起，使点到点的位置，使得，
翻折后，，所以，，
所以，，且有，
因此，，、平面，所以，平面，A对；
对于BCD选项，因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、
，
，，
则，
所以，与所成的角为，B错，
，易知平面的一个法向量为，
所以，，
设直线与平面所成的角为，则，
所以，，则，
故直线与平面所成的角的正切值为，C对；
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，则点到平面的距离为，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等比数列的前项和为，若，则___________.
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，
若，则，不合乎题意，故，
所以，，所以，，
所以，，，，
因此，.
故答案为：.
13. 已知函数的两个极值点为、，且，则实数的最小值是_____.
【答案】
【解析】函数定义域为，且，
因为函数有两个极值点、，则，可得，
由题意可知，、为方程的两根，
由韦达定理可得，
所以，
，解得，所以，，
因此，实数的最小值为.
故答案为：.
14. 已知向量，，，，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】如图，设，则，，
由题意，设向量与夹角为，直线与轴正半轴夹角为，
则，则，
因为，，则，即，
又，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，设数列的前项和，求证：.
（1）解：数列的前项和为，对任意的，，
当时，则有，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以.
（2）证明：由（1）可得，则，则，
所以，
所以
.
16. 在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且满足.
（1）求角；
（2）求的取值范围.
解：（1）因为，
由正弦定理可得，即，即，
由余弦定理可得，
因为，故.
（2）由（1）得，
所以，，
因为为锐角三角形，则，即，解得，
所以，，则，
则，
因为双勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
当或时，，
所以，函数在上的值域为，
因，则，
故.
因此，的取值范围为.
17. 已知O为坐标原点，是椭圆C：的右焦点，点M是椭圆C的上顶点，以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与轴的交点分别是，求证：线段中点的横坐标为定值.
（1）解：由题意可得，
由于以点M为圆心且过F的圆恰好与直线相切，故，即，故，进而，
故椭圆方程为
（2）证明：由题意可知的斜率一定存在，设方程为，
则，
且，Δ=16k2m2-41+2k22m2-2>0，
设Ax1,y1,Bx2,y2,
则，
直线的方程为，令，则，故,
故，
则
由于
故
，
因此线段中点的横坐标为定值，
18. 如图，在三棱锥中，侧面PAC是边长为2的正三角形，，，E，F分别为PC，PB的中点，平面AEF与底面ABC的交线为l.

（1）证明：l∥平面PBC.
（2）已知平面平面，若在直线l上存在点Q，使得直线PQ与平面AEF所成角为，异面直线PQ，EF所成角为，且满足，求.
（1）证明：因为分别为的中点，
所以.
又平面，平面，
所以平面
又平面，平面与底面的交线为，
所以，，从而.
而平面，平面，
所以，平面.
（2）解：取的中点记为，连接，
因为是边长为2的正三角形，所以，
所以，.
又平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
由（1）可知，在底面内过点作的平行线，即平面与底面的交线.
由题意可得，即，
取的中点记为，连接，则.
因为，所以.
以为坐标原点，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则A1,0,0，，，，，，
设，则，，，
设平面的一个法向量为n=x2,y2,z2，
则， 即，
取，则，，即是平面的一个法向量，
所以
又直线与平面所成角为，
于是.
又，
而异面直线所成角为，于是.
假设存在点满足题设，则，
即，所以.
当时，，此时有；
当时，，此时有.
综上所述，这样的点存在，且有.

19. 定义运算：，已知函数.
（1）若函数的最大值为0，求实数a的值；
（2）证明：；
（3）若函数存在两个极值点，证明：.
（1）解：由题意知：，，
①当时，，在单调递减，不存在最大值．
②当时，由得，
当，；，，
函数的增区间为，减区间为．
，令，则，
当时，，函数递减，
当时，，函数递增，
又，.
（2）证明：由（1）知，当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以，即，
当时， ．
．
（3）证明：
“函数存在两个极值点”等价于
“方程有两个不相等的正实数根”
故，解得，
，
要证，即证，
，不妨令，故
由，得，即证，
令
在恒成立，
所以函数在上单调递减，故．
成立．