湖北省荆门市京山市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）

这是一份湖北省荆门市京山市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 将一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式后，如果二次项系数是 4，则一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 5，81B. 5，﹣81C. ﹣5，81D. 5x，﹣81
【答案】B
【解析】一元二次方程 4x2+5x＝81 化成一般式为 4x2+5x﹣81＝0， 二次项系数，一次项系数，常数项分别为 4，5，﹣81，
故选B．
2. 近几年我国国产汽车行业蓬勃发展，下列我国国产部分新能源品牌汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
3. 抛物线经过平移得到抛物线,平移过程正确的是（ ）
A. 先向下平移个单位,再向左平移个单位
B. 先向上平移个单位,再向右平移个单位
C. 先向下平移个单位,再向右平移个单位
D. 先向上平移个单位,再向左平移个单位.
【答案】D
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得点，
抛物线先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后可得抛物线．
故选：D．
4. 为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，某种药品原价为256元，在连续进行两次降价后价格调整为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元，
第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的为元，
∴可列方程为．
故选：C．
5. 如图，点，，在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为13的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】解：∵，
∴点D的坐标为，
当时，，
解得，
∴，，
∴；
故选：B．
7. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ）
A. 12寸B. 24寸C. 13寸D. 26寸
【答案】D
【解析】解：如图，连接，
，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
寸，
故选：D．
8. 如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，由旋转的性质，
可得，，，
无法证明，，故B选项和D选项不符合题意，
,
,
，故C选项不符合题意，
,
,
,
，故A选项符合题意，
故选：A．
9. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A. B. 1C. 15D. 17
【答案】C
【解析】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，与轴交于，两点，，下列结论：①；②；③；④（为任意实数），正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线 与轴交于负半轴，
∴，
∴，故①结论错误；
∵抛物线对称轴是直线，与轴交于，两点，
∴，
∴，故②结论正确；
根据对称轴为直线，，则，
∴时，，
∴，故③结论错误；
④当时，为最小值，
∴，即（为任意实数），故④结论正确；
综上正确的有：②④；
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
12. 请写出一个两根互为倒数的一元二次方程______________________
【答案】（答案不唯一）．
【解析】解：依题意，写出一个两根互为倒数的一元二次方程可以是：，
，原方程有两个不等式实根，
且，则两根互为倒数，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径恰好重合，点对应的刻度是，则的度数为_______．
【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
∵直角三角板的斜边与量角器的直径恰好重合，，
∴点，，，共圆（是以为直径的外接圆的内接三角形），
∵点对应的刻度是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与 x 轴只有一个交点，那么m的值为_______．
【答案】0,2,-2
【解析】解:①当m=0时,函数为y=2x+1，此时图象与x轴有一个交点；
②当m≠0时,函数y=mx+ (m+2)x+m+1的图象是抛物线,
若抛物线的图象与x轴只有一个交点,则方程mx+ (m+2)x+m+1=0只有一个根,
即△=0，可得△=(m+2)-4m(m+1)=0,
解得=2，=-2.
综上可得m的值为0,2,-2.
15. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，点为中点，折叠后，的对应边经过点，点的对应点为点．若，，则______．
【答案】
【解析】解：∵四边形是矩形，，
∴，，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（本题共9小题，共75分）
16. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
解：
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
17. 如图：、都是等边三角形，且在同一直线上．
（1）求证：；
（2）可以看作是经过平移、轴对称或旋转得到，请说明得到的过程．
解：（1）证明：和都等边三角形，

，
即，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：∵是等边三角形，
，
同理，
以点为旋转中心将逆时针旋转就得到．
18. 请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．
（1）如图1，E是平行四边形ABCD边AD上一点，过点A画一条直线，使其与EC平行；
（2）如图2，正六边形ABCDEF（六边相等，六角相等的六边形），在图中画一条直线，使其垂直平分AF；
（3）如图3，⊙O是四边形ABCD的外接圆，且AB＝BC＝CD，在图中画一条异于BC的直线，使其与AD平行．
解：（1）如图1，直线AF即为所求作．
（2）如图2，直线GH即为所求作．
（3）如图3，直线EF即为所求作．
19. 若关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根．
解：设方程的另一个根为t，
∵t和3是关于的一元二次方程的两个根，
∴，
∴，
∴方程的另一个根为，
20. 小铭同学利用计算机画图软件，将二次函数中的a、b、c输入不同的值，从而探索二次函数的性质．图中所示的二次函数的图象与x轴相交于点，，与y轴相交于点．
（1）直接写出二次函数的解析式为 ；
（2）当时，函数的最大值为 ，最小值为 ；
（3）利用图象直接写出不等式的解集为 ．
解：（1）二次函数的图象与x轴相交于点，，
设二次函数的解析式为，
二次函数的图象与y轴相交于点，
，
解得：，
，
二次函数的解析式为，
故答案为：；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
，，
当时，二次函数取得最小值为：，
，
当时，二次函数取得最大值为：，
故答案为：，；
（3）如图，记抛物线与直线右侧交点为，
联立，
解得：或，
，
由图象可得：
不等式的解集为：或，
故答案为：或．
21. 如图，已知⊙O的直径，弦，的平分线交于点．
（1）求、、的长；
（2）求的长．
解：（1）∵为的直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵的平分线交于，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，；
（2）延长到，使，连接，如图所示：
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22. 已知某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
（1）设每件涨价x元，则每星期实际可卖出商品 件，每星期售出商品的利润y与x之间的函数关系式为 ，x的取值范围是 ，每星期售出商品的最大利润是 元；
（2）涨价多少元时，每周售出商品的利润为2250元？
（3）设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元．
①请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
②确定x的值，使每星期售出商品的利润最大，并求出最大利润．
解：（1）∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，
∴每星期实际可卖出件，
∴，
∵，
∴；
∵．
∴当时，，
∴在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是元6250．
故答案为：；
（2）由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）；
答：涨价25元时，每周售出商品的利润为2250元；
（3）①
；
②，
当时，，
当时，每星期售出商品的利润最大，最大利润为6125元．
23. 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点 B 的对应点为点D，点 C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P．

数学思考：（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
深入探究：（2）在以上图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题．
① “乐学小组”提出问题：如图2，当时，则线段的长为 ．
② “善思小组”提出问题：如图3，当时，求线段的长．
解：（1），
证明：连接，如图1，

由旋转的性质知，，，
，
，
；
（2）①如图2，延长，交于点F，

，
，
，，
由(1)知，，
设，
则，
，
，
，
故答案为：；
②如图3，

，，，
，
由旋转的性质知，，，，，
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24. 如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求的面积；
（2）如图2，点是抛物线上第一象限的一点，且，求点的坐标；
（3）若点是直线上一点，请在图3中探究：抛物线在轴上方的部分上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把代入，得
，
解得，
∴；
∴c点坐标为，
∴．
（2）如图2，作于点D．
∵，，
∴，
∴，
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）如图3-1，当点M在第一象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为F，过点C作直线的垂线，垂足为E．
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
当时，
∴，
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
如图3-2，当点M在第二象限的抛物线上时，过点M作直线的垂线，垂足为H，过点C作直线的垂线，垂足为G．
同理可得：．
设，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴．
∴点的坐标为或．
小敏：
两边同除以，得
，
则．
小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
小敏：
两边同除以，得
，
则．
（×）
小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
（×）