江苏省苏州市2025届高三上学期12月阶段检测数学试卷（解析版）

这是一份江苏省苏州市2025届高三上学期12月阶段检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. （ ）
A. 3B. C. 10D. 100
【答案】C
【解析】，故.
故选：C
2. 已知集合，，则集合的子集有（ ）
A. 2个B. 4个C. 8个D. 16个
【答案】B
【解析】，解得：，又因为，
所以，
因为，且，
所以，
故的子集有个.
故选：B
3. 已知，，直线和垂直，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，直线，，且，
，即．
则，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为8，
故选：B．
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】两边平方得①，
又，故，
两边平方得②，
式子①+②得，，
故，故.
故选：C
5. 已知点在圆C：的外部，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
则，解得：①，
又∵点在圆的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故选：B．
6. 已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，若，则（ ）
A. B.
C. 函数的周期为2D.
【答案】D
【解析】为奇函数，，
又为偶函数，，故A项错误.
即函数的周期为4，
即C项错误.
由，令，
得，
即B项错误.
又，
所以D项正确.
故选：D
7. 已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】因为，整理得，且，
可知是以首项为3，公差为1的等差数列，
所以，可得，
当时，可得，
且符合上式，所以，
则，
解得，即的最大值为8．
故选：B．
8. 如图，已知是双曲线的左､右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长与双曲线交于点，
因为，根据对称性可知，
设，则，
可得，即，
所以，则，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则
C.
D.
【答案】BCD
【解析】依题意，函数，
由的最小正周期为，得，解得，
对于A，，A错误；
对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得，
则，B正确；
对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称，
依题意，，解得，C正确；
对于D，由，得，解得，
由选项C知，，
因此，D正确.
故选：BCD
10. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 随着增大而减小
B. 曲线的横坐标取值范围为
C. 曲线与直线相交，且交点在第二象限
D. 是曲线上任意一点，则的取值范围为
【答案】AD
【解析】因为曲线，
当，时，则曲线为椭圆的一部分；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
可得曲线的图形如下所示：
由图可知随着增大而减小，故A正确；
曲线的横坐标取值范围为，故B错误；
因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误；
因为，即点到直线的距离的倍，
当直线与曲线相切时，
由，消去整理得，
则，解得（舍去）或，
又与的距离，
所以，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：AD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的极大值为
B. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为
C. 当时，用二分法求函数在区间0,1内零点的近似值，要求误差不超过时，所需二分区间的次数最少为
D. 若不等式在区间上恒成立，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】对于选项A，因为，得到，由，得到，
所以在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，所以A选项正确，
对于B选项，，由函数在区间上单调递增，
得在区间恒成立，即在区间恒成立，
当时，显然成立，
当时，设，，
所以hx在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增.
所以，得到
综上所述，的取值范围是，所以选项B错误，
对于选项C，当时，，易知在0,1上单调递增，
依题意，，易知在上单调递减，
又，
所以所需二分区间的次数最少为，所以C选项正确.
对于D选项，不等式在区间0,+∞上恒成立，
即在区间0,+∞上恒成立，
即在区间0,+∞上恒成立，
设，
，
易知在0,+∞上单调递减，当时，，
所以在区间0,1上，单调递增，
在区间1,+∞上，单调递减，
所以，则，即a的取值范围为，所以D选项错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量在向量上的投影向量为，且，则______.
【答案】
【解析】在上的投影向量为，
，则，即
又，平方得，则
即．
故答案为：．
13. 已知F是椭圆的左焦点，椭圆上至少有20个不同的点，使得，…组成公差为的等差数列，则实数的最大值为_______．
【答案】
【解析】先求得的最大值和最小值.
设是椭圆图象上任意一点，则，
则.设是椭圆的左焦点，
则
，
由于，
所以.
椭圆中，，，
由题设不妨设，
，，
∴，解得，
∴．
故答案为：
14. 已知三棱锥四个顶点在球的球面上，平面，ΔABC是边长为的正三角形，、、分别是、、的中点，且，则球的表面积为_________.
【答案】
【解析】如图，根据题意，以A为原点，为轴方向，为轴方向，为轴方向，建立空间直角坐标系，设，由，可得，，，，因为、、分别是、、的中点，得，，，可得，，，
，解得，
解得，根据外接圆垂面模型的应用，可找到如图的球心和ΔABC的外接圆圆心，且必有，且为ΔABC的外接圆的半径，因为ΔABC是边长为的正三角形，且，设外接球半径，则在中，根据勾股定理，得，则可求得，则球的表面积为
答案：
三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，角C的平分线交AB于点D，点E满足，求．
解：（1）由条件和正弦定理得，
所以，
展开后整理得．
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）如图所示，因为，所以，
又因为CD为的平分线，所以．
因为，所以在中，，
又，所以为等边三角形，所以．
在中，由余弦定理可得，
即，
在中，由正弦定理可得，
即，得．
16. 已知数列各项均不为零，前项和为，满足，.
（1）求；
（2）求.
解：（1）因为数列各项均不为零，前项和为，，，
当时，则，可得；
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，整理可得，
所以，数列中的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
数列中的偶数项成以为首项，公差为的等差数列，
当为奇数时，设，则
；
当偶数时，设，则.
综上所述，.
（2），，
故.
17. 三棱柱中，侧面是矩形，，.

（1）求证：面面ABC；
（2）若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由.
（1）证明：，
侧面是菱形，
，又，，
平面，平面，
，
因为侧面是矩形，所以，
又，
平面，又平面,
.
（2）解：由（1），以C为坐标原点，射线、为x、y轴的正向，平面上过C且垂直于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由条件，，，设，
由（1），面，所以，面的法向量为.
设面的法向量为，
由，即，
可设，
∴，
∴，得，
即，得，（舍），即，
所以，存在点P满足条件，此时（即P是中点时）.
18. 如图，已知圆：的直径与椭圆：的短轴长相等，，分别为椭圆的左、右顶点，，分别为圆与轴的交点，为椭圆的右焦点，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过的直线与椭圆交于，两点，与圆交于，两点，证明：为定值.
（1）解：根据：方程，可知圆心O0,0，半径为，直径为，
因为圆：的直径与椭圆：的短轴长相等，
所以，
又因为，所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：当与轴重合时，，，所以；
当不与轴重合时，设Ax1,y1，Bx2,y2，直线的方程为，
由整理得，
，
则，，
故
，
圆心到直线的距离为，，
则，所以，
所以.
综上，为定值24.
19. 当一个函数值域内任意一个函数值都有且只有一个自变量与之对应时，可以把这个函数的函数值作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反函数.例如，由，得，通常用表示自变量，则写成，我们称与互为反函数.已知函数与互为反函数，若两点在曲线y=fx上，两点在曲线y=gx上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线垂直，则我们称这个矩形为与的“关联矩形”.
（1）若函数，且点在曲线y=fx上.
（i）求曲线y=fx在点A处的切线方程；
（ii）求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.
（2）若函数fx=lnx，且与的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S.证明：.（参考数据：）
（1）解：（i）因为点在曲线上，所以，
即，
由，得，则，
所以曲线y=fx在点A处的切线方程为即.
（ii）由（1），由得其反函数为，
则函数和图象关于直线对称，设A关于直线对称的点为D，
则D在曲线上，且，，
则，
由题意以及由图象特征可知，则，直线的方程为，
联立方程组解得或（舍去），
则，
则该“关联矩形”的面积.
（2）证明：由fx=lnx得其反函数为，
所以和图象关于直线对称，且由其性质可知，
根据对称性可设关于直线对称，关于直线对称，则，
设，其中，
则，，因为“关联矩形”是正方形，
所以，，
所以，
由，得，所以，
所以由得即.
对于函数，则，
故函数在0,+∞上单调递增，故即，
令，
则且，
则hx在0,+∞上单调递增，所以，
所以，因为，
令，则，当x∈0,+∞时，单调递增，
则，
从而.