重庆市缙云教育联盟2025届高三上学期高考第零次诊断性质量检测数学试卷（解析版）

这是一份重庆市缙云教育联盟2025届高三上学期高考第零次诊断性质量检测数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知函数，若有两个零点， 设，为正数，且且，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由，且，则，
所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限.
故选：D.
2. “”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时且，
解得，
当时，两条直线方程分别为：，，
此时，
故是的充要条件.
故选：C
3. 现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病，
由题意可知，，，，，
所以，
因此，这种检验方法在该地区的误诊率为，
故选：A.
4. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设双曲线的半焦距为，则，
由对称性，不妨令与平行的渐近线为，
则直线方程为：，即，
设的内切圆与三边相切的切点分别为，，，
如图所示，

则，
即，而轴，圆半径为，则，
点到直线的距离：，整理得，
且，解得，
又因为，可得，
所以双曲线的离心率，
故选：D.
5. 在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为
得，即
所以点在的角平分线上，设的中点为

因为，所以点在线段上，
不妨设，
所以
易知
所以
因为
所以
因为
所以
故选：B
6. 已知三棱锥的三个侧面的面积分别为5，5，6，底面积为8，且每个侧面与底面形成的二面角大小相等，则三棱锥的体积为（ ）
A. 4B. C. 6D.
【答案】B
【解析】过向底面作垂线，垂足为，分别过向三边作垂线，垂足分别为，
连接，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，所以为二面角的平面角，
同理可得为二面角的平面角，为二面角的平面角，
因为每个侧面与底面形成的二面角大小相等，所以，
所以，所以为三角形的内心，
由三棱锥的三个侧面的面积分别为5，5，6，
所以，设三边的长为，则边上的高长为，
由底面的面积为8，所以，解得，
设内切圆的半径为，则，所以，
由侧面的面积为6，所以，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B.
7. 已知函数，若有两个零点.，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】易知，
令，则，所以或；
可得或，
因此或，
又因为，所以；
所以.
故选：B
8. 已知函数，且有两个不同的零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，即，
由题意，函数和有两个交点，
画出函数的图象，如图，
当时，显然函数和没有两个交点，不符合题意，
则，当时，函数和有一个交点，
则当时，和只有一个交点.
设与相切于点，，
由，得，即，
又，则，解得，
因此，要使当时，和只有一个交点，
则，即的取值范围为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）.在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点，（，是截口椭圆的焦点）.设图中球，球的半径分别为3和1，球心距，则（ ）

A. 椭圆的中心在直线上
B.
C. 直线与椭圆所在平面所成的角为
D. 椭圆的离心率为
【答案】BD
【解析】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，

点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误；
椭圆长轴长，
过作于D，连，显然四边形为矩形，
又，
则，
过作交延长线于C，显然四边形为矩形，
椭圆焦距，故B正确；
所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C错误；
所以椭圆的离心率，故D正确；
故选：BD.
10. 设，为正数，且且，则（ ）
A. 的最小值是2B. 的最大值是
C. 的最大值是D. 的最大值是
【答案】ACD
【解析】由，
所以，所以，
对A，，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对B，由
可得，
当且仅当时取等号，
令，则，解得，
即，
当且仅当时取等号，故B错误；
对C，由，
令，则，
解得，即，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对D，由可得，
所以，
令，由B知，
则由可知当时，，
故当时，有最大值，故D正确.
故选：ACD
11. 已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A、，则下列描述正确的有（ ）
A. 直线与圆相交B. 的最小值为
C. 存在点，使得D. 直线过定点
【答案】BCD
【解析】圆的圆心，半径，连接，
对于A，点到直线的距离，直线l与圆C相离，A错误；
对于B，点在圆上，则，B正确；
对于C，由切线长定理知，，而，
又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为，
当且仅当时取等号，因此的最大值为，C正确；
对于D，设，则以PC为直径的圆的方程为
即，
与已知圆的方程相减可得直线的方程为，
即，由可得，
即直线AB过定点，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为______．
【答案】
【解析】当取1，取，的系数为；
当取，取时，得的系数为：.
所以的系数为：.
故答案为：
13. 将甲桶中的水缓慢注入空桶乙中，min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过5 min后甲桶和乙桶中的水量相等，若再过min后甲桶中的水只有，则的值为___________.
【答案】5
【解析】5min后甲桶和乙桶中的水量相等，
函数，满足，可得，
令，则，即为，解得，
故.
故答案为：5.
14. 已知函数，若存在实数，使得对任意的，始终是某个确定的非零常数，则______．
【答案】
【解析】由题意知．
不妨设，其中，
则，
展开化简得：．
因为上式对任意的，始终成立，则．
若，则，，与矛盾，
因此，则，因此，
又，所以，
因此，即，因此．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列前n项和为，，
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和.
（1）证明：因为，
所以当，时，，
即
又时，，
所以数列为首项为1，公比为3的等比数列．
（2）解：由（1）知，所以，
又由，可得，
所以
16. 如图在正方体中，是所在棱上的中点.
（1）求平面与平面夹角的余弦值
（2）补全截面
解：（1）由投影面积法可得，
因为是所在棱上的中点，设正方体的棱长为2，
则，
，，，
所以在中，边上的高为，
所以，
所以.
（2）如图，设所在直线与所在直线交于点，与所在直线交于点，
连接交于点，连接交于点，连接，
则五边形是平面截正方体所得的截面.
17. 育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛．比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次．如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员继续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需继续闯关；若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败．比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：，比赛失败的队伍则积分为0．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，且每人能否闯关成功互不影响．
（1）已知，，，
（i）若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分的期望；
（ii）若第一次闯关从三人中随机抽取，求该队比赛结束后所获积分的概率．
（2）若甲只能安排在第二位次参赛，且，要使该队比赛结束后所获积分的期望最大，试确定乙、丙的参赛顺序，并说明理由．
解：（1）（i）的可能取值为，
，，
.
所以的分布列为：
所以
（ii）第一次闯关从三人中随机抽取，每个人被抽取到的概率都是，且必须闯关成功，
所以概率为.
（2）若顺序为“乙甲丙”：
积分的可能取值为,
.
所以.
.
若顺序为“丙甲乙”：
积分的可能取值为,
，，
.
所以
.
，
，
由于，所以，
所以丙先参赛.
18. 已知函数，.
（1）若，求函数在点处的切线；
（2）若对任意的，，有恒成立，求实数的取值范围.
解：（1），
当时，，，
故切线方程为：，即；
（2）法一：不妨设，则，
同除以得，
所以在0,+∞单调递增，
所以，
①若，恒成立，符合题意；
②若，则恒成立，
令，则，
令，则，
所以Fx在单调递增，在单调递减，
所以，所以；
③若，同理，恒成立，
由②可知，当时，，
所以不存在满足条件的，
综上所述，.
法二：，
令，
则只需在0,+∞单调递增，即恒成立，
，
令，则恒成立，
又，
①当时，，hx在单调递增成立；
②当时，h'x>0，hx在单调递增，
又当时，，故不恒成立，不满足题意；
③当时，由h'x>0得，
则hx在单调递减，在单调递增，
因为恒成立，所以，
解得，故；
综上，实数的取值范围是.
19. 集合是数学中的基本概念和重要内容.对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合A中的元素个数.当时，设是集合A中按从小到大排列的所有元素，记集合.
（1）已知集合，，，若，求的值.
（2）已知，记集合或.
（i）当时，证明的充要条件是；
（ii）若，，求的所有可能取值．
（1）解：因为，由，
所以，
所以且，
所以必有，所以，所以，所以.
（2）（i）证明：因为，可设，.
先证充分性：因为，所以且，
从而可以设，其中0，
此时中元素为，故，
再证必要性，设，，其中，
注意到和集中的最小元素为，最大元素为，
因为，所以中间三个元素可以是，
也可以是，它们是对应相等的，
所以有，，
即，故，得证，
（ii）解：①若，由第(i)小问的分析知，
可以设，，其中，
此时中的元素为，
这与条件矛盾，
②取，其中，
容易验证此时中的元素为，符合条件，
所以可以取2，
③若，设，
其中，
结合知至少存在两个不同的正整数，使得，
不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数，
注意到
这是中的个不同的元素，
根据定义我们有，即，
当时，由的最小性知，即，
此时我们有，
当时，也有，
因此是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等，
同理，根据的定义有是中的元素，但与(*)式中的个元素均不相等，
因为，所以，此时，矛盾，
综上，的取值只能为2，