华师大版九年级上册数学期末练习试卷1

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2024-2025 学年九年级期末测试卷 数学
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1. 下列式子中，是最简二次根式的是 ( )
A. s21 B. 、i12 C. · D. ·、i32
【答案】A 【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.
【详解】解：A 、 21是最简二次根式，故此选项符合题意；
B 、 12 = 2 故此选项不符合题意；
C 、 故此选项不符合题意；
D 、 32 = 4 故此选项不符合题意； 故选：A .
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1） 被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2. 一元二次方程 x2 - 3x = 0的解是 ( )
A. x = 3 B. x1 = 0, x2 = -3 C. x1 = 0, x2 = D. x1 = 0, x2 = 3
【答案】D 【解析】
【分析】根据因式分解法即可求出答案
【详解】解： ∵ x2 - 3x = 0 ， ∴ x(x - 3) = 0 ，
∴ x1 = 0, x2 = 3 ， 故选：D .
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.
3. 若 2a = 5b 值为
A. - B. C. D.
【答案】D 【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，由题意可得 代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题
的关键.
【详解】解： ∵ 2a = 5b ，
,
故选：D .
4. 学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比赛）．计划安排 56场比赛，应邀
请多少个球队参加比赛？设邀x 个球队参赛，根据题意列方程正确的是 ( )
A. B.
C. x (x -1) = 56 D. x (x +1) = 56
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关 系．赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场）， x 个球队比赛总场数为 x (x -1) ，即可列方程.
【详解】解：设有x 个队，每个队都要赛(x -1)场，
由题意得： x (x -1) = 56 ， 故选：C .
5. 三张外观相同的卡片分别标有数字 1 、2 、3 ，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有 ( )
A. 12 种 B. 6 种 C. 4 种 D. 3 种
【答案】D 【解析】
【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解.
【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为： 1 、 2 ； 1 、 3 ； 2 、 3这 3 种结果， 故选：D .
6. 如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作 30 角的直角三角形 ABC 和30 角的直角三角形 ADE ，CD 与 BE ，AE 分别交于点 P ，M，连接 PA 对于下列结论：
① △BAE ∽△CAD ；② MP .MD = MA.ME ；③图中有 5 对相似三角形；④ AP 丄 CD 其中结论正确的 个数是 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C 【解析】
【分析】如图，设 AC 与 PB 的交点为 N，根据直角三角形的性质得到 根据相似三角形
的判定定理得到△BAE ∽△CAD ，故①正确；根据相似三角形的性质得到∠BEA=∠CDA ，推出
△PME ∽△AMD ，根据相似三角形的性质得到 MP•MD=MA•ME ，故②正确； 由相似三角形的性质得到
∠APM=∠DEM=90° , 根据垂直的定义得到 AP⊥CD ，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC ∽△ANB， 于是得到图中有 5 对相似三角形有 6 对，故③不正确.
【详解】解：如图，设 AC 与 PB 的交点为 N， ∵ ∠ABC=∠AED=90° , ∠BAC=∠DAE=30° ,
3 ， ∠BAE=30°+ ∠CAE ， ∠CAD=30°+ ∠CAE，
∴ ∠BAE=∠CAD，
∴△BAE ∽△CAD ，故①正确；
∵△BAE ∽△CAD ， ∴ ∠BEA=∠CDA ， ∵ ∠PME=∠AMD ， ∴△PME ∽△AMD，
,
∴MP•MD=MA•ME ，故②正确；
,
∵ ∠PMA=∠EMD，
∴△APM∽△DEM，
∴ ∠APM=∠DEM=90° , ∴AP⊥CD ，故④正确；
同理： △APN∽△BCN， △PNC∽△ANB， ∵△ABC∽△AED，
∴图中有 5 对相似三角形有 6 对，故③不正确；
故选：C .
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.
7. 规定：对于任意实数 a 、b 、c ，有【a，b】★c = ac +b ，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如
【2，3】★1 = 2 × 1 + 3 = 5 ．若关于 x 的方程【x, x +1】★ (mx) = 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范 围为 ( )
A. B. C. 且 m ≠ 0 D. m < 且 m ≠ 0
【答案】D 【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到 mx2 + x +1 = 0 ，再由有两个不相等
的实数根得到 Δ = 12 - 4× m × 1 > 0 ，且 m ≠ 0 ，即可得到答案.
【详解】解： ∵【x, x +1】★ (mx) = 0 ，【a，b】★c = ac +b ∴ x . mx + x +1 = 0 ，即 mx2 + x +1 = 0 ，
∵关于 x 的方程【x, x +1】★ (mx) = 0 有两个不相等的实数根， ∴ Δ = 12 - 4× m × 1 > 0 ，且 m ≠ 0 ，
解得 m < 且m ≠ 0 ，
故选：D . ·
8. 直线 y ＝3x 与 x 轴正半轴的夹角的锐角为α , 那么下列结论正确的是( )
A. tanα =3 B. tanα = C. sinα =3 D. csα =3
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意结合一次函数图象上点的坐标性质得出 AB ，OB 的长，再利用锐角三角函数关系得出答 案.
【详解】如图所示：AB⊥x 轴于点 B，
∵y=3x ，A 点在 y=3x 的图象上， ∴设 BO=x ，则 AB=3x，
故 tanα=
故选 A .
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及一次函数的图象上点的性质，正确把握相关定义是解题关 键.
9. 已知函数 y = x2 - 4ax + 5 （a 为常数），当x ≥ 4 时，y 随 x 增大而增大． P (x1, y1 ) , Q (x2, y2 ) 是该函数 图象上的两点，对任意的2a -1≤ x1 ≤ 5 和2a -1≤ x2 ≤ 5 ，y1, y2 总满足 y1 - y2 ≤ 5 + 4a2 ，则实数 a 的取 值范围是 ( )
A. -1 ≤ a ≤ 2 B. 1 ≤ a ≤ 2 C. 2 ≤ a ≤ 3 D. 2 ≤ a ≤ 4
【答案】B 【解析】
【分析】抛物线的对称轴为 = 2a ，当x ≥ 4时，y 随 x 增大而增大．由 1 > 0 ，抛物线开口
向上，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，抛物线对称轴在 x=4 及左侧， 2a ≤ 4 ,解得 a ≤ 2 ，对任意的 2a -1≤ x1 ≤ 5 和2a -1≤ x2 ≤ 5 ， y1, y2 总满足y1 - y2 ≤ 5 + 4a2 ，由 2a -1 < 2a ， y1 - y2 差的最大值是
2a 一1 ≤ x ≤ 5 上的最大值与最小值的差，抛物线的最小值为 y2= 5 一 4a2 ，抛物线的最大值为，x=5 时， y1= 52 一 4a ×5 + 5=30-20a ，可得 30-20a -(5 一 4a2 ) ≤ 5 + 4a2 ，解得 a ≥ 1 ，可得实数 a 的取值范围是
1 ≤ a ≤ 2 .
【详解】解：抛物线的对称轴为 = 一 = 2a ，
当x ≥ 4时，y 随 x 增大而增大.
∵ 1 > 0 ，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大， ∴ 2a ≤ 4 ，
解得 a ≤ 2 ，
对任意的2a 一1≤ x1 ≤ 5 和2a 一1≤ x2 ≤ 5 ， y1, y2 总满足y1 一 y2 ≤ 5 + 4a2 ， ∵ 2a 一1 < 2a ，
∴ y1 一 y2 差的最大值是 2a 一1 ≤ x ≤ 5 上的最大值与最小值的差， 把抛物线配方得： y = x2 一 4ax + 5 = (x 一 2a)2 + 5 一 4a2 ，
在 2a 一1≤ x ≤ 5 区间内，
抛物线的最小值为y2= 5 一 4a2 ，
抛物线的最大值为，x=5 时，y1= 52 一 4a ×5 + 5=30-20a ， ∵ y1, y2 总满足 y1 一 y2 ≤ 5 + 4a2 ，
∴ 30-20a -(5 一 4a2 ) ≤ 5 + 4a2 ，
解得 a ≥ 1 ，
∴实数 a 的取值范围是1≤ a ≤ 2 ， 故选择：B .
【点睛】本题考查抛物线中参数的范围，掌握抛物线的对称轴，抛物线的增减性，抛物线的最大值与最小 值，一元一次不等式.
10. 如图，菱形 ABCD ∽ 菱形 AEFG ，菱形 AEFG 的顶点 G 在菱形 ABCD 的BC 边上运动，GF 与 AB 相
交于点 H， 上E = 60。，若 CG = 6 ， AH = 14 ，则菱形 ABCD 的边长为 ( )
A. 183 B. 163 C. 18 D. 16
【答案】C 【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，连接 AC ，证明 V ABC 是等边三角形，设 AB = BC = AC = a ，则 BH = a 一14 ，BG = a 一 6 ，再证明 △BGH∽△CAG ， 由相似三角形的性质求解即可.
【详解】解：连接 AC .
∵菱形 ABCD ∽ 菱形 AEFG ，
∴ 上B = 上E = 上AGF = 60O ， AB = BC ， ∴ V ABC 是等边三角形，
设 AB = BC = AC = a ，则 BH = a 一14 ， BG = a 一 6 ， ∴ 上ACB = 60O ，
∵ 上AGB = 上AGH + 上BGH = 上ACG + 上CAG ， ∵ 上AGH = 上ACG = 60O ，
∴ ∠BGH= ∠CAG， ∵ 上B = 上ACG ，
∴ △BGH∽△CAG ，
,
,
∴ a2 一 20a + 36 = 0 ， ∴ a = 18 或 2（舍弃）， ∴ AB = 18 ，
故选：C .
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11. 3 tan 30 + tan 45 一 2 sin 60 = .
【答案】1 【解析】
【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案.
解：原式 = 3 × 3 + 1 一 2×
=1.
故答案为：1 .
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键.
a
12. 如图，已知点M(a, b)是函数 y = 一x2 + x + 2 图象上的一个动点.若
< 1 ，则b 的取值范围是
.
___________
0 < b ≤
【解析】
【分析】根据a < 1 得-1＜a＜1，再根据二次函数的解析式求出对称轴，再根据函数的图像与性质即可求解. 【详解】 ∵ a < 1
∴-1＜a＜1，
∵函数 y = —x2 + x + 2 对称轴 ∴当 a= 有最大值
当 a=-1 时， y = —(—1)2 —1+ 2 = 0
∴则b 的取值范围是 0 0
【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程以及实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算过程是 解答本题的关键.
17. 图① 、图② 、图③均是 5×5 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1 ，其顶点称为格点，V ABC 的 顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹.
（1）网格中V ABC 的形状是 .
（2）在图①中确定一点 D ，连结DB、DC ，使 △DBC 与V ABC 全等.
（3）在图②中V ABC 的边 BC 上确定一点 E ，连结 AE ，使 △ABE∽△CBA .
（4）在图③中V ABC 的边AB上确定一点 P ，在边 BC 上确定一点 Q ，连结 PQ ，使△PBQ∽△ABC ，且
相似比为 3: 5 .
【答案】（1）直角三角形
（2）见解析 （3）见解析
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理的逆定理可得出结论.
（2）取格点 D ，使 BD = AC ， AB = CD 即可.
（3）过点A 作 AE 丄 BC 于点 E ，可得 上AEB = 上BAC = 90O ，进而可得△ABE ∽ △CBA .
（4）取格点 M，使 AM Ⅱ BC ，且 AM = 2 ，过点M 作MQ∥AC ，交BC 于点Q ，交 AB 于点 P ，可得
△APM∽△BPQ ，则 ，可得 ，即△PBQ∽△ABC ，且相似比为 3: 5 .
【小问 1 详解】
解： ∵ AB = 42+22 = 25 ， AC = 12+22 = 5 ， BC = 5 ，
∴ AB2 + AC2 = BC2 ， ∴ V ABC 为直角三角形； 【小问2 详解】
如图① , 点 D 即为所求（答案不唯一）.
由图可知：在 △DBC 和V ABC 中：
∴ △DBC≌△ABC （ SSS ）； 【小问 3 详解】
如图② , 点 E 即为所求.
过点 A 作 AE 丄 BC 于点 E ，则： 上AEB = 90 ， ∴ 上AEB = 上CAB ，
又∵上B = 上B ，
∴ △ABE ∽ △CBA； 【小问4 详解】
如图③ , 点 P ，Q 即为所求.
如图： AM Ⅱ BC ， AM = 2 ， 则： △APM∽△BPQ ，
, ,
∵ MQ∥AC ，
∴△PBQ∽△ABC ，
相似比为 .
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、相 似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键.
18. 一个盒子中装有 1 个红球、1 个白球和 2 个蓝球，这些球除颜色外都相同.
（1）从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ；
（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能 的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.（红色和蓝色在一起可配成紫色）
（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，
那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 .
【答案】（1） ;（2） ;（3） .
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列举出所有情况，两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率占所有情况数的多少即可 ;
（3）画出树状图，列举出所有情况，找到两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率占所有情况数的多少即可 ;
【详解】（1）如果从盒子中随机摸出 1 个球，摸出白色球的概率为 ；
（2）画树状图如下：
共有 12 种情况，能配成紫色的概率情况数有 4 种，
所以两次摸到不同颜色球的概率为 .
（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，画树状图如下：
共有 25 种情况，能配成紫色的概率情况数有 4 种，
那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 .
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n ，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m ，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率.
19. 已知二次函数 y1 = ax (x — m)(a ≠ 0) 和一次函数 y2 = ax + b (a ≠ 0) .
（1）二次函数 y1 的图象过(1, 0), (2, 2) 点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数 y2 与二次函数 y1 的图象交于 x 轴上同一点，且这个点不是原点.
①求证： b = —am ；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求 m 的值. 【答案】（1）二次函数 y1 的表达式为 y1 = x (x —1)；
（2）①证明见解析，② m = 2
【解析】
【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可. ·
（2）①先求出二次函数 y1 = ax (x — m)(a ≠ 0) 与x 轴的交点坐标，进而得到一次函数 y2 与二次函数 y1 的 图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结 果.
【小问 1 详解】
解： ∵二次函数 y1 = ax (x — m)(a ≠ 0) 过(1, 0), (2, 2) ， ∴ m = 1，
∴二次函数的表达式为 y1 = ax (x —1) ，
将 (2, 2) 点代入，得 2 = 2a ， ∴ a = 1 ；
∴二次函数 y1 的表达式为 y1 = x (x —1) . 【小问2 详解】
①∵当 y = 0 时， ax (x — m) = 0 解得： x1 = 0, x2 = m ， ∴二次函数 y1 = ax (x —1) 与 x 轴交于(0, 0) 和(m,0) 点，
又一次函数 y2 与二次函数 y1 的图象交于 x 轴上同一点，且这个点不是原点， ∴一次函数 y2 过 (m,0) 点，
∴ am + b = 0 ， ∴ b = —am ；
②∵b = —am ， ∴ y2 = ax — am ，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
∵二次函数 y1 = ax (x — m) 的顶点为 ，
∵ a ≠ 0, m ≠ 0 ， ∴ m2 = 2m ，
∴ m = 2 .
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题 的关键.
20. 疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充 分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！
改革开放 40 年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面 示意图如图② , 点 F 在线段 HG 上运动，BC∥HG ，AE⊥BC，垂足为点 E ，AE 的延长线交 HG 于点 G ，经 测量∠ABD ＝11 ° , ∠ADE ＝26 ° , ∠ACE ＝31 ° , BC ＝20m ，EG ＝0.6m .
（1）求线段 AG 的长度；（结果精确到 0. 1m）
（2）连接 AF，当线段 AF⊥AC 时，求点 F 和点 G 之间的距离．（结果精确到 0. 1m，参考数据：tan11 ° ≈0.19， tan26 ° ≈0.49 ，tan31 ° ≈0.60）
【答案】（1）线段的长度约为 3.5m；（2）点与点之间的距离约为 2. 1m . 【解析】
【分析】（1）设 AE ＝xm ，根据直角三角形中三角函数列出等式即可求出 AG 的长；
（2）当线段 AF⊥AC 时，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠FAE = ∠ACE ＝31 ° . 再根据三角函数即 可求出 FG 的长.
解： 在 Rt△ABE 中， BE = ， 在 Rt△ACE 中， CE =
设 AE ＝xm ，则 = 20 ，
解得 x≈2.89m，
∴AG ＝AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m . 答：线段 AG 的长度约为 3.5m；
（2）当线段 AF⊥AC 时， ∵AE⊥BC，
.
∴ ∠FAE+∠CAG ＝90 ° , ∠CAG+∠ACE ＝90 °
∴ ∠FAE = ∠ACE ＝31 ° .
∴ FG = AG.tan 31≈3.5 × 0.6=2.1m . 答：点 F 与点 G 之间的距离约为 2. 1m .
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数公式并能灵活应用解直角 三角形.
21. 新华商场销售某种电子产品，每个进货价为 40 元，调查发现，当销售价格为 60 元时，平均每天能销售
100 个；当销售价每降价 1 元时，平均每天多售出 10 个，该商场要想使得这种电子产品的销售利润平均每 天达到 2240 元.
（1）每个电子产品的价格应该降价多少元？
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，该商场应该将该电子产品按照 几折优惠销售？
（3）当定价为多少时，商场每天销售该电子产品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每个电子产品的价格应该降价 4 元或 6 元；（2）该商场应该将该电子产品按照九折优惠销售；
（3）当 x ＝55 时，w 有最大值，最大值为 2250 元.
【解析】
【分析】（1）设每个电子产品的价格应该降价 x 元，根据每个电子产品的利润乘以销售量，得一元二次方 程，求解即可；
（2） 由（1）所求得的降价额，结合问题的实际意义，可得应降价多少，从而可得打几折优惠；
（3）设定价为 y 元，商场每天销售该电子产品的利润为 w 元，根据题意列出函数关系式，写成顶点式，即 可得问题的答案.
【详解】解：（1）设每个电子产品的价格应该降价 x 元， 由题意得： （60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240
∴（x﹣4）（x﹣6）= ·0 ∴x1 ＝4 ，x2 ＝6
∴每个电子产品的价格应该降价 4 元或 6 元.
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，
该商场应该将该电子产品可以降价 6 元销售： （60﹣6）÷60 ＝0.9
∴该商场应该将该电子产品按照九折优惠销售. .
（3）设定价为 y 元，商场每天销售该电子产品的利润为 w 元， 由题意得： w ＝（y﹣40）[100+（60﹣y） ×10]
=（y﹣40）( ﹣ 10y+700） = ﹣ 10y2+1100y﹣28000 = ﹣ 10（y﹣55）2+2250 ∵二次项系数为﹣ 10＜0
∴当 x ＝55 时，w 有最大值，最大值为 2250 元.
【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系式及二 次函数的性质，是解题的关键.
22. 我们知道：如图① , 点 B 把线段 AC 分成两部分，如果 那么称点 B 为线段 AC 的黄金分 割点．它们的比值为 .
（1）在图①中，若 AC = 20cm ，则 AB 的长为 cm ；
（2）如图② , 用边长为 20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABCD 得折痕 EF ，连接 CE ，将 CB 折叠到 CE 上，点 B 对应点 H，得折痕CG ．试说明：G 是 AB 的黄金分割点；
（3）如图③ , 小明进一步探究：在边长为 a 的正方形 ABCD 的边 AD 上任取点 E(AE > DE) ，连接 BE ， 作 CF 丄 BE ，交 AB 于点 F，延长 EF 、 CB 交于点 P ．他发现当 PB 与 BC 满足某种关系时，E、F 恰好 分别是 AD 、 AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由.
（2）见解析 （3） BP = BC ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据黄金分割的定义计算即可得解； ·
（2）延长 EA ，CG 交于点 M，先证明上EMC = 上BCG ，再求出tan上DMC = 从而得出 tan上BCG = 即可得解；
（3） 由正方形的性质可得 AB = BC ， 上BAE = 上CBF = 90O ，证明 △ABE≌△BCF(ASA) ，得出
BF = AE ，证明 △AEF∽△BPF ，得出 结合黄金分割的定义求解即可.
【小问 1 详解】
解： ∵点 B 为线段 AC 的黄金分割点， AC = 20cm ，
故答案为
【小问2 详解】
解：延长 EA ， CG 交于点 M，
∵四边形 ABCD 为正方形， ∴ DM∥BC ，
∴ 上EMC = 上BCG ，
由折叠的性质可知， 上ECM = 上BCG ，
∴ 上EMC = 上ECM ， ∴ EM = EC ，
∵ DE = 10cm ， DC = 20cm ，
∴ EM = 10 ，
即
∵ AB = BC ，
∴G 是 AB 的黄金分割点； 【小问 3 详解】
解：当 BP = BC 时，满足题意. 理由如下：
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC ， 上BAE = 上CBF = 90O ， ∵ BE 丄 CF ，
∴ 上ABE + 上CFB = 90O，
又∵上BCF + 上BFC = 90O ， ∴ 上BCF = 上ABE ，
∴ △ABE≌△BCF(ASA) ，
∴ BF = AE ， ∵ ADⅡCP ，
∴ △AEF∽△BPF ，
,
当 E、F 恰好分别是 AD 、 AB 的黄金分割点时， ∵ AE > DE ，
,
∵ BF = AE ， AB = BC ，
,
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,
∴ BP = BC .
【点睛】本题考查了黄金分割、解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的 判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.
23. 有这样一个问题：探究函数的图象和性质．小军根据学习函数的经验，对函数的
图象和性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：
函数 y = 的自变量 x 的取值范围是 ：
（2）下表是y 与 x 的几组对应值：
①其中， m = ；
②如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函 数的图象；
（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(2, 2) ．结合函数图象，写出该函数的 其它性质（写出一条即可）： .
（4）结合函数图象，请直接写出 的取值范围： .
【答案】（1） x ≠ 0
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
1
2
1
2
3
4
5
…
y
…
5
2
13
6
-2
17
4
17
4
5
2
2
m
5
2
29
10
…
（2）① ; ②见解析
（3）当x > 2 时，y 随 x 的增大而增大（答案不唯一）
（4） -4 ≤x ≤-1 或 x > 0
【解析】
【分析】本题考查函数图象、 自变量的取值范围，求函数值，分式有意义的条件，解答本题的关键是明确 题意，利用数形结合的思想解答.
（1）根据分式有意义的条件求解即可；
（2）①将 x =3代入函数解析式中，求出 m 的值，根据图象中的点，用平滑的曲线连接起来，即可解答本 题；
（3）根据图象，写出两条性质即可，注意本题答案不唯一；
（4）根据表格，图象求解即可. 【小问 1 详解】
∵x 在分母上， ∴ x ≠ 0 .
故答案为： x ≠ 0 ； 【小问2 详解】
①当 x = 3时， m = ， 故答案为： ；
②图象如图所示：
【小问 3 详解】
观察函数图象，可知：当 x > 2 时，y 随 x 的增大而增大.
故答案为：当 x > 2 时，y 随 x 的增大而增大（答案不唯一）. · 【小问4 详解】
根据表格与图象可知：当 的取值范围是： -4 ≤ x ≤-1 或 x > 0 .
故答案为： -4 ≤x ≤-1 或x > 0 .