2024-2025学年广东省广州市高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市高一上学期12月月考数学检测试卷（附解析），共11页。试卷主要包含了未知，单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
二、单选题（本大题共4小题）
2．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．B．2C．16D．±2
3．函数的零点是（ ）
A．B．C．2,0D．
4．将化为的形式是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．函数在区间内的最大值为（ ）
A．1B．2C．4D．8
三、未知（本大题共2小题）
6．已知a＞0，且a≠1，函数f（x），满足对任意实数x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（，3]D．（1，3]
7．高斯被誉为历史上最伟大的数学家之一，高斯函数也被广泛应用于生活，生产的各个领域，其中表示不超过x的最大整数，如：，.若函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
四、单选题（本大题共1小题）
8．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过多少天．（参考数据；，）（ ）
A．70B．80C．90D．100
五、未知（本大题共2小题）
9．下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
10．若角是的三个内角，则以下结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
六、多选题（本大题共1小题）
11．下列命题中，正确的有（ ）
A．函数与函数是同一函数
B．若函数，则
C．二次函数的零点是，
D．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
七、填空题（本大题共3小题）
12．已知扇形的面积为，弧长为，则扇形的圆心角的弧度数为 ．
13．已知，，，则a，b，c的大小关系是 .
14．已知函数，下面四个结论：①的图象是轴对称图形；②的图象是中心对称图形；③在上单调；④的最大值为．其中正确的有 ．
八、解答题（本大题共5小题）
15．（1）求证：；
（2）设，求证.
16．已知.
(1)化简.
(2)若锐角满足，求的值.
17．已知集合，集合，
(1)当时，求；
(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18．某厂生产某种产品的月固定成本为10(万元)，每生产件，需另投入成本为（万元）．当月产量不足30件时，（万元）；当月产量不低于30件时，（万元）．因设备问题，该厂月生产量不超过50件．现已知此商品每件售价为5万元，且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完．
（1）写出月利润（万元）关于月产量（件）的函数解析式；
（2）当月产量为多少件时，该厂所获月利润最大？
19．已知函数，（且）
（1）当m=2时，解不等式；
（2）若0＜m＜1，是否存在，使在的值域为？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案
1．【正确答案】C
【详解】因为，，所以.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】是幂函数，设（为常数），
∵图象经过点，∴，解得，
∴，∴.
故选：B.
3．【正确答案】B
【详解】令，可得，
所以，故.
所以函数的零点是.
故选：B.
4．【正确答案】A
【详解】.
故选：A.
5．【正确答案】B
【详解】由已知可得，解得定义域为，
又在上单调递减，则在上单调递增，
所以函数在上单调递增，即函数在区间内单调递增，
所以在区间内的最大值为．
故选：B.
6．【正确答案】D
【分析】根据已知条件判断出的单调性，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】由于，所以在上递增.所以，解得.
故选：D
本小题主要考查函数的单调性，考查指数函数、一次函数的单调性，属于基础题.
7．【正确答案】C
【详解】当为偶数时，，所以；
当为奇数时，，所以，
所以的值域为.故选：C.
8．【正确答案】B
【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，
则，即，两边同时取对数得，
化简得，
所以．
故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天．
故选：B．
9．【正确答案】ABD
本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.
【详解】A项：，A正确；
B项：因为，
所以，B正确；
C项：因为，
所以，C错误；
D项：，D正确，
故选：ABD.
10．【正确答案】AB
【详解】在中，，
对于A，，选项A错误；
对于B，，选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，，选项D正确．
故选：AB．
11．【正确答案】BCD
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A不正确；
对于B，，则，且，所以，即，故B正确；
对于C，令，得解得或，故C正确；
对于D，的对称轴为，由在上单调递增，得，解得，故D正确.
故选：BCD.
12．【正确答案】/
【详解】设圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，则，
解得，故．
故
13．【正确答案】
【分析】
利用诱导公式以及特殊角的三角函数值计算出的值，再进行比较.
【详解】
∵，，
∴.
故答案为.
本题考查诱导公式的应用和特殊角的三角函数值，属于基础题.
14．【正确答案】①③④
【分析】
根据函数满足，可知① 正确；假设函数图象是中性对称图形，结合①可知函数为周期函数，结合函数解析式，可判断② 错误；根据函数的单调性可判断③正确；
根据函数，，可判断④ 正确.
【详解】
的定义域为，由于，所以的图象关于对称，故①正确；
对于②，假设图象有对称中心，又由① 知函数图象有对称轴，则函数f(x)必为周期函数，而显然不具有周期性，故②错误；
当时，单调递增且函数值为正数，单调递减且函数值为正数，故在上单调递增，故③正确；
由于，，所以，当且仅当时取等号，故④正确；
故①③④．
15．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
16．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）因为，且是锐角，所以，所以，
则
．
17．【正确答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）当时，，
因为，所以，
所以或x≥1，
所以或；
（2）由于是的充分不必要条件，故是的真子集，
若，则，所以，
若，则，且且（等号不同时取得），
当时，真包含于，
当时，真包含于，
故：，
综上所述，实数的取值范围是或.
18．【正确答案】(1) ；（2）当月产量为12件时，该厂所获月利润最大.
【详解】试题分析：根据已知条件通过的分段，列出函数的解析式即可；
利用分段函数的解析式，分别求解函数的最大值，即可得到结论．
解析：(1)当且时,
当且时,
所以
（2）当且时,在上递增，在上递减，
此时
当且时, 在上递增，此时
因为，所以
答：当月产量为12件时，该厂所获月利润最大.
19．【正确答案】（1）；（2）
【详解】（1）当m=2时，，则，得则不等式解集为
（2），单调递增，
故当0＜m＜1，单调递减，
若在的值域为，则且
即在上有两个不等的根，即在上有两个不等的根，又令
又，当且仅当等号成立，因为与有两个不同交点，则
故存在