2024-2025学年广东省广州市天河区高三上学期1月数学模拟检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年广东省广州市天河区高三上学期1月数学模拟检测试卷（附解析），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、单选题
1．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．0
2．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知直线与垂直，则的值是
A．或B．C．D．或
4．对于常数、，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
5．过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，已知，线段的垂直平分线经过点，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
6．设分别为圆和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
7．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若,则的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，A，F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过F的直线l与C的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和y轴分别交于P，Q两点若，则C的离心率是（ ）
B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9．已知直线，则下列选项中正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为B．直线的斜率为
C．直线不经过第三象限D．直线的一个方向向量为
10．若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．2B．C．D．0
11．已知是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，是它们的一个交点，则下列判断正确的有（ ）
A．的面积为
B．若，则
C．若，则的取值范围是
D．若，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线与直线平行，则这两平行线间距离为
13．若直线经过抛物线的焦点，则 .
14．已知椭圆的左､右焦点分别为为上一点，且，若，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求的面积.
16．（15分）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
17．（15分）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：．
(1)求的面积；
(2)若直线交于两点，求．
（17分）圆x2+(y-b)2=4与椭圆x2+(2y-b)2=4有怎样的位置关系？试说明理由．
19．（17分）已知椭圆：的右焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为抛物线上一个动点，直线，，求点到直线的距离之和的最小值；
(3)若点是抛物线上一点（不同于坐标原点），是的内心，求面积的取值范围．
答案：
1．C
【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，求的值.
【详解】直线的斜率为，所以，
解得.
故选：C.
2．A
【分析】利用动点转移可求的轨迹方程.
【详解】设，则，因在曲线上，
故即，
故选：A.
3．C
【详解】由题意得 ，选C.
4．C
【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
则对于常数、，“”，可得“方程表示的曲线是双曲线”是成立的；
反之对于常数、，“方程表示的曲线是双曲线”，则“”是成立的，
所以“”是“方程表示的曲线是双曲线”的充要条件
故选C.
本题主要考查了双曲线的标准，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
B
B
B
D
CD
AD
题号
11









答案
ABD









5．B
【分析】设直线的方程为，利用设而不求法求弦长的表达式，再求线段的垂直平分线，由条件列方程求可得结论.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，
若直线的斜率斜率为，则直线与抛物线只有一个交点，不满足条件，
故可设直线的方程为，
联立，化简可得，
方程的判别式，
设，
则，
所以，
由已知，
设的中点为，
则，，
所以线段的垂直平分线方程为，
因为在线段的垂直平分线上，
所以，故，
所以，.
故选：B.
6．B
【分析】将问题转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，从而利用两点距离公式与二次函数的性质即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
则两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径，
设，则，故，，
所以圆心到椭圆的最大距离
，
因为开口向下，对称轴为，
所以在上单调递减，故，则，
所以两点间的最大距离是．
故选：B．
7．B
B
【详解】试题分析：根据题意，抛物线的焦点为．设直线的斜率为，可得直线的方程为，由消去，得，设，由根与系数的关系可得．根据抛物线的定义，得，解得，代入抛物线方程得：，解得，∵当时，由得；当时，由得，∴，即两点纵坐标差的绝对值等于．因此的面积为．故选B．
8．D
【详解】试题分析：设直线：，联立，得，将代入直线，得，∵，∴由，可得，代入，得，同除以得，∴或（舍去）．
考点：直线与圆锥曲线的位置关系．
9．CD
【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误.
【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误；
因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确；
取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确.
故选：CD
10．AD
求出圆心坐标后，利用点到直线的距离公式列式可解得结果.
【详解】因为圆的圆心为，
所以圆心到直线的距离为，所以或.
故选：AD
关键点点睛：掌握点到直线的距离公式是解题关键.
11．ABD
【详解】
设MF1＝m，MF2＝n，∠F1MF2＝θ，不妨设点M是C1，C2在第一象限内的交点，则m>n，m＋n＝2a1，m－n＝2a2，所以m＝a1＋a2，n＝a1－a2.在△F1MF2中，由余弦定理可得F1F＝MF＋MF－2MF1·MF2cs θ，即4c2＝m2＋n2－2mn cs θ，①4c2＝m2＋n2－2mn cs θ＝(m＋n)2－2mn(1＋cs θ)＝4a－2mn(1＋cs θ)，所以mn＝＝，此时△F1MF2的面积为S＝mn sin θ＝b·＝b·＝btan ；②4c2＝m2＋n2－2mn cs θ＝(m－n)2＋2mn(1－cs θ)＝4a＋2mn(1－cs θ)，所以mn＝＝，此时△F1MF2的面积
为S＝mn sin θ＝b·＝b·＝.因为S2＝btan ·＝(b1b2)2，所以S＝b1b2，故A正确．因为m>n且m＋n＝2a1，所以mn＝sin .又e1